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新浙教版九年级上数学知识点总汇,典型例题解析,单元测试试卷及答案,与期末测试卷及答案

发布时间:2013-12-21 16:47:34  

第一章 反比例函数

知识点

1 反比例函数的定义 一般地,形如y?k(k为常数,k?0)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方x

面来理解:

⑴x是自变量,y是x的反比例函数;

⑵自变量x的取值范围是x?0的一切实数,函数值的取值范围是y?0;

⑶比例系数k?0是反比例函数定义的一个重要组成部分;

⑷反比例函数有三种表达式: ①y?k(k?0), x

?1②y?kx(k?0),

③x?y?k(定值)(k?0); ⑸函数y?kk(k?0)与x?(k?0)是等价的,所以当y是x的反比例函数时,yx

x也是y的反比例函数。

(k为常数,k?0)是反比例函数的一部分,当k=0时,y?

由于反比例函数y?k,就不是反比例函数了,xk(k?0)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求x

出k的值,从而确定反比例函数的表达式。

2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数y?k(k?0)中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可x

以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。

3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第

二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x?0,函数值y?0,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点:

①列表时选取的数值宜对称选取;

②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;

③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;

④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。

4反比例函数的性质

注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内??”否则,笼统地说,当k?0时,y随x的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。

反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k的符号。如y?一、第三象限,则可知k?0。 ☆反比例函数y?

k

在第x

k

(k?0)中比例系数k的绝对值k的几何意义。 x

如图所示,过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,E、F分别为垂足, 则k?xy?x?y?PF?PE?S矩形OEPF ☆ 反比例函数y?

曲线y?

kk

(k?0)中,k越大,双曲线y?越远离坐标原点;k越小,双xx

k

越靠近坐标原点。 x

☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x

和直线y=-x。 例题解析

例1 (2006,上海市)如图,在直角坐标系中,O为原点,点A在第一象限,它的纵坐

2

(2)如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B,且OB=AB,?求这个一次函数的解析式.

【分析】(1)用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标,纵坐标,把点A的坐标代入y=可求得a的值,从而得出点A的坐标.

(2)设点B的坐标为(0,m),根据OB=AB,可列出关于m的一个不等式,?从而求出点B的坐标,进而求出经过点A,B的直线的解析式.

【解答】(1)由题意,设点A的坐标为(a,3a),a>0.

∵点A在反比例函数y=12x1212的图像上,得3a=,解得a1=2,a2=-2,经检验a1=2,a2=xa

-2?是原方程的根,但a2=-2不符合题意,舍去.

∴点A的坐标为(2,6).

(2)由题意,设点B的坐标为(0,

m).

∵m>0,∴

1010,经检验m=是原方程的根, 33

10 ∴点B的坐标为(0,). 13

10 设一次函数的解析式为y=kx+. 13 解得m=

由于这个一次函数图像过点A(2,6),

∴6=2k+410,得k=. 33

410x+. 33 ∴所求一次函数的解析式为y=

3

△AOB (1)该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定,?请写出它们的解析式;如不能确定,请说明理由.

(2

)如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点,过D作DE⊥x?轴于E,那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定?

(3)请判断△AOD为何特殊三角形,并证明你的结论.

【分析】△AOB是直角三角形,所以它的面积是两条直角边之积的1,?而反比例函数图像2

上任一点的横坐标,纵坐标之积就是反比例函数中的系数.由题意不难确定m,则所求一次函数,反比例函数的解析式就确定了. 由反比例函数的定义可知,过反比例函数图像上任一点作x轴,y轴的垂线,?该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的.

【解答】(1)设B(x,0),则A(x0,m),其中0>0,m>0. x0

在Rt△ABO中,AB=m,OB=x0. x0

则S△ABO =m1·x0=3,即m=6. x02

所以一次函数的解析式为y=x+6;反比例函数的解析式为y=6. x

?y?x?6? (2)由?得x2+6x-6=0, 6y??x?

4

由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点P(x,y)

,有

6

.即xy=6. x

1

∴S△DEO =│xDyD│=3,即S△DEO =S△ABO. 2 y=

(3)由A(-和D(-33

可得

即AO=DO.

由图可知∠AOD>90°,∴△AOD为钝角等腰三角形.

【分析】特殊三角形主要指边的关系和角的关系.通过对直观图形的观察,借助代数运算验证,便不难判断.

强化训练

一、填空题

1.如图1,直线y=kx(k>0)与双曲线y=

-7x2y1的值等于_______. 4交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,?则2x1y2x

图1 图2 图3

2.如图2,矩形AOCB的两边OC,OA分别位于x轴,y轴上,点B的坐标为B(-20,5),3

D是AB边上的一点,将△ADO沿直线OD翻折,使A点恰好落在对角线OB上的点E处,若点E在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是______.

3.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例,已知400?度近视眼镜镜片的焦距

为0.25m,则y与x的函数关系式为_______.

4.若y=3a?1

xa2?a?1中,y与x为反比例函数,则a=______.若图像经过第二象限内的某点,则

5

k=_______;点P到原点的距离OP=_______.

6.已知双曲线xy=1与直线y=-无交点,则b的取值范围是______.

7.反比例函数y=k的图像经过点P(a,b),其中a,b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根,x

那么点P的坐标是_______.

8.两个反比例函数y=k1k和y=在第一象限内的图像如图3所示,?点P在y=的图像上,xxx

11PC⊥x轴于点C,交y=的图像于点A,PD⊥y轴于点D,交y=的图像于点B,?当点xx

kP在y=的图像上运动时,以下结论: x

①△ODB与△OCA的面积相等;

②四边形PAOB的面积不会发生变化;

③PA与PB始终相等

④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.

其中一定正确的是_______(把你认为正确结论的序号都填上,?少填或错填不给分).

二、选择题

9.如图4所示,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB,AC分别平行于x轴,y轴,?若双曲线y=k≠0)与△ABC有交点,则k的取值范围是( )

A.1<k<2 B.

1≤k≤3

C.1≤k≤4 D.1≤k<4 kx

图4 图5 图6

10.反比例函数y=k(k>0)的第一象限内的图像如图5所示,P为该图像上任意一点,PQx

垂直于x轴,垂足为Q,设△POQ的面积为S,则S的值与k之间的关系是( )

6

的图像在第一象限内的交点,x11.如图6,已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y=

点B在

x轴的负半轴上,且OA=OB,那么△AOB的面积为( )

A.

2 B12.函数y=

C

D. m与y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ) x

13.如果不等式mx+n<0的解集是x>4,点(1,n)在双曲线y=

x+2m的图像不经过( )

A.第一象限

B

.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

14.正比例函数y=2kx与反比例函数

y=2上,那么函数y=(n-1)xk?1在同一坐标系中的图像不可能是( ) x

15.已知P为函数y=2的图像上一点,且P则符合条件的P点数为( ?) x

1的图像上关于原点O对称的任意x A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个 16.如图,A,B是函数y=

两点,AC平行于y轴,?交x轴于点C,BD平行于y轴,

交x轴于点D,设四边形ADBC的面积为S,则( )

A.S=1 B.1<S<2

C.S=2 D.S>2

三、解答题

17.已知:如图,反比例函数y=-8与一次函数y=-x+2的图像交于A,B两点,求: x

7

18.如图,已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=-

的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求:

(1)一次函数的解析式; (2)△AOB的面积. 8的图像交于A,B两点,且点Ax

19.已知函数y=k的图像上有一点P(m,n),且m,n是关于x方程x2-4ax+4a2-6a-8=0?x

k的两个实数根,其中a是使方程有实根的最小整数,求函数y=的解析式. x

20.在平面直角坐标系Oxy中,直线y=-x绕点O顺时针旋转90?°得到直线L.直线L与反

比例函数y=

8

k的图像的一个交点为A(a,3),试确定反比例函数的解析式. x

(在A点左侧)是双曲线y=上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.?过N(0,x

k-n)作NC∥x轴交双曲线y=于点E,交BD于点C. x

(1)若点D的坐标是(-8,0),求A,B两点的坐标及k的值;

(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式;

(3)设直线AM,BM分别与y轴相交于P,Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.

22.如图,在等腰梯形ABCD中,CD∥AB,CD=6,AD=10,∠A=60°,以CD?为弦的弓形

弧与AD相切于D,P是AB上的一个动点,可以与B重合但不与A重合,DP?交弓形弧于Q.

(1)求证:△CDQ∽△DPA;

(2)设DP=x,CQ=y,试写出y关于x

的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)当DP之长是方程x2-8x-20=0的一根时,求四边形PBCQ的面积.

9

5.-2; 6.0≤b<4 7.(-2,-2)

8.①②④ 9.C 10.B 11.C 12.C 13.B 14.D 15.A 16.C

8??x1?4?x1??2?y??17.(1)由?,? x,解得?y??2y?4?1?1??y??x?2

∴A(-2,4),B(4,-2).

(2)当y=0时,x=2,故y=-x+2与x轴交于M(2,0),∴OM=2.

∴S△AOB=S△AOM +S△BOM =1111OM·│yA│+OM·│yB│=·2·4+·2·2=4+2=6. 2222

18.(1)y=-x+2 (2)S△AOB =6

19.由△=(-4a)2-4(4a2-6a-8)≥0得a≥-

又∵a是最小整数, ∴a=-1.

∴二次方程即为x2+4x+2=0,又mn=2,而(m,n)在y=

∴k=2,∴y=4, 3kk的图像上,∴n=,∴mn=k,xm2. x

20.依题意得,直线L的解析式为y=x.

∵A(a,3)在直线y=x上,

则a=3.即A(3,3).

又∵A(3,3)在y=

可求得k=9.

∴反比例函数的解析式为y=k的图像上, x9. x

1x中,得y=-2. 421.(1)∵D(-8,0),∴B点的横坐标为-8,代入y=

∴B点坐标为(-8,-2),而A,B两点关于原点对称,∴A(8,2). 从而k=8×2=16.

(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A,B,M,E四点均在双曲线上,

10

S矩形DCNO=2mn=2k,S△DBO=mn=k,S△OEN =mn=k, 2222 ∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO -S△OEN =k.

∴k=4.

由直线y=14x及双曲线y=,得A(4,1),B(-4,-1), 4x

∴C(-4,-2),M(2,2).

设直线CM的解析式是y=ax+b,由C,M两点在这条直线上,得

???4a?b??2,2解得a=b=. 3?2a?b?2.

∴直线CM的解析式是y=22

x+. 33

(3)如图所示,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1,M1.

设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a,于是p=MAA1M1a?m??. MPM1Om

同理q=MBm?a=, MQm

∴p-q=a?mm?a-=-2. mm

22.(1)证∠CDQ=∠

DPA,∠DCQ=∠PDA.

(2)y=60(

. x

(3)S四边形PBCQ=48-

11

一、 二次函数的概念

1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a,b,c是常数,a?0)的函数,叫做二

次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. ⑵ a,b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:y?ax2的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

2. y?ax2?c的性质:

上加下减。

12

4. y?a?x?h??k的性质:

2

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤:

k?; 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,

2

⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,k?处,具体平移方法如下:

向右(h>0)【或左(h平移|k|个单位

【或左(h<0)】

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二:

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y?ax?bx?c变成

2

2

y?ax2?bx?c?m(或y?ax2?bx?c?m)

⑵y?ax?bx?c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y?ax?bx?c变成

13

2

2

四、二次函数y?a?x?h??k22与y?ax?bx?c的比较

2从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方

b?4ac?b2b4ac?b2?可以得到前者,即y?a?x???,其中h??,. k?2a4a2a4a??

2y?ax?bx?c图象的画法 五、二次函数2

五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取

c?、以及?0,c?关于对称轴对称的点?2h,c?、与x轴的五点为:顶点、与y轴的交点?0,

0?,?x2,0?(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 的交点?x1,

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.

2y?ax?bx?c的性质 六、二次函数

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为???. 2a4a2a??

当x??bbb时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,2a2a2a

4ac?b2

. y有最小值4a?b4ac?b2?b 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为???.当2a4a2a??

x??bbb时,y随x的增大而增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有2a2a2a

4ac?b2

最大值. 4a

七、二次函数解析式的表示方法

1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0);

2. 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);

3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).

注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写

成交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数a

二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.

14

开口的大小.

2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴.

⑴ 在a?0的前提下,

当b?0时,?

当b?0时,?

当b?0时,?b?0,即抛物线的对称轴在y轴左侧; 2ab?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2ab?0,即抛物线对称轴在y轴的右侧. 2a

b?0,即抛物线的对称轴在y轴右侧; 2a

b?0,即抛物线的对称轴就是y轴; 2a

b?0,即抛物线对称轴在y轴的左侧. 2a⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即 当b?0时,?当b?0时,?当b?0时,?

总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.

ab的符号的判定:对称轴x??b在y轴左边则ab?0,在y轴的右侧则ab?0,概2a

括的说就是“左同右异”

总结:

3. 常数项c

⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.

总之,只要a,b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.

二次函数解析式的确定:

根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:

1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.

九、二次函数图象的对称

二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达

1. 关于x轴对称

15

y?ax?h?k关于x轴对称后,得到的解析式是y??ax?h?k; 2. 关于y轴对称

y?a2x?bx?关于cy轴对称后,得到的解析式是y?ax2?bx?c;

y?a?x?h??k关于y轴对称后,得到的解析式是y?a?x?h??k; 22

3. 关于原点对称

y?a2x?bx?关于原点对称后,得到的解析式是cy??ax2?bx?c;

ky??a?x?h??k; y?a?x??h?关于原点对称后,得到的解析式是22

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)

b2

y?ax?bx; ?关于顶点对称后,得到的解析式是cy??ax?bx?c?2a22

y?a?x?h??k关于顶点对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k. 22

n?对称 5. 关于点?m,

y?a?x?h??k关于点?m,n?对称后,得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k 22

根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.

十、二次函数与一元二次方程:

1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况):

一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数:

0?,B?x2,0?(x1?x2),① 当??b2?4ac?0时,图象与x轴交于两点A?x1,其中的x1,x2是

一元二次方程ax?bx?c?

0?a?0?的两根.这两点间的距离AB?x2?x1 2② 当??0时,图象与x轴只有一个交点;

③ 当??0时,图象与x轴没有交点.

1' 当a?0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y?0;

2' 当a?0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y?0.

2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

16

⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,

b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已

知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数;下面以a?0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在: 图象参考:

y=-2x2

17

2

2-3

y=-2(x-3)2

十一、函数的应用

?刹车距离?二次函数应用?何时获得最大利润

?最大面积是多少?

例题解析

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 .(1)二次函数y?ax2?bx?c的图像如图1,则点M(b,

在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a、b同号;②当x=1和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是( )

18

ca

(1) (2)

【分析】弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键.

例2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴的2

正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论:①a<b<0;②2a+c>O;③4a+c<O;④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为( )

A 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

【解答】:D

会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知:关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax+bx+c的22

对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为( )

A(2,-3) B.(2,1) C(2,3) D.(3,2)

【解答】C

例4、如图(单位:m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动,直到AB与CD重合.设x秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym2.

(1)写出y与x的关系式;

(2)当x=2,3.5时,y分别是多少?

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,

三角形移动了多长时间?求抛物线顶点坐标、

对称轴.

例5、已知抛物线y=125x+x-. 22

(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴.

(2)若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长

【分析】本题(1)是对二次函数的“基本方法”的考查,第(2)问主要考查二次函数与一元二次方程的关系.

例6.已知:二次函数y=ax-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(x1,0),B(x2,0)2

两点(x1?x2),交y轴负半轴于C点,且满足3AO=OB.

(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠ACO?若存在,请你求出M点的横坐标的取值范围;若不存在,请你说明理由.

(1)

解:如图∵抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,O),

则x1·x2=3<0,又∵x1<x2,

19

∴点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2 b=3

2 ∴.二次函数的解析式为y-2x-4x-6.

(2)存在点M使∠MC0<∠ACO.

(2)解:点A关于y轴的对称点A’(1,O),

∴直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).

∴符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.

当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时,∠MCO>∠ACO.

例7、 “已知函数y?12, x?bx?c的图象经过点A(c,-2)2

求证:这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

(1)根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式?若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象;若不能,请说明理由。

(2)请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整。

【分析】: 对于第(1)小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点A(c,-2)”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第(2)小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第(1)小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。

[解答] (1)根据y?12,图象的对称轴是x=3,得x?bx?c的图象经过点A(c,-2)2?12?2c?bc?c??2,

? ?b??3,?1?2?2?

解得??b??3, c?2.?

所以所求二次函数解析式为y?

(2)在解析式中令y=0,得12x?3x?2.图象如图所示。 212x?3x?2?0,解得x1?3?5,x2?3?. 2所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是(3+5,0)”或“抛物线与x轴的一个交

点的坐标是(3?5,0).

20

所以抛物线y?x?3x?2的顶点坐标为(3,?), 22

5所以也可以填抛物线的顶点坐标为(3,?等等。 2

函数主要关注:通过不同的途径(图象、解析式等)了解函数的具体特征;借助多种现实背景理解函数;将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型;渗透函数的思想;关注函数与相关知识的联系。

用二次函数解决最值问题

例1.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.

【分析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力.同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间.

例2.某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)?与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

若日销售量y是销售价x (1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元?

【分析】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;(2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.

【解答】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则??15k?b?25, 解得k=-1,b=40,?即一次2k?b?20?

函数表达式为y=-x+40.

(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元

w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.

产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.

例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5 m处.绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的

身高是1.5 m,则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

( )

A.1.5 m B.1.625 m

C.1.66 m D.1.67 m

[分析]:本题考查二次函数的应用

【解答】:B

强化训练

一、选择题

21、二次函数y=x-(12-k)x+12,当x>1时,y随着x的增大而增大,当x<1时,y随着x的增

21

(A)y?2x(B)y?

21?x?0?(C)y?x?1(D)y?x2?x?0? x3、抛物线y=ax+bx+c的图象如图,OA=OC,则( ) (A) ac+1=b (B) ab+1=c (C)bc+1=a

(D)以上都不是 24、若二次函数y=ax+bx+c的顶点在第一象限,且经过点 (0,1),(-1,0),则S=a+b+c的变化范围是 ( )

(A) 0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<1

25、如果抛物线y=x-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于( )

(A)8 (B)14 (C)8或14 (D)-8或-14

6、把二次函数y?3x的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是( )

(A)y?3?x?2??1 (B) y?3?x?2??1(C) y?3?x?2??1 2222

(D)y?3?x?2??1

27、(3)已知抛物线y=ax+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( )

A.一、二、三象限 B.一、二、四象限

C.一、三、四象限 D.一、二、三、四象限 2

8、若b?0,则二次函数y?x?bx?1的图象的顶点在 ( )

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

9、已知二次函数y?2x?2(a?b)x?a?b ,a,b 为常数,当y达到最小值时,x的值为 ( )

(A)a?b (B)2222a?ba?b (C)?2ab (D) 22

210、当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax+bx+c的是( )

二、填空题

11、已知二次函数y=ax2(a≥1)的图像上两点A、B的横坐标分别是-1、2,点O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△OAB的周长为 。

2m?412、已知二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例函数y=的图像在第二象限内的一个x

交点的横坐标是-2,则m的值是 。

13、有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如 图(4)

,求抛物线的解析式是

_______________。

22

甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x<2时,y随x的增大而减小。丁:当x<2时,y>0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。

16、已知二次函数y=x2+bx+c的图像过点A(c,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是———————————— (只要写出一个可能的解析式)

17、函数y=mx2+x-2m(m是常数),图象与x轴的交点有_____个.

18.已知点P (a,m)和Q( b,m)是抛物线y=2x2+4x-3上的两个不同点,则a+b=_______. 219.已知二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴交于点(-2,0),(x1,0)且1<x1<2,与y·轴正半轴的交点在点(0,2)的下方,下列结论:①a<b<0;②2a+c>0;③4a+c< 0,④2a-b+l>0.其中的有正确的结论是(填写序号)__________.

20..将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时,每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加了1个,为了获得最大利润,则应降价______元,最大利润为______元.

三、解答题:

21.将进货单价为40元的商品按50元售出时,就能卖出500个,已知这个商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。(8分) (1)问:为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时进货多少个? (2)当定价为多少元时,可获得最大利润?

22.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使ΔPAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标。(8分)

23.已知直线y??2x?b?b?0?与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y?x2??b?10?x?c.

(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y??2x?b上,试确定这条抛物线的解析式;

(2)过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y??2x?b的解析式. (8分)

23

32点A的横坐标为?1,x?bx?c与坐标轴交于A,B,C三点,4

3过点C(0,3)的直线y??x?3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点,4t

PH?OB于点H.若PB?5t,且0?t?1.(12分)

(1)确定b,c的值:

(2)写出点B,Q,P的坐标(其中Q,P用含t的式子表示):

(3)依点P的变化,是否存在t的值,使△PQB为等腰三角形?若存在,求出所有t的值;25.如图,已知抛物线y??若不存在,说明理由.(12分)

226.已知P(m,a)是抛物线y?ax上的点,且点P在第一象限. (12分)

(1)求m的值

(2)直线y?kx?b过点P,交x轴的正半轴于点A,交抛物线于另一点M.

①当b?2a时,∠OPA=90°是否成立?如果成立,请证明;如果不成立,举出一个反例说明;

②当b?4时,记△MOA的面积为S,求

M 1的最大值 sy

参考答案

O P A x

24

二、11.26?2 12。-7 13。y??

14.a?0,c?0 15。y?(x?2)不唯一

16.y?x?4x?4 17。1125米 18。-2 19。①②③④

20.(1)60元,400个或80元200个 (2)70

21.解:(1)∵当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3,-2).∴设二次函数解析式为

y=a(x-3)2-2

又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4,∴图象与x轴交于(1,0)和(5,0)两点

∴a(1-

3)2-

2=0 ∴a= 221240x?x 2525

∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+

(2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位,|AB|=4

∴×4×|Py|=12 ∴|Py|=6 ∴Pg=±6

但抛物线开口向上,函数值最小为-2,∴Py=-6应舍去,∴

Pg=6 又点P在抛物线上, ∴6=x2-3x+x1=-1,x2=7

即点P的坐标为(-1,6)或(7,6)

22.解:(1)y?x?10或y?x?4x?6 22

b?10b2?1b6?100,?),由题意得 将(0,b)代入,得c?b.顶点坐标为(24

b?10b2?16b?100?2??b??,解得b1??10,b2??6. 24

(2)y??2x?2

23. 由ax?(?3a)x?4?0,解得 x1??3,x2??

∴ 点A、B的坐标分别为(-3,0),(?

∴ AB?|?2434. 3a4,0). 3a4?3|,AC?AO2?OC2?5, 3a

25

∴ AB2?|?

4164168

?3|2?2?2?3??9?2??9, 3a9a3a9aa

1622

AC?25,BC??16. 2

9a

〈ⅰ〉当AB?AC?BC时,∠ACB=90°. 由AB?AC?BC,

2

2

2

2

2

2

168161

. 解得 . a????9?25?(?16)

49a2a9a2

116625400222

∴ 当a??时,点B的坐标为(,0),AB?,AC?25,BC?.

4399

1222

于是AB?AC?BC. ∴ 当a??时,△ABC为直角三角形.

4

〈ⅱ〉当AC?AB?BC时,∠ABC=90°. 24.[解] (1)b?

2

2

2

9

c?3 (2)B(4,0) Q(4t,0) P(4?,4t 3t 4

(3)存在t的值,有以下三种情况

①当PQ?PB时 ?PH?OB,则GH?HB

C

?4?4t?4t?4t?t?

1

3

②当PB?QB得4?4t?5t

4

?t?

9

③当PQ?QB时,如图

O C

解法一:过Q作QD?BP,又PQ?QB

O

BP5BDBQ

?t又△BDQ∽△BOC??

22BOBC5t

324?4t ? ?t? ?

5745

则BD?

解法二:作Rt△OBC斜边中线OE则OE?BE,BE?

BC5

?, 22

5

BEOB324

? 此时△OEB∽△PQB? ???t?BQPB4?4t5t57

解法三:在Rt△PHQ中有QH?PH?PQ

26

2

2

2

?t?

57

t?0(舍去) 又?0?t?1 ?当t?1432

3或9或57

时,△PQB为等腰三角形.

25.[解] (1)m2

a?(a?0)m2

?1(m?0)?m?1 (2)①b=2a,y?kx?2aP在直线上,则 a?k?2a?a??k(k?0) kx?2a?0?x??

2a?2kk??k

?2 A(2,0) ?kx2

?kx?2k?x2

?x?2?0?(x?2)(x?1)?0,x?2或x??1

M(-1,a) ∠OPA=90° 即a2?1,a?1, k??1,y??x?2,y?x2

1)

故存在这样的点P, ②kx?4?0?x??

4

k

又k?4?a?k?a?4 (a?4)x?4?ax2

?ax2

?(a?4)x?4?0?(ax?4)(x?1)?0

∴S=

44?a16a12?

32

4a?a2

1S?18a?132a2??1132(a?2)2?8

∴当a?2时,

1S?

1

max

8

27

P(1,

知识点

一 集合:

圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;

圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;

圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

二 轨迹:

1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆;

2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线;

3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线;

4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于 定长的两条直线;

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都 相等的一条直线

三 位置关系:

1点与圆的位置关系:

点在圆内 d<r 点C在圆内

点在圆上 d=r 点B在圆上

A

点在此圆外 d>r 点A在圆外

2 直线与圆的位置关系:

直线与圆相离 d>r 无交点

直线与圆相切 d=r 有一个交点

直线与圆相交 d<r 有两个交点

四 垂径定理:

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧

推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中 2个即可推出其它3个结论,即: ?????AD ①AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ BC ? BD ⑤ AC 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O中,∵AB∥CD

D

五 圆心角定理

D

圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等

此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论也即:①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ??ED?BA

六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半

即:∵∠AOB和∠ACB是 所对的圆心角和圆周角 BA

∴∠AOB=2∠ACB

圆周角定理的推论:

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O中,∵∠C、∠D都是所对的圆周角

∴∠C=∠D

推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O中,∵AB是直径 或∵∠C=90°

∴∠C=90° ∴AB是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形

A即:在△ABC中,∵OC=OA=OB ∴△ABC是直角三角形或∠C=90°

注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的 一半的逆定理。

七 圆内接四边形

圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。

即:在⊙O中,∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180°

∠DAE=∠C

八 切线的性质与判定定理

29

(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)

推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心

以上三个定理及推论也称二推一定理:

即:过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件

∵MN是切线

∴MN⊥OA

切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切

线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即:∵PA、PB是的两条切线

∴PA=PB

PO平分∠BPA

九 圆内正多边形的计算

(1)正三角形

在⊙O中 △ABC是正三角形,有关计算在Rt△BOD中进行,OD:BD:OB= 1::2

(2)正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt△OAE中进行,OE :AE:OA= 1:1:

(3)正六边形

同理,六边形的有关计算在Rt△OAB中进行,AB:OB:OA= 1::2

十、圆的有关概念

1、三角形的外接圆、外心。 →用到:线段的垂直平分线及性质

2、三角形的内切圆、内心。 →用到:角的平分线及性质

30

??中心对称十一、圆的有关线的长和面积。

1、圆的周长、弧长

C=2?r, l=R?

2、圆的面积、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积

S圆=?r , 2Ol S扇形=12 lr S圆锥= ?r底面圆l母线 +?r底面圆2

3、求面积的方法

直接法→由面积公式直接得到

间接法→即:割补法(和差法)→进行等量代换

十二、侧面展开图:

①圆柱侧面展开图是 形,它的长是底面的 ,高是这个圆柱的 ;

②圆锥侧面展开图是 形,它的半径是这个圆锥的 ,它的弧长是这个

圆锥的底面的 。

十三、正多边形计算的解题思路:

连 OAB作垂线OD?等腰三角形?????直角三角形。 正多边形???转 化转 化

可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形,再用解直角三角形的知识进行求解。

例题解析

例1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,∠CDB=30°, ⊙O的半径为3cm,则弦CD的长为( )

A.3cm 2

B.3cm C

. D.9cm

31

例2.⊙O的半径为10cm,弦AB=12cm,则圆心到AB的距离为( )

A. 2cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm

【分析】圆的计算,弦,点到直线的距离

【解答】C

例3.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,

则⊙O的半径为( )

A.5 B.4

C.3 D.2

【分析】圆的相关概念、点到直线的距离

【解答】A

例4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连结OC,若OC=5,CD=8,,则tan∠COE=( )

A.3434 B. C. D. 55

43

【分析】锐角三角函数、垂径定理及其逆定理

【解答】D

32

间的函数图象大致为( )

【分析】弧长、弓形面积及简单组合图形的面积

【解答】A

例6.如图,弦CD垂直于⊙O的直径AB

,垂足为H,且CD

=BD,则AB的长为【

A.2 B.3 C.4 D.5

【分析】垂径定理及其逆定理

【解答】B

例7.△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是【 】

A.120° B.125° C.135° D.150°

【分析】与圆有关的综合题

【解答】C

例8.如图,弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周, P为弧AD上任意一点,若AC=5,则四边形ACBP周长的最大值是( )

A. 15 B. 20 C.

15+.15+33

【分析】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等

【解答】C

例9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径.若∠BOC=80°,

则∠A等于( )

A.60° B.50°

C.40° D.30°

【分析】圆周角和圆心角

【解答】C.

例10.如图,⊙O的弦AB=6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4,则⊙O的半径为(

A.5

B.4 C.3 D.2

【分析】垂径定理、勾股定理.

【解答】A

例11.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BOC=44°,则∠A的度数为 .

34

【分析】圆、角

【解答】22°

例12. 如图,点A、B、C是?O上的三点,AB//OC.

(1)求证:AC平分?OAB.

(2)过点O作OE?AB于点E,交AC于点P. 若

AB

?2,?AOE?30?,求PE的长.

【分析】与圆有关的综合题

【解答】(1)∵AB//OC, ∴?C??BAC;∵OA?OC,∴?C??OAC ∴?BAC??OAC 即AC平分?OAB.

(2)∵OE?AB ∴AE?BE?1AB?1 又??AOE?30?,?PEA?90?∴2

11?OAE?60?∴?EAP??OAE?30?, ∴PE?PA,设PE?x,则PA?2x,根22

据勾股定理得x?1

?(2x),解得x?222PE(或者用tan?EAP?) 3AE

即PE的长是

. 3

例13.如图所示,圆O是△ABC的外接圆,?BAC与?ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆O于点D,连结BD、DC.

(1)求证:BD?DC?DI;

(2)若圆O的半径为10cm,?BAC?120°,求△BDC的面积.

35

(1)证明:?AI平分?BAC

??BAD??DAC,?BD?DC

??ABI??CBI ?BI平分?ABC,

??BAD??DAC,?DBC??DAC

??BAD??DBC,又?DBI??DBC??CBI,?DIB??ABI??BAD ??DBI??DIB,△?BDI为等腰三角形

?BD?ID,?BD?DC?DI

(2)解:当?BAC?120°时,△ABC为钝角三角形, ?圆心O在△ABC外,

连结OB、OD、OC,

??DOC??BOD?2?BAD?120°,

??DBC??DCB?60°,

?△BDC为正三角形.

又知OB?10cm,

?

BD?2OBsin60°

?2?10?? 2

?S△

BDC?

2?24.

答:△BDC的面积为cm. 2

36

(1)求△CAD的面积;

(2)如果在这个圆形区域中,随机确定一个点P,那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少?

【分析】圆的基本性质、圆周角和圆心角

【解答】解:(1)∵AD为⊙O的直径,

∴∠ACD=∠BAE=90°.

??CD??DE?,∴ ∠BAC=∠CAD=∠DAE . ∵ BC

∴∠BAC=∠CAD=∠DAE =30°.

∵在Rt△ACD中,AD=2,CD=2sin30°

=1, AC=2cos30°.

1

22∴S

△ACD=AC×CD =.

(2) 连BD,∵∠ABD=90°, ∠BAD= =60°,

∴∠BDA=∠BCA= 30°,∴BA=BC. 作BF⊥AC,垂足为F,(5分)

∴AF

=1

2AC2,∴BF=AFtan30°=1

2 ,

∴S

△ABC=1

2AC×BF =

4 , ∴SABCD=4 .

∵S⊙O=

π ,∴P点落在四边形ABCD

区域的概率=?4?

37

(2)解法2:作CM⊥AD,垂足为M.

∵∠BCA=∠CAD(证明过程见解法),∴BC∥AD.

∴四边形

ABCD为等腰梯形.

∵CM=ACsin30°=2,∴S

ABCD=1

2(BC+AD)CM=4.

∵S⊙O=π

, ∴P点落在四边形ABCD

区域的概率=?=4?.

例15..(2009年黄冈市)如图,已知AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连结BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于点D,点E是AB上一点,直线CE交⊙O于点F,连结BF,与直线CD

交于点G.求证:BC?BG?BF. 2

【分析】圆周角性质

【解答】∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB于点D,

∴∠BCD=90°-∠ABC=∠A=∠F

∵∠BCD= =∠F,∠FBC=∠CBG

∴△FBC∽△CBG

∴BCFB ?BGCB

38

例16. 如图12,已知:在?O中,直径AB?4,点E是OA上任意一点,过E作弦CD?AB,

?上一点,连接AF交CE于H,点F是BC连接AC、CF、BD、OD.

(1)求证:△ACH∽△AFC;

(2)猜想:AH?AF与AE?AB的数量关系,并说明你的猜想;

(3)探究:当点E位于何处时,S△AEC:S△BOD?1:4?

并加以说明.

证明:(1)∵直径AB?CD

AC??AD ∴?

∴?F??ACH

又?CAF??FAC

∴△ACH∽△AFC

(2)答:AH?AF?AE?AB,连接FB

∵AB是直径,

∴∠AFB?∠AEH?90?

又∠EAH?∠FAB ∴Rt△AEH∽Rt△AFB

AEAH?AFAB

∴AH?AF?AE?AB ∴

(3)当OE?31(或AE?)时,S△AEC:S△BOD?1:4. 22

∵直径AB?CD ∴CE?ED

39

△AEC??

S△BODOB4

∵?O的半径为2

2

?OE1

? 243

∴OE?

2

强化训练 一、选择题

1.下列图形中,?1与?2不一定相等的是( ) ..... a b

A.

B.

1

C.

a b

l

2 D.

2.下列三个命题:①园既是轴对称图形,又是中心对称图形;②垂直于弦的直径平分这条弦;③相等圆心角所对的弧相等.其中是真命题的是( ) A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

3.如图,在⊙O 中,AB是弦,OC⊥AB,垂足为C,若AB=16,OC=6,则⊙O的半径OA等于( )

A、16

B、12

C

、10

D、8

C

(第3题) (第4题) (第5题

)

40

5.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB是直径,∠A=20°,则∠B的度数是( )

A.2O° B.40° C. 70° D.160°

6.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( )

(A)10?20?25?50?cm (B) cm (C) cm (D) cm 3333

7.如图,现有一圆心角为90°,半径为8cm的扇形纸片,用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( )

A.4cm B.3cm C.2cm

D.1cm

B

(第7题) (第8题) (第10题)

8.如图,梯形ABCD内接于◎○,AB//CD,AB为直径,DO平分∠ADC,则∠DAO的度数是( )

A、90 B、80 C、70 D、600000

9.在下列三角形中,外心在它一边上的三角形是( )

A.三角形的边长分别是2 cm,2 cm,3 cm B.三角形的边长都等于5 cm

C.三边长分别为5 cm,12 cm,13 cm D.三边长分别为4 cm,6 cm,8 cm 10.如图,正方形ABCD的边长为a,那么阴影部分的面积为( )

A.12 πa4 B.121πa C.πa2

28 D.12πa 16

二、填空题

11.在半径为10cm的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为6cm,则弦AB的长是 cm.

12.如图,⊙O是等边三角形ABC的外接圆,点D是⊙O上一点,则∠BDC = .

13.若圆锥的母线长为3 cm,底面半径为2 cm,则圆锥的侧面展开图的面积 .

14.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,O为圆心. OD⊥AB,垂足为D,OE⊥AC,垂足为E,若

DE=3,则BC= .

41

(第12题) (第14题) (第15题)

15.右图是一单位拟建的大门示意图,上部是一段直径为10米的圆弧形,下部是矩形ABCD,

其中AB=3.7米,BC=6米,则AD的中点到BC

的距离是 .

三、解答题

?. AD?CB16.如图所示,在⊙O中,AB与CD是相交的两弦,且AB=CD,求证: ?

17.)如图所示,AB是OD的弦,半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF,请你找出线段

OE与OF的数量关系,并给予证明.

18.在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=0.6米,求油的

最大深度.

42

19.如图,圆锥的底面半径r = 3 cm,高h = 4 cm.求这个圆锥的表面积(?取3.14)

20.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚(如图),求B点从开始到结束时

所走过的路径长.

C

BCAB

21.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是BC的中点,连接DO并延长到F使AF=OC.

(1)写出途中所有全等的三角形(不用证明);

(2)探究:当∠1等于多少度时,四边形OCAF是菱形?请回答并给予证明.

43

1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.C 11.16 12.60 13.6? 14.6 15.4.7 16.在⊙O中,∵AB=CD,

?. AB?CD∴?

??CD??BD?,即??. AB?BDAD?BC∴?

17.OE=OF.证明:连结OA,OB. ∵ OA=OB,∴∠A=∠B. 又∵AE=BF, ∴△OAE≌△OBF, ∴OE=OF.

18.0.1米 19.75.36cm2 20.

4?

3

21.(1)△ODB≌△ODC,△AOF≌△OAC; (2)当∠1等于30度时,四边形OCAF是菱形

44

ac

b?d?ad?bc? (比例基本定理)

bd? ac

dcab

更比性质:?或?

bacda?bc?d

合比性质: ?

bd

acma?c???ma????(b?d???n?0)?等比性质:? bdnb?d???nb

反比性质:

涉及概念:①第四比例项②比例中项

③比的前项、后项,比的内项、外项④黄金分割等。

平行线分线段

推论

成比例定理 (骨干定理)

(基本定理)

定定

推论的

理推论

逆定理

相似基本定理 Rt△ 定理3 定理2

推论

定理1

二、有关知识点:

1.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理:

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下:

45

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似:

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8. 相似三角形的传递性

如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2

9点距离的的两倍。

三、注意

1、相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一个判定定理,也是后面学习的相似三

角形的判定定理的基础,这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。

在利用定理证明时要注意A型图的比例

ADDEAE

,每个比的前项是同一个三 ??

ABBCAC

角形的三条边,而比的后项是另一个三角形的三条对应边,它们的位置不能写错,尤其是要防止写成

ADDEAE

的错误。 ??

DBBCEC

2、 相似三角形的基本图形

A

Ⅰ.平行线型:即A型和8型。

Ⅰ.相交线型 A.具有一个公共角,

在△ABC与△ADE中∠A是它们的公共

46

E

C

B

C

C.有对顶角:在△ABC中∠1与∠2是对顶角

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题,常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题,常用处理办法是设“公比”为k。

6、对于复杂的几何图形,采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理。

例题解析

例1:已知:如图,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中点,DM⊥BC于点E,交BA的

延长线于点D。

2AEME

求证:(1)MA2=MD?ME;(2) ?

AD2MD

【分析】命题1 如图,如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB2=AD?AC。 命题2 如图,如果AB2=AD?AC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。 【解答】证明:(1)∵∠BAC=900,M是BC的中点,∴MA=MC,∠1=∠C,

∵DM⊥BC,∴∠C=∠D=900-∠B,∴∠1=∠D,

B

A

M

C

ED

MAME

,∴MA2=MD?ME, ?

MDMA

MAMEMEAEMAAEMEAE2???(2)∵△MAE∽△MDA,∴,∴ ??

ADMDADMAAD2MDMAMD

∵∠2=∠2,∴△MAE∽△MDA,∴

47

【分析】图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作?观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE:ED”的特征,作DG∥BA交CF于G,得△AEF∽△DEG,AEAFAE2AFAF。与结论相比较,显然问题转???1DEDGEDFBBF2

化为证DG?1FB。 2

【解答】证明:过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)AE?AF (1)

DEDG

∵D为BC的中点,且DG∥BF∴G为FC的中点则DG为△CBF的中位线,DG?1BF (2)将

2(2)代入(1)得:AE?AF?2AF

DE1FBBF2

例3:已知:如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点,且

证:∠AEF=∠FBD

AEBAF1??。求ABAD3FD

EBC

【分析】要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,

本题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题的关键是构造相似三角形,

【解答】证明:作FG⊥BD,垂足为G。设AB=AD=3k则BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=3

48

又∠A=∠FGB=900∴△AEF∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD

例4、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点,且AB∥ED,BC∥FE,求证:AF∥CD。

【分析】:要证明AF∥CD,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的选择。其实要证明AF∥CD,只要证明条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。 【解答】证明:∵AB∥ED,BC∥FE∴

O

A

C

BF

D

OAOF

即可,因此只要找出与这四?

OCOD

OAOBOEOFOAOF

,∴两式相乘可得: ???

OEODOCOBOCOD

强化训练 一、选择题

1. 下列各组图形有可能不相似的是( ).

(A)各有一个角是50°的两个等腰三角形 (B)各有一个角是100°的两个等腰三角形 (C)各有一个角是50°的两个直角三角形 (D)两个等腰直角三角形

2

2. 如图,D是⊿ABC

的边AB上一点,在条件(1)△ACD=∠B,(2)AC=AD·AB,(3)AB边上与点C距离相等的点D有两个,(4)∠B=△ACB中,一定使⊿ABC∽⊿ACD的个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

3.如图,∠ABD=∠ACD,图中相似三角形的对数是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

49

4.如图,在矩形ABCD中,点E是AD上任意一点,则有( )

(A)△ABE的周长+△CDE的周长=△BCE的周长

(B)△ABE的面积+△CDE的面积=△BCE的面积

(C)△ABE∽△DEC

(D)△ABE∽△EBC

5.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边

形的相似比为( )

A.9:4 B.2:3 C.3:2 D.81:16

6. 下列两个三角形不一定相似的是( )。

A. 两个等边三角形 B. 两个全等三角形

C. 两个直角三角形 D. 两个等腰直角三角形

7. 若⊿ABC∽⊿A?B?C,∠A=40°, ∠B=110°,则∠C?=( )

A. 40°B110°C70° D30°

8.如图,在ΔABC中,AB=30,BC=24

,CA=27, AE=EF=FB,

EG∥FD∥BC,FM∥EN∥AC,则图中阴影部分的三个三角形的周长

之和为( )

A、70 B、75 C、81 D、80

二、填空题

9.如图,在△ABC中,△BAC=90°,D是BC中点,AE∥AD交CB延长线于点E,则⊿BAE相似于______.

10、在一张比例尺为1:10000的地图上,我校的周长为18cm,则我校的实际周长为 。

11、如果两个相似三角形对应高的比为4:5,则这两个三角形的相似比是

12、已知⊿ABC∽⊿DEF,AB=21cm,DE=28cm,则⊿ABC和⊿DEF的相似比为

13、 某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度,在同一时刻,他测得自己影子长为0.8m,旗杆的影子长为7m,已知他的身高为1.6m,则旗杆的高度为

m.

14. 在长8cm,宽6cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的

50

16. 如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地上形成阴影(圆形 )的示意图,已知桌面的直径为1.2米,桌面距地面1米,灯泡距地面3米,则地上阴影部分的面积是______.

三、简答题

17. 如图,点C、D在线段AB上,⊿PCD是等边三角形.

(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,⊿ACP∽⊿PDB?

(2

)当⊿ACP∽⊿PDB时,求⊿APB的度数.

18.如图,BD、CE为⊿ABC的高,求证⊿AED=⊿ACB.

19.已知一矩形稻田可产稻谷100公斤,按此规律计算,若将此稻田长宽分别扩大两倍,则可产稻谷多少公斤?

20. 已知:如图,BC为半圆的直径,O为圆心,D是弧AD的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。求证:⊿ABE∽⊿DBC。

51

四、创新与应用(12分)

21. (本题7分)如图,四边形DEFG是ΔABC的内接矩形,如果ΔABC的高线AH长8cm,底边BC长

10cm,设DG=xcm,DE=ycm,求y关于x的函数关系式.

五、科学与探究 (20分)

22. 在△OAB中,O为坐标原点,横、纵轴的单位长度相同,A、B的坐标分别为(8,6),(16,0),点P沿OA边从点O开始向终点A运动,速度每秒1个单位,点Q沿BO边从B点开始向终点O运动,速度每秒2个单位,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间,当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。

求(1)几秒时PQ∥AB

(2)设△OPQ的面积为y,求y与t的函数关系式

(3)△OPQ与△OAB能否相似,若能,求出点P的坐标,若不能,试说明理由

试题答案

一、1.A 2.B 3.C 4. B 5. C 6. C 7 D 8 C

二、9. ⊿ACE 10 1800米 11. 4:5,16:25 12. 3:4 13.14 14. 27 15. 5

16. 0.81π米2

三、17. (1)CD2=AC·DB (2)1200

18.先证⊿ABD∽⊿ACE可得AE:AD=AC:AB,加上∠A=∠A可证⊿ADE∽⊿ABC得⊿AED=⊿ACB

19. 400 20. 提示:∠BAE=∠BDC,弧AD=弧DC,∠ABE=∠DBC,可证结论。 四、21.Y=-0.8x+8 (0<x<10)

OPOQt16?2t??22OA?8?6?1016,五、22. (1)由已知得,当PQ∥AB时OAOB,则:10

得:t=40/9

(2) 过P作PC⊥OB, 垂足为C, 过A作AD⊥OB, 垂足为D

PCOPPCt3?,?,?PC?t105 ADOA6

52

PCOPOC??

∵t=9 ∴OP= 9, ∵ADOAOD 其中AD=6,OA=10,OD=8 ∴4040

32

OC=

83289,PC=3,∴P点坐标是(9,3 ).

九年级数学期中模拟试卷(二)

请同学们注意:

1、本试卷分试题卷和答题卷两部分,试题卷满分为120分,考试时间为90分钟

2、答题前,必须在答题卷的密封区内填写班级、学号、姓名、试场号及座位号;

3、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上,务必题号对应;

4、考试结束后,只需上交答题卷;

一、仔细选一选(本题有10小题,每题3分,共30分)

1.下列函数表达式中,属于反比例函数的是( )

A.y?x?1 B.y?12 C.y??2x?1 D.y?2x x

2.如图,所示的计算程序中,y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是( )

A. 第一象限

B. 第一、三象限

53

C.y?(x?1)?2 D.y?(x?1)?2

4.若二次函数y?ax?bx?a?2(a,b为常数)的图象如下, 则a的值为( )A.?2

(第4题)

2

2

22

B. C. D

(第7题)

5.已知AB、CD是⊙O的两条直径,则四边形ADBC一定是( )

A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 6.下列命题中,正确的是( )

A.任意三点确定一个圆 B.平分弦的直径垂直于弦

C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D.垂直弦的直线必过圆心 7.如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是( )

A.m= n,k>h B.m=n ,k<h C.m>n,k=h D.m<n,k=h

8.如图,CD是⊙E的弦,直径AB过CD的中点M,若∠BEC=40°, 则∠ABD=( )

A.40° B.60° C.70° D.80° 1

9. 已知函数y=x≥-1时,y的取值范围是( )

x

A.y<-1 B.y≤-1 C.y≤-1或y>0 D.y<-1或y≥0

10.法国的“小九九”从“一一得一” 到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的,后面的就改用

手势了。右面两个图框是用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例。若用法国“小九九”计算7×9,左右手依次伸出手指的个数是( ) A、2,3

B、3,3

C、2,4 D、3,4

二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分) 11.函数y?

1

中自变量x的取值范围是____ . x?3

12.如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,OC⊥AB于C,则OC的长等于___

13.已知关于x的函数同时满足下列三个条件:

54

(第12题图)

解析式可以是: ___ (写出一个即可).

14.已知二次函数y?x2?bx?c的图象经过点A(-1,0),B(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为C,则AC长为 _ .

15.如图,⊙O的直径AB与弦CD

相交于点E,若AE=5,BE=1,CD?则∠AED=

2,OC平分(x?0)经过四边形OABC的顶点A、C,∠ABC=90°x

OA与x轴正半轴的夹角,AB∥x轴,将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C,B'点落在OA16. 如图,双曲线y?上,则四边形OABC的面积是 _ .

三、全面答一答(本大题有8小题,共66分)

17.(本小题满分6分) 已知y?y1?y2,y1与x成反比例,y2与(x?2)成正比例,并且当x=3时,y=5,当x=1时,y=-1;求y与x之间的函数关系式。

18.(本题6分)如图(第18题①),是日全食的初亏阶段,请用直尺和圆规作图,把图(第18题②)中的太阳补充完整.不写作法,但保留作图痕迹.

(第18题①) (第18题②)

19.(本小题6分)

已知一抛物线与x轴的交点是A(?2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。

(1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。

20.(本小题6分) 如图,MN为半圆O的直径,半径OA⊥MN,

D为OA的中点,过点D作BC//MN,

55

21.(本小题8分)某商店购进一批冬季保暖内衣,每套进价100元,售价为130元,每星期可卖出80套.商家决定降价销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20套. (1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?(2)降价后,

要使每星期的销售利润最大,应该售价定为多少元?最大销售利润是多少?

商家

22.(本小题10分)如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A(0,

2),B(4,2)C(6,0),解答下列问题:

(1) 请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置,则D点坐

标为________ ;

(2) 连结AD,CD,求⊙

D的半径(结果保留根号); (3) 求扇形DAC的面积. (结果保留π)

23.(本小题满分10分)

如图,已知点A(-1,m)与B(2,m?是反比例函数y?求k的值;(2)若C点坐标为(-1,0),则在反比例函数y?

k

图象上的两个点.(

1)x

k

图像上是否存在点D,使得以x

A、B、C、D为顶点的四边形为梯形?若存在,求D

56

点,开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在⊙C上.

(1)求∠ACB的大小;

(2)写出A,B两点的坐标;

(3)试确定此抛物线的解析式;

(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段

OP与CD互相平

分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

57

(满分120分,考试时间90分钟)

二、填空题(每小题4分,共24分)

11; 12. 3 13. 略 ; 14. 3 ; 15 . 30 16.2

三、解答题(共66分)

17.(本题满分6分) 。

k1,y2?k2(x?2) x

k 则y?y1?y2?1?k2(x?2)——2分 x解:设y1?

当x=3时,y=5,当x=1,y= -1则

?1?k1?3?k1?k2?5 解得?——2分 ?3k??4?2??k1?k2??1

?y与x之间的函数关系式为:y?3?4x?8——2分 x

18.(本小题满分6分)

两条中垂线 4分,

补全整个圆 1分

结论 1分

19.(本小题满分6分)

(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x+1) (2

)由y=2(x+2)(x-1)知对称轴为 则8= a(2+2)(2-1) 直线x= -1/2

解得a=2 当x=-1/2时,y= -9/2 (第18题①) (第18题②) ?该抛物线的解析式为:y=2(x+2)(x-1)——3分 ?该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2)——3分

20.(本小题满分8分)

证明:(1)∵BC//MN,半径OA⊥MN

58

∴BA=OB=OA=OC=CA

∴四边形ABOC为菱形 ——4分

(2)∵BC//MN

∴∠BNM=∠CBN

又∵OB=ON

∴∠BNM=∠NBO ∴∠BNM=1∠OBD 2

由(1)知:△ABO和△AOC为正三角形且BD平分∠ABO ∴∠BNM= ∠MNB=1∠OBD=15°,∠BAC=120° 21∠BAC ——4分 8

21.(本小题满分8分)

(1)解:80×30=2400(元)

答:降价前每星期的销售利润是2400元。 (2分)

(2)设降价x元,则多卖4x件,每星期的销售利润y元 (1分) 由题可得y?(30?x)(80?4x)??4x?40x?2400 (2分) 当x=5时, y 最大=2500元 (2分)

所以售价为125元。 (1分)

答:当售价为125元时,最大利润为2500元。

22.(本小题满分10分)

(1)D点坐标为(2,-2) (3分)

(2)

解::r?222?42?2

所以,⊙D的半径为25 (3分)

(3)

。解:∠ADC=90 (2分)

S?90??20?5? (2分) 360

(3分)

(3)

。解:∠ADC=90 (2分)

S=

25? (2分) 459

∵ A(-1,?2 ), B(2,3) ∴直线AB所在的直线为y?直线CD为:y?3x?3 x?

直线CD与反比例函数图象的交点坐标为(1,2)或(-2,? ) (3分) 当CB//AD时,

则过C(-1,0)、B(2,√3)的直线为:y?x? 33

AD所在直线为:y?353x? 33

)(3分) 3直线AD与反比例函数图象的交点坐标为(-1,2)(舍

)或(6,

∴D的坐标为(1,23)或(-2,?3 )或(6,

24.(本题满分12分) 3 ) (1分) 3

(1)

解:过点作CM⊥AB,得CM=1,

∵AC=2,∴∠CAB=30°,∴∠ACB=120° (2分) (2)∵CM=1,AC=2,∴AM=3

∴A(1-3,0 ) B(1+,0) (2分)

60

设y?a(x?1)?3

经过点A(1-,0 ) ,得 0=3a+3

∴a=-1 ∴y??(x?1)?3 (2分)

(4)解:存在 (1分)

假设存在点D使线段OP与CD互相平分,则四边形OCPD是平行四边形 ∴PC//OD且PC=OD.

∵PC//y轴,∴点D在y轴上.

又∵PC=2,∴OD=2,即D(0,2). (2分)

又D(0,2)满足y??(x?1)?3

∴点D在抛物线上 所以存在D(0,2)使线段OP与C

61

222

请同学们注意:

1、本试卷分试题卷和答题卷两部分,试题卷满分为120分,考试时间为90分钟

2、答题前,必须在答题卷的密封区内填写班级、学号、姓名、试场号及座位号;

3、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上,务必题号对应;

4、考试结束后,只需上交答题卷;

一、仔细选一选(本题有10小题,每题3分,共30分)

下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内。注意可以用多种不同的方法来选取正确答案。

1.已知⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离为3cm,则点A与⊙O的位置关系是( )

A.点A在⊙O 内 B.点A在⊙O 上

C.点A在⊙O 外 D.不能确定

2.若一个三角形的外心在这个三角形的边上,那么这个三角形是( )

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

3.已知点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)都在反比例函数y?

A.y2?y1?0

C.y2?y1?0

22的图象上,若x1?x2?0,则( ) x B.y1?y2?0 D.y1?y2?0 4.抛物线y??x向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到新的图象的二次函数表达

式是( )

A.y??(x?1)?2

C.y??(x?1)?2 22 B.y??(x?1)?2 D.y??(x?1)?2 22(第5题图) 5.如图,已知圆心角∠BOC=78o,则圆周角∠BAC的度数是( )

A.156o B.78o

C.39o D.12o

6.如图,已知⊙O的半径为5mm,弦AB=8mm,则圆心O到AB

( )

A.1mm B.2mm

C.3mm D.4mm

7.已知圆锥体模具的母线长和底面圆的直径均是10,则这个圆锥的 侧面积是( ) (第6题图)

A.150π B.100π C.75π D.50π

62

C.

15πcm (第8题图) D.20πcm

29.设(x1,0)、(x2,0)是二次函数y?x?mx?x?n?2与x轴的两个交点,且x1<0,

x2?3x1<0,则( )

A.??m?1

?n?2 B.??m?1?m?1?m?1 C.? D. ??n?2?n?2?n?10.如图,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB

=AC=2,直角顶点A在直线y?x上,其中A

点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行

k于x轴、y轴,若双曲线y?(k?0)与 x△ABC有交点,则k的取值范围是( ) A.1?k?2 B.1?k?3 C.1?k?4 D.二、认真填一填(本题有6个小题,每小题4分,共24分)

要注意认真看清题目的条件和要填写的内容,尽量完整地填写答案。

11.已知反比例函数y?3?k 的图象在每一个象限内,y随x的增大而增大,则k的取值x

范围是 。

12.请写出一个开口向上,且对称轴为直线x?2的二次函数解析式 。

13.如图所示,抛物线的对称轴为直线x?1,且与x轴交于A、B两点,其中点A(-2,0),

则点B的坐标为 。

14. 如图AB为⊙O的直径,C、D是⊙O上两点,若∠ABC=55o,则∠D的度数为 。

(第14题图) (第15题图)

15.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为 ⊙O的直径,AD=6,则

BC= 。

16.如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心,1为半径的扇形,并且所有多边形的每

条边长都大于2,则第n个多边形中,所有扇形面积之和是 (结果保留π)。

三、全面答一答(本题有8小题,共66分)

63

17.(本小题6分)

已知y是x的反比例函数,当x=3时,y=4,求y关于x的函数解析式;并当x=2时,求函数y的值。

18.(本小题6分)

如图,扇形OAB的圆心角为120°,半径为6cm。

(1)请用尺规作出此扇形的对称轴(不写作法,保留作图痕迹);(4分);

(2)若将此扇形围成一个圆锥的侧面 (不计接缝),求圆锥的底面半径。(6分)

19.(本小题6分)

已知一次函数y??x?1与反比例函数y?k的图象都过点A(m,1)。 x

(1)求m的值,并求反比例函数的解析式;

(2)求正比例函数与反比例函数的另一个交点B的坐标;

(3)求△AOB的面积。

64

(1)求函数图象的顶点坐标和对称轴;

(2)求函数图象与坐标轴的交点坐标;

(3)画出此函数图象的草图,并根据图象回答:x为何值时,y>0?

21.(本小题8分)

如图,以正△ABC的AB边为直径画⊙O,分别交AC、BC于点D、E,已知AB=6cm,求弧DE的长及阴影部分的面积。

(第21题图)

22.(本小题10分)

如图,已知在⊙O中,∠ABD=∠CDB。 (1)求证:AB=CD;

(2)顺次连结ACBD四点,猜想得到的四边形是 哪种特殊的四边形?并证明你的猜想。

23.(本小题10分)

某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满。当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用。

设每个房间每天的定价增加x元,求:

65

为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?

24.(本小题12分)

如图(图在答题卷上),已知抛物线y?x?ax?a?2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D(0,8),直线CD平行于x轴,交抛物线于另一点C。动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿C → D方向运动;同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿A → B方向运动。连接PQ、CB,设点P的运动时间为t秒(0<t<2)。 (1)求a的值;

(2)当t为何值时,PQ平行于y轴?

(3)当四边形PQBC的面积等于14时,求t的值。

66

2

1.A 2.B 3.A 4.D 5.C 6.C 7.D 8.D 9.C 10.C

二、填空题(每小题4分,共24分)

11.k>3

?12.y?(x?2)?1等 16.2 13.(4,0) 14.35 15.6 n? 2

三、解答题(共60分)

12 (3分) 再得y?6(3分) x

18.(1) 图略(3分) (2) r?2cm(3分)

?2319.(1)m??2,y?(2分) (2)B(1,-2)(2分) (3)S?AOB?(2分) x2

20.(1)顶点(1,2),对称轴:直线x?1 (2分) 17.先求函数解析式为y?

(2)与轴交点(0,1.5),与轴交点(-1,0),(3,0) (3分)

(3)图象略,?1?x?3 (3分)

21.弧DE的长为π(4分) 阴影部分面积为3?93?(4分) 22

22.(1)证明略(5分) (2)等腰梯形(2分) 理由(3分)

x12(2分) (2)z??x?40x?12000(3分) 1010

xx (3)w?(200?x)(60?)?20(60?) (1分) 1010

1122 ??(x?210)?15210 (2分) 或:??x?42x?10800(2分) 1010

当x?210时,有最大值(1分)

此时,x?200?410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,有最大值,且23.(1)y?60?最大值为15210元。(1分)

24. (1)a?6(4分)

4秒时,PQ平行于y轴(4分) 3

3(3)当t?秒时,四边形PQBC的面积为14(4分) 2(2)当t?

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