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人教版七年级数学上册教案全册1

发布时间:2013-09-21 15:39:01  

第一章 有理数

单元教学内容

1.本单元结合学生的生活经验,列举了学生熟悉的用正、负数表示的实例,?从扩充运算的角度引入负数,然后再指出可以用正、负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入是来自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.

引入正、负数概念之后,接着给出正整数、负整数、正分数、负分数集合及整数、分数和有理数的概念.

2.通过怎样用数简明地表示一条东西走向的马路旁的树、?电线杆与汽车站的相对位置关系引入数轴.数轴是非常重要的数学工具,它可以把所有的有理数用数轴上的点形象地表示出来,使数与形结合为一体,揭示了数形之间的内在联系,从而体现出以下4个方面的作用:

(1)数轴能反映出数形之间的对应关系.

(2)数轴能反映数的性质.w-w-w.x-k-b-1.c.-o-m

(3)数轴能解释数的某些概念,如相反数、绝对值、近似数.

(4)数轴可使有理数大小的比较形象化.

3.对于相反数的概念,?从“数轴上表示互为相反数的两点分别在原点的两旁,且离开原点的距离相等”来说明相反数的几何意义,同时补充“零的相反数是零”作为相反数意义的一部分.

4.正确理解绝对值的概念是难点.

根据有理数的绝对值的两种意义,可以归纳出有理数的绝对值有如下性质:

(1)任何有理数都有唯一的绝对值.

(2)有理数的绝对值是一个非负数,即最小的绝对值是零.

(3)两个互为相反数的绝对值相等,即│a│=│-a│.

(4)任何有理数都不大于它的绝对值,即│a│≥a,│a│≥-a.

(5)若│a│=│b│,则a=b,或a=-b或a=b=0.

三维目标

1.知识与技能

(1)了解正数、负数的实际意义,会判断一个数是正数还是负数.

(2)掌握数轴的画法,能将已知数在数轴上表示出来,?能说出数轴上已知点所表示的解.

- 1 -

(3)理解相反数、绝对值的几何意义和代数意义,?会求一个数的相反数和绝对值.

(4)会利用数轴和绝对值比较有理数的大小.

2.过程与方法

经过探索有理数运算法则和运算律的过程,体会“类比”、“转化”、“数形结合”等数学方法.

3.情感态度与价值观

使学生感受数学知识与现实世界的联系,鼓励学生探索规律,并在合作交流中完善规范语言.

重、难点与关键

1.重点:正确理解有理数、相反数、绝对值等概念;会用正、?负数表示具有相反意义的量,会求一个数的相反数和绝对值.

2.难点:准确理解负数、绝对值等概念.

3.关键:正确理解负数的意义和绝对值的意义.

课时划分

1.1 正数和负数 2课时

1.2 有理数 5课时

1.3 有理数的加减法 4课时

1.4 有理数的乘除法 5课时

1.5 有理数的乘方 4课时

第一章有理数(复习) 2课时

1.1正数和负数

第一课时

三维目标

一.知识与技能

能判断一个数是正数还是负数,能用正数或负数表示生活中具有相反意义的量.

二.过程与方法

借助生活中的实例理解有理数的意义,体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性.

三.情感态度与价值观

培养学生积极思考,合作交流的意识和能力.

教学重、难点与关键

- 2 -

1.重点:正确理解负数的意义,掌握判断一个数是正数还是负数的方法.

2.难点:正确理解负数的概念.

3.关键:创设情境,充分利用学生身边熟悉的事物,?加深对负数意义的理解. 教具准备

投影仪.

教学过程

四、课堂引入

我们知道,数是人们在实际生活和生活需要中产生,并不断扩充的.人们由记数、排序、产生数1,2,3,?;为了表示“没有物体”、“空位”引进了数“0”,?测量和分配有时不能得到整数的结果,为此产生了分数和小数.

在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题,例如课本第2?页至第3页中提到的四个问题,这里出现的新数:-3,-2,-2.7%在前面的实际问题中它们分别表示:零下3摄氏度,净输2球,减少2.7%.

五、讲授新课

(1)、像-3,-2,-2.7%这样的数(即在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数)叫做负数.而3,2,+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度,净胜2球,增长2.7%,?它们与负数具有相反的意义,我们把这样的数(即以前学过的0?以外的数)叫做正数,有时在正数前

11面也加上“+”(正)号,例如,+3,+2,+0.5,+,?就是3,2,0.5,,?一个数前面33

的“+”、“-”号叫做它的符号,这种符号叫做性质符号.

(2)、中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算,红色算筹表示正数,黑色算筹表示负数.

(3)、数0既不是正数,也不是负数,但0是正数与负数的分界数.

(4) 、0可以表示没有,还可以表示一个确定的量,如今天气温是0℃,是指一个确定的温度;海拔0表示海平面的平均高度.

用正负数表示具有相反意义的量

(5)、 把0以外的数分为正数和负数,起源于表示两种相反意义的量.?正数和负数在许多方面被广泛地应用.在地形图上表示某地高度时,需要以海平面为基准,通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度,负数表示低于海平面的某地的海拔高度.例如:珠穆朗玛峰的海拔高度为8844m,吐鲁番盆地的海拔高度为-155m.记录账目时,通常用正数表示收入款额,负数表示支出款额.

- 3 -

(6)、 请学生解释课本中图1.1-2,图1.1-3中的正数和负数的含义.

(7)、 你能再举一些用正负数表示数量的实际例子吗?

(8)、例如,通常用正数表示汽车向东行驶的路程,用负数表示汽车向西行驶的路程;用正数表示水位升高的高度,用负数表示水位下降的高度;用正数表示买进东西的数量,用负数表示卖出东西的数量.

六、巩固练习

课本第3页,练习1、2、3、4题.

七、课堂小结

为了表示现实生活中的具有相反意义的量,我们引进了负数.正数就是我们过去学过的数(除0外),在正数前放上“-”号,就是负数,?但不能说:“带正号的数是正数,带负号的数是负数”,在一个数前面添上负号,它表示的是原数意义相反的数.如果原数是一个负数,那么前面放上“-”号后所表示的数反而是正数了,另外应注意“0”既不是正数,也不是负数.

八、作业布置

1.课本第5页习题1.1复习巩固第1、2、3题.

九、板书设计

1.1正数和负数

第一课时

1、像-3,-2,-2.7%这样的数(即在以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的数)叫做负数.而3,2,+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度,净胜2球,增长2.7%,?它们与负数具有相反的意义,我们把这样的数(即以前学过的0?以外的数)叫做正数,有时在正数前面

11也加上“+”(正)号,例如,+3,+2,+0.5,+,?就是3,2,0.5,,?一个数前面的33

“+”、“-”号叫做它的符号,这种符号叫做性质符号.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

- 4 -

1.1正数和负数

第二课时

三维目标

一.知识与技能

进一步巩固正数、负数的概念;理解在同一个问题中,用正数与负数表示的量具有相同的意义.

二.过程与方法

经历举一反三用正、负数表示身边具有相反意义的量,进而发现它们的共同特征.

三.情感态度与价值观

鼓励学生积极思考,激发学生学习的兴趣.

教学重、难点与关键

1.重点:正确理解正、负数的概念,能应用正数、?负数表示生活中具有相反意义的量.

2.难点:正数、负数概念的综合运用.

3.关键:通过对实例的进一步分析,?使学生认识到正负数可以用来表示现实生活中具有相反意义的量.X|k |b| 1 . c|o |m

教具准备

投影仪.

教学过程

四、复习提问课堂引入

1.什么叫正数?什么叫负数?举例说明,?有没有既不是正数也不是负数的数?

2.如果用正数表示盈利5万元,那么-8千元表示什么?

五、新授

例1.一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化,写出他们这个月的体重增长值.

2.2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是:

美国减少6.4%,德国增长1.3%,法国减少2.4%,英国减少3.5%,意大利增长0.2%,?中国增长7.5%.

写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率.

- 5 -

分析:在一个数前面添上负号,它表示的是与原数具有意义相反的数.?“负”与“正”是相对的,增长-1,就是减少1;增长-6.4%就是减少6.4%,那么什么情况下增长率是0?当与上年持平,既不增又不减时增长率是0.

解:1.这个月小明体重增长2kg,小华体重增长-1kg,小强体重增长0kg.

2.六个国家2001年商品进出口总额的增长率分别为:

美国-6.4%,德国1.3%,法国-2.4%,英国-3.5%,意大利0.2%,中国7.5%.

归纳:在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义,如盈利-?2千元,就是亏本2千元;前进-3米,就是后退3米;浪费-14元,就是节约14元;向南走-?7米,就是向北走7米,因此盈利2千元与盈利-2千元具有相反的意义.

六、巩固练习

1.课本第5页的第8题.

点拨:增长-3.4%,就是减少3.4%,所以这一年里这六国中中国、?意大利的服务出口额增长了,美国、德国、英国、日本的服务出口额都减少了,意大利增长最多,日本减少最多.

2.补充练习.

若向西走10米,记作-10米,如果一个人从A地先走12米,再走-15米,?你能判断此人这时在何处吗?X k b 1 . c o m

解:向西走10米,记作-10米,那么这人走12米,则表示向东走12米,再走-15米,表示向西走了15米,即这个人从A地先向东走12米,接着再向西走15米,此人这时应该在A地的西方3米处.

七、课堂小结

通过本节课的学习,你对正数、负数的概念是否有了进一步理解?请你用正负数表示身边具有相反数的量.

八、作业布置

1.课本第5页习题1.1第4、5、6、7题.

九、板书设计

九、板书设计

1.1正数和负数

第二课时

1、复习巩固,例题讲解。

2、随堂练习。

- 6 -

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2 有理数

第一课时

三维目标

一、 知识与能力

理解有理数的概念,懂得有理数的两种分类方法:会判别一个有理数是整数还是分数,是正数、负数还是零.

二、过程与方法

经历对有理数进行分类的探索过程,初步感受分类讨论的思想.

三、情感态度与价值观

通过对有理数的学习,体会到数学与现实世界的紧密联系.

教学重难点及突破

在引入了负数后,本课对所学过的数按照一定的标准进行分类,提出了有理数的概念.分类是数学中解决问题的常用手段,通过本节课的学习,使学生了解分类的思想并进行简单的分类是数学能力的体现,教师在教学中应引起足够的重视.关于分类标准与分类结果的关系,分类标准的确定可向学生作适当的渗透,集合的概念比较抽象,学生真正接受需要很长的过程,本课不宜过多展开.

教学准备

用电脑制作动画体现有理数的分类过程.

教学过程

四、课堂引入

1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数,引进了负数以后,我们学过的数有哪些?将如何归类?

2.举例说明现实中具有相反意义的量.

3.如果由A地向南走3千米用3千米表示,那么-5千米表示什么意义?

- 7 -

4.举两个例子说明+5与-5的区别.

5.数0表示的意义是什么?

二、自主探究

在学生讨论的基础上,引导学生自己进行有理数的分类,我们学过的数就可以分为以下几类:

正整数,如1,2,3,?;

零:0;

负整数,如-1,-2,-3,?;

1221 正分数,如,,4.5(即4); 372

1233 负分数,如-,-2,-0.3(即-),-?? 27105

正整数、零和负整数统称整数,正分数、负分数统称分数,整数和分数统称有理数. 回答下列各题:

(1)0是不是整数?0是不是有理数?

(2)-5是不是整数?-5是不是有理数?

(3)-0.3是不是负分数?-0.3是不是有理数?

2.你能对以上各种数作出一张分类表吗(要求不重复不遗漏)?

让学生把自己作出的分类表进行分类,可以根据不同需要,用不同的分类标准,?但必须对讨论对象不重不漏地分类.把一些数放在一起,就组成一个数的集合,?简称数集.所有的有理数组成的数集叫做有理数集.类似的,?所有整数组成的数集叫做整数集,所有正数组成的数集叫做正数集,所有负数组成的数集叫做负数集,如此等等.

五、题例精解

例 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里:-18,

?0.142857,95% 223,3.1416,0,?2001,?-,75

- 8 -

六、随堂练习

一、判断

1.自然数是整数. ( ) 2.有理数包括正数和负数.( )

3.有理数只有正数和负数.( ) 4.零是自然数. ( )

5.正整数包括零和自然数.( ) 6.正整数是自然数. ( )

7.任何分数都是有理数. ( ) 8.没有最大的有理数. ( )

9.有最小的有理数. ( )

七、课堂小结:(提问式)

1.有理数按正、负数,应怎样分类?

2.有理数按整数、分数,应怎样分类?

3.分类的原则是什么?

八、课后作业:

1.课本第14页习题1.2第1题.

九、板书设计:

1.2 有理数

第一课时

1、复习巩固,例题讲解。

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

- 9 -

1.2.2 数轴

第二课时

三维目标

一.知识与技能

(1)掌握数轴三要素,能正确地画出数轴.

(2)能准备地将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数.

二、过程与方法

经历从实际问题中抽象出数学问题的过程,初步学会数学的类比方法和数形结合的思想方法.

三、情感态度与价值观

体会知识源于生活,并应用于生活.

教学重、难点与关键

1.重点:理解数形结合的数学方法,?掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.

2.难点:正确理解有理数和数轴上的点的对应关系.

3.关键:掌握数形结合的数学方法.

教具准备

投影仪.

教学过程

四、复习提问、新课引入

1.有理数包括哪些数?有理数是怎样分类的?

2.回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的?

五、新授

引入负数后,又如何利用数轴表示有理数呢?让我们先看一个问题.

在一条东西走向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.

1.画一条直线表示马路,从左到右表示从西到东的方向.

2.因为柳树、杨树都在汽车站的东面,即在汽车站的右边.槐树、?电线杆在汽车站的 - 10 -

西面,即在汽车站的左边,它们都相对汽车站而言,所以在直线上任取一个点O表示汽车站的位置,规定1个单位规定.(线段OA的长代表1m长)(如下图)

3.分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置.

在点O右边,与O距离3个单位长度的点B表示柳树的位置:点O右边,与O?点距离7.5个单位长度的点C表示杨树的位置;点O左边,与点O距离3个单位长度的点D?表示槐树位置;点O的左边,与点O距离4.8个单位长度的点E表示电线杆的位置.

问:怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系?(方向、?距离) 为了使表达更清楚、更简洁,我们把点O?左右两边的数分别用正数和正数表示.符号表示方向,点O的左边表示负数,点O的右边表示正数.

这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系了.

这里,-4.8中的负号“-”表示汽车站(点O)的左边,4.8表示与点O?的距离为4.8个单位长度.

说明:以上分析,教师应边讲边画,分步进行.

观察后回答:(课本第11页)温度计可以看作表示正数、0和负数的直线吗??它和课本图1.2-1有什么共同点,有什么不同点?

答:可以,课本图1.2-2也是把正数、o和负数用一条直线上的点表示出来,它是向上方向为正(即0的上方表示正数,0的下方表示负数),只要把温度计水平放下就与课本图1.2-1相同了.

一般地,在数学中人们用画图的方式把数“直观化”,通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴,它满足以下要求:

(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点,记为0;

(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,?从原点向左(或下)为负方向;

(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,?每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,?;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,?.

像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素,缺一不可.

单位长度的大小可以根据不同的需要选择.

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,例如3.5,数轴上从原点向右3.5个单位长度 - 11 -

111的点表示3.5,又如要表示-2,从原点向左2个单位长度的点就表示-2,如下图.

333

归纳:先由学生填空,然后教师加以讲评.

六、巩固练习

1.请同学们在练习本上画一条数轴.

2.下面的各图是不是数轴?为什么?

3.在数轴上画出表示下列各数的点.

11 (1)4,-2,-4,1,0,-2 33

(2)-100,100,-250,-400,0,2.5

4.指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数?

5.在数轴上与表示-1的点的距离为2个单位长度的点有几个?请你在数轴上把它们画出来,它们分别表示什么数?

学生独立完成后,老师讲解,给出正确的答案.

七、课堂小结

数轴是非常重点的数学工具,它的出现对数学的发展起了重要作用,它揭示了数和形之间的内在联系,很多数学问题都可以以它为基础,借助图直观地表示,为研究问题提供了新方法.

八、作业布置

1.课本第10页练习1、2题,第14页习题1.2的第2题.

九、板书设计:

1.2.2 数轴

第二课时

1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

- 12 -

原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素,缺一不可.

单位长度的大小可以根据不同的需要选择.

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示,例如3.5,数轴上从原点向右3.5个单位长度

111的点表示3.5,又如要表示-2,从原点向左2个单位长度的点就表示-2,如下图.

333

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.3 相反数

第三课时

三维目标

一.知识与技能

(1)借助数轴了解相反数的概念,知道两个互为相反数的位置关系.

(2)给出一个数,能求出它的相反数.

二、过程与方法

借助数轴,通过观察特例,总结出相反数的概念.从数和形两个侧面理解相反数.

三、情感态度与价值观

鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动.

教学 重、难点与关键

1.重点:理解相反数的意义,会求一个数的相反数.

2.难点:理解和掌握双重符合的简化.

3.关键:通过观察特例,以及互为相反数的两个数在数轴上的位置,?理解相反数. 教学过程

四、复习提问课堂引入

在数轴上,画出表示6,-6,2

五、新授

请同学们观察后回答: 1111,-2,4,-4各数的点. 2233

- 13 -

1.上述中6和-6;21111和-2,4和-4每对数有什么特点? 2233

2.每对数在数轴上所表示的点有什么特点?

3.再观察课本第8页的图1.2-1中点D和点B,它们的位置关系如何??它们各表示的数有什么特点?

概括:

(1)每一对数,只有符号不同.

(2)在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边,?并且离开原点的距离相等.

(3)点D和点B分别位于原点的两边,且与原点的距离相等,它们分别表示-3?和3. 思考:数轴上与原点的距离是2的点有几个?这些点表示的数是什么??与原点的距离是5的点呢?

归纳:

一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,那么称这两个点关于原点对称,如下图:

11 像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数,例如6和-6,2和-2,都是互为相反22

11数,也就是说6的相反数是-6,-2的相反数是2. 22

一般地,a和-a互为相反数,特别地,0的相反数仍是0.

问:数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系?

答:数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称,是在原点的两旁(除0?外),并且与原点的距离相等.

注意相反数与倒数的区别,若两个数只有符号不同,那么这两个数叫做互为相反数;若两个数的乘积等于1,则这两个数叫互为倒数.任何有理数都有相反数,?零的相反数是零,而零没有倒数.

例1:分别写出下列各数的相反数.

5,-7,-31,+11.2,0. 2 解:5的相反数是-5;-7的相反数是7;-3的相反数是3;+11.2的相反数是-11.2;0的相反数是0.

强调书写格式,防止出现如“5=-5”的错误.

- 14 -

容易看出,在正数前面添上“-”号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数的前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数.

例如:-(+5)=-5,-(-7)=7,-(-311)=3,-(+11.2)=-11.2,-0=0. 22

我们知道一个正数,前面的“+”号可以写也可以不写,所以在一个数的前面添上“+”号,表示这个数没有变化,还是它本身.

例如:+(-4)=-4,+(+12)=12,+0=0

六、课堂练习

1.写出下列各数的相反数. 41 +2,-2.5,0, 33

2.化简下列各数.

-(-30),-(+3),-(-38.2),+(-5),+(+2). 7

3.指出下列各对数,哪些是相等的数?哪些是互为相反数?

+(-3)与-3,-(+3)与3,-(-711)与-7. 22

4.如果a=-a,那么表示a的点在数轴上的什么位置?

5.你会化简下列各数吗?试试看.(本题可根据学生实际情况选用)

-[+(-2)],-[-(-6)].

提示:

因为任意数a是-a的相反数,所以表示a的点在数轴上与表示-a?的点关系原点对称,这两个点分别在原点左、右两边且与原点距离相等.

七、课堂小结

本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简化.理解相反数的意义,相反数总是一正一反成对出现(零除外),从数轴上看,表示互为相反数的两个点,分别在原点的两边,且到原点距离相等.要表示一个数的相反数,只要在这个数前面添“-”号,-a表示a的相反数,当a是正数时,-a表示一个负数;当a是负数时,则-a表示正数.此外我们还应该注意相反数和倒数的区别.

八、作业布置

1.课本第11页练习1、2、3题,第15页习题1.2第3题.

九、板书设计:

- 15 -

1.2.3 相反数

第三课时

1、一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,那么称这两个点关于原点对称,如下图:

11 像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数,例如6和-6,2和-2,都是互为相反22

11数,也就是说6的相反数是-6,-2的相反数是2. 22

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.4 绝对值

第四课时

三维目标

一、知识与技能

(1)借助数轴初步理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值.

(2)通过应用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.

二、过程与方法

通过观察实例及绝对值的几何意义,探索一个数的绝对值与这个数之间的关系,培养学生语言描述能力.

三、情感态度与价值观

培养学生积极参与探索活动,体会数形结合的方法.

教学重、难点与关键

- 16 -

1.重点:正确理解绝对值的概念,能求一个数的绝对值.

2.难点:正确理解绝对值的几何意义和代数意义.

3.关键:借助数轴理解绝对值的几何意义,?根据绝对值定义和相反数的概念,理解绝对值的代数意义.

四、教学过程

一、复习提问,新课引入

1.什么叫互为相反数?

2.在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样?

五、新授

在一些量的计算中,有时并不注意其方向,例如,为了计算汽车行驶所耗的油量,起作用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向.

1.观察课本第11页图1.2-5,回答:

(1)两辆汽车行驶的路线相同吗?

(2)它们行驶路程的远近相同吗?

? ?这两辆车行驶的路线不同(方向相反),?但行驶的路程的远近相同,?都是10km. 课本图1.2-5中表示-10的点B和表示10的点A离开原点的距离都是10,?我们就把这个距离10叫做数-10、10的绝对值.

一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作│a│. 这里的数a可以是正数、负数和0.

例如上述的10和-10的绝对值记作│10│=10,│-10│=10,?同样在数轴上表示+6和-6的两个点,离开原点的距离都是6,即6和-6的绝对值都是6,记作│6│=6,?│-6│=6.数轴上表示数0的点与原点的距离是0,所以│0│=0.

2.试一试:

1 (1)│+2│=______,││=_____,│+10.6│=________. 5

(2)│0│=_______.

(3)│-12│=_______,│-20.8│=_______,│-32

3.你能从上面解答中发现什么规律吗?

学生若有困难,教师可提示:所得的结果与绝对值符号内的数有什么关系?

从而得出绝对值的代数意义:

(1)一个正数的绝对值是它本身;

- 17 - 1│=_______. 7

(2)零的绝对值是零;

(3)一个负数的绝对值是它的相反数.

我们用a表示任意一个有理数,上述式子可以表示为:

①当a是正数时,│a│=_______;

②当a是负数时,│a│=_______;

③当a=0时,│a│=_______.

以上先让学生填空,然后让学生给a?取一些具体数值检验所填写的结果是否正确. 教师问:

(1)任何一个有理数都有绝对值吗?一个数的绝对值有几个?

(2)有没有一个数的绝对值等于-2?任何一个数的绝对值一定是怎样的数?

(3)绝对值等于2的数有几个?它们是什么?

归纳:

①任何有理数都有唯一的绝对值,任意一个数的绝对值总是正数或0,?不可能是负数,即对任意有理数a,总有│a│≥0.

②两个互为相反数的绝对值相等,即│a│=│-a│.

③因为0的绝对值是0,而0的相反数是它本身0,因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零,绝对值等于它的相反数的数是负数或零.

六、巩固练习

1.课本第12页练习1、2题.

第1题强调书写格式,防止出现“-8=8”的错误.

第2题(1)错,如3与-2的符号相反,但它们不是互为相反数,?应改为“只有大小相等符号相反的数是互为相反数”.(2)正确.(3)错,因为这个点也可能越靠左,应改为:“一个数的绝对值越大,表示它的点离原点越远.”(4)正确.

七、课堂小结

理解绝对值的几何意义和代数意义.从几何意义可知,一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离,因为距离总是正数和零,所以有理数的绝对值不可能是负数,从绝对值的代数定义也可进一步理解这一点.

引入绝对值概念后,有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成的,如-5就是由“-”号和它的绝对值5两部分组成.

八、作业布置

- 18 -

1.课本第15页习题1.2第4、7、10题.

九、板书设计:

1.2.4 绝对值

第四课时

①任何有理数都有唯一的绝对值,任意一个数的绝对值总是正数或0,?不可能是负数,即对任意有理数a,总有│a│≥0.

②两个互为相反数的绝对值相等,即│a│=│-a│.

③因为0的绝对值是0,而0的相反数是它本身0,因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零,绝对值等于它的相反数的数是负数或零.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.2.4 绝对值

第五课时

三维目标

一、知识与技能

掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值.

二、过程与方法

经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小,进一步体会“数形结合”的数学方法,培养学生分析、归纳的能力.

三、情感态度与价值观

会把所学知识运用于解决实际问题,体会数学知识的应用价值.

教学 重、难点与关键

1.重点:会利用绝对值比较有理数的大小.

2.难点:两个负数的大小比较.

- 19 -

3.关键:正确理解绝对值的概念.

四、教学过程

一、复习提问,引入新课

用“>”、“<”号填空.

23_____; 3.0.03_______0; 78

23 4.│-3│_______│2│; 5.│-│_______│-│. 32 1.5.7______6.3; 2.

五、新授

引入负数后,如何比较两个有理数的大小呢?让我们从熟悉的温度来比较,大家观察课本第12页中“未来一周天气预报”.

1.课本图1.2-6中共有14个温度,其中最低的是多少?最高的是多少?

2.请你将这14个温度按从低到高的顺序排列.

课本图1.2-6中的14个温度按从低到高排列为:

-4℃,-3℃,-2℃,-1℃,0℃,1℃,2℃,3℃,4℃,5℃,6℃,7℃,8℃,9℃. 按照这个顺序排列的温度,在温度计上所对应的点是从下到上的,按照这个顺序把这些数表示在数轴上,表示它们的各点的顺序是从左到右的,如课本图1.2-?7,这就是说在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数,因此,我们可以利用数轴比较有理数的大小.

例如在数轴上表示-6的点在表示-5的点的左边,所以-6<-5.

同样-5<-4,-31<-3,-2<0,-1<1,? 2

从数轴上可知:

表示正数的点都在原点的右边;表示负数的点都在原点左边.

因此有正数大小0,0大于负数,正数大于负数.

两个正数的大小比较小学已学过,不画数轴你会比较两个负数的大小吗?

探索:

我们知道,在数轴上越靠左边的点所表示的数越小,而这个点与原点的距离越大,即这个点所表示的数的绝对值越大,因此,我们还可以利用绝对值比较两个负数的大小. 即两个负数,绝对值大的反而小.

例如:│-2│=2,│-5│=5,即│-2│<│-5│,因此-2>-5.

同样│-1│<│-3│,所以-1>-3.

- 20 -

例1:比较下列各对数的大小:

(1)-(-1)和-(+2); (2)-318和-; (3)-(-0.3)和│-│. 7321

解:(1)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2,

正数大于负数,1>-2.

即 -(-1)>-(+2).

(2)这是两个负数比较大小,要比较它们的绝对值,绝对值大的反而小.

33988│=,│-│==. 77212121

3898 因为<,即│-│<│-│, 7212121

38 所以->-. 217

.11 (3)先化简,-(-0.3)=0.3,│-│==0.3, 33

1 0.3<0.3,即-(-0.3)<│-│. 3 │-

初学时,要求学生按以上步骤进行,能化简的要先化简,?然后按照有理数的大小比较法则:异号两数比较大小,要考虑它们的正负,根据“正数大于负数”,?同号两数比较大小,要考虑它们的绝对值,特别是两个负数大小比较,先各自求出它们的绝对值,然后依法则:两个负数,绝对值大的反而小,比较绝对值大小后,即可得出结论.

例2:已知a>0,b<0且│b│>│a│,比较a,-a,b,-b的大小.

解:方法一,可通过数轴来比较大小,先在数轴上找出a,-a,b,-b?的大致位置,再比较.

由a>0,b<0可知表示a的点在原点的右边,表示b的点在原点的左边;由│b│>?│a│,可知表示b的点离开原点的距离更远,即它应在表示a的点的左边,?然后再根据两个互为相反数在数轴上所表示的点在原点两边,且与原点距离相等即可得到下图.

根据数轴上,较左边的点所表示的数较小,可得:

b<-a<a<-b.

六、课堂练习

1.课本第14页练习.

2.补充练习:

- 21 -

(1)比较大小,并用“<”连结.

357 ①-,-,-;②-(-10),-│-10│,9,-│+18│,0. 4612

(2)有理数a,b在数轴上的表示如下图,用“>”或“<”号填空.

11_____. ab ①a_____b; ②│a│_____│b│; ③-a_____-b; ④

七、全课小结(提问式)

比较有理数的大小有哪几种方法?

有两种方法,方法一:利用数轴,把这些数用数轴上的点表示出来,然后根据“数轴上较左边的点所表示的数比较右边的点所表示的数小”来比较.

方法二:利用比较法则:“正数大于零,负数小于零,两个负数比较绝对值大的反而小”来进行.

在比较有理数的大小前,要先化简,从而知道哪些是正数,哪些是负数.

八、作业布置

1.课本第15页习题1.2第5、6、8题.

九、板书设计:

1.2.4 绝对值

第五课时

1、表示正数的点都在原点的右边;表示负数的点都在原点左边.

因此有正数大小0,0大于负数,正数大于负数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.1 有理数的加法(1)

第一课时

- 22 -

三维目标

一、知识与技能

理解有理数加法的意义,掌握有理数加法法则,并能准确地进行有理数的加法运算.

二、过程与方法

引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关系,培养学生的分类、归纳、概括能力.

三、情感态度与价值观

培养学生主动探索的良好学习习惯.

教学重、难点与关键

1.重点:掌握有理数加法法则,会进行有理数的加法运算.

2.难点:异号两数相加的法则.

3.关键:培养学生主动探索的良好学习习惯.

四、教学过程

一、复习提问,引入新课

1.有理数的绝对值是怎样定义的?如何计算一个数的绝对值?

2.比较下列每对数的大小.

(1)-3和-2; (2)│-5│和│5│; (3)-2与│-1│;(4)-(-7)和-│-7│.

五、新授

在小学里,我们已学习了加、减、乘、除四则运算,当时学习的运算是在正有理数和零的范围内.然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围,例如,足球循环赛中,可以把进球数记为正数,失球数记为负数,它们的和叫做净胜球数.本章前言中,红队进4个球,失2个球;蓝队进1个球,失1个球,那么哪个队的净胜球多呢?

要解决这个问题,先要分别求出它们的净胜球数.

红队的净胜球数为:4+(-2);

蓝队的净胜球数为:1+(-1).

这里用到正数与负数的加法.

怎样计算4+(-2)呢?

下面借助数轴来讨论有理数的加法.

看下面的问题:

一个物体作左右方向的运动,我们规定向左为负、向右为正.

- 23 -

(1)如果物体先向右运动5m,再向右运动3m,?那么两次运动后总的结果是什么? 我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答.

这里两次都是向右运动,显然两次运动后物体从起点向右运动了8m,写成算式就是:

5+3=8 ①

这一运算在数轴上可表示,其中假设原点为运动的起点.(如下图)

(2)如果物体先向左运动5m,再向左运动3m,?那么两次运动后总的结果是什么? 显然,两次运动后物体从起点向左运动了8m,写成算式就是:

(-5)+(-3)=-8 ②

这个运算在数轴上可表示为(如下图):

(3)如果物体先向右运动5m,再向左运动3m,?那么两次运动后物体与起点的位置关系如何?

在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边,即从起点向右运动了2m.?(如下图)

写成算式就是:5+(-3)=2 ③

探究:

还有哪些可能情形?请同学们利用数轴,求以下情况时物体两次运动的结果:

(4)先向右运动3m,再向左运动5m,物体从起点向______运动了______m.

要求学生画出数轴,仿照(3)画出示意图.

写出算式是:3+(-5)=-2 ④

(5)先向右运动5m,再向左运动5m,物体从起点向_____运动了_____m.

先向右运动5m,再向左运动5m,物体回到原来位置,即物体从起点向左(或向右)?运动了0m,因为+0=-0,所以写成算式是:

5+(-5)=0 ⑤

(6)先向左运动5m,再向左运动5m,物体从起点向________运动了_______m. - 24 -

同样,先向左边运动5m,再向右运动5m,可写成算式是:

(-5)+5=0 ⑥

如果物体第1秒向右(或左)运动5m,第2秒原地不动,两秒后物体从起点向右(?或左)运动了多少呢?请你用算式表示它.

可写成算式是:5+0=5或(-5)+0=-5 ⑦

从以上写出的①~⑦个式子中,你能总结出有理数加法的运算法则吗?

引导学生观察和的符号和绝对值,思考如何确定和的符号?如何计算和的绝对值?

算式是小学已学过的两个正数相加.观察算式②,两个加数的符号相同,都是“-”号,和的符号也是“-”号与加数符号相同;和的绝对值8?等于两个加数绝对值的和,即│-5│+│-3│=│-8│.

由①②可归结为:

同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.

例如(-4)+(-5)=-(4+5)=-9.

观察算式③、④是两个互为相反数相加,和为0.

由算式③~⑥可归结为:

绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数相加得0.

由算式⑦知,一个数同0相加,仍得这个数.

综合上述,我们发现有理数的加法法则,让学生朗读课本第18页中“有理数的加法法则”. 一个有理数由符号与绝对值两部分组成,进行加法运算时,必先确定和的符号,再确定和的绝对值.

例1:计算.

1 (1)(-3)+(-5); (2)(-4.7)+2.9; (3)+(-0.125). 8

分析:本题是有理数加法,所以应遵循加法法则,按判断类型,确定符号、计算绝对值的步骤进行计算.(1)是同号两数相加,按法则1,取原加数的符号“-”,并把绝对值相加.(2)是绝对值不相等的异号两数相加.(3)是绝对值相等的两数相加,根据法则2进行计算. 解:(1)(-3)+(-5)=-(3+5)=-8;

(2)(-4.7)+2.9=-(4.7-2.9)=-1.8;

111 (3)+(-0.125)=+(-)=0. 888

例2:足球循环赛中,红队胜黄队4:1,黄队胜蓝队1:0,蓝队胜红队1:0,?计算各 - 25 -

队的净胜球数.

分析:净胜球数是进球数与失球数的和,我们可以分别用正数、负数表示进球数和失球数.红队胜黄队4:1表示红队进4球,失1球,黄队进1球失4球.

解:每个队的进球总数记为正数,失球总数记为负数.

三场比赛中,红队共进4球,失2球,净胜球数为:

(+4)+(-2)=+(4-2)=2;

黄队共进2球,失4球,净胜球数为:

(+2)+(-4)=-(4-2)=-2;

蓝队共进1球,失1球,净胜球数为:

(+1)+(-1)=0.

以上讲解有理数加法时,严格按照:先判断类型,然后确定和的符号,最后计算和的绝对值,这三步骤进行.

六、巩固练习

课本第18页练习1、2题.

七、课堂小结

有理数的加法法则指出进行有理数加法运算,首先应该先判断类型,然后确定和的符号,最后计算和的绝对值.类型为异号两数相加,和的符号依法则取绝对值较大的加数的符号,并把绝对值相减,因为正负互相抵消了一部分.有理数加法还打破了算术数加法中和一定大于加数的常规.

八、作业布置

1.课本第24页习题1.3第1题.

九、板书设计:

1.3.1 有理数的加法(1)

第一课时

1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.

绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数相加得0.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

- 26 -

十、课后反思

1.3.1 有理数的加法(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能运用加法运算律简化加法运算.

(2)理解加法运算律在加法运算中的作用,培养学生的观察能力和思维能力.

二、过程与方法

经历探索有理数的加法运算律的过程,培养学生的观察能力和思维能力.

三、情感态度与价值观

体会有理数加法运算律的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点:有理数加法运算律.

2.难点:灵活运用加法运算律.

3.关键:正确理解加法运算律在加法运算中的作用.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、复习提问,引入新课

1.叙述有理数的加法法则.

2.在小学里,数的加法有哪些运算律?

五、新授

在小学里,数的加法满足交换律、结合律.

如:5+3.5=3.5+5,(5+3.5)+2.5=5+(3.5+2.5).

引进负数后,这些运算律还适用吗?

探索:

例1.计算:30+(-20),(-20)+30.

两次所得的和相同吗?

- 27 -

换几个加数试一试,让学生自己得出:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置和不变,即

加法交换律:a+b=b+a.

例2.计算:[8+(-5)]+(-4),8+[(-5)+(-4)].

两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试.

从而得到:有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变,即

加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

上述a、b、c表示任意有理数,可以是正数,也可以是负数.

这样,多个有理数相加可以任意交换加数位置,也可以先把其中的几个数相加,使计算简化.

例3.计算:16+(-25)+24+(-35).

分析:先观察题目中数据特点,根据运算律,选择合理途径.

本题采用正、负数分开相加的方法.

解:原式=(16+24)+[(-25)+(-35)]

=40+(-60)

=-20

例4.每袋小麦的标准重量为90千克,10袋小麦称重记录如课本图1.3-3所示(?课本第19页),与标准重量比较,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克?10袋小麦的总重量是多少?

分析:怎样求这10袋小麦的总重量呢?这是有理数加法在实际中的应用,?本题有两种解法,教学时可先让学生相互交流,提出自己的想法,对不同的解法进行比较.

解法1:先计算10袋小麦的总重量.

91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4,

再计算标准重量:90×10=900.

所以这10袋小麦总计超过905.4-900=5.4(千克)

解法2:先计算总误差,然后再求10袋小麦的总重量.

将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦的对应的数为+1,+1,+1.5,-1,+1.2,+1.3,-1.3,-1.2,+1.8,+1.1.

???+1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(1.3)+(-1.2)+1.8+1.1

- 28 -

=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)

=5.4

90×10+5.4=905.4

所以10袋小麦总计超过标准5.4千克,总重量为905.4千克.

五、巩固练习

1.课本第20页,练习1、2.

六、课堂小结

本节课我们探索了有理数加法的运算律,灵活运用加法的运算律使运算简便.一般情况下,将互为相反数的数结合相加;同分母的分数能凑整的数结合;正数、负数分别相加,以使计算简便.

七、作业布置

1.课本第25页习题1.3第2题,第26页第9、10、12题.

九、板书设计:

1.3.1 有理数的加法(2)

第二课时

1、有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).

上述a、b、c表示任意有理数,可以是正数,也可以是负数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.2 有理数的减法(1)

第三课时

三维目标

一、知识与技能

(1)理解并掌握有理数的减法法则,能进行有理数的减法运算.

- 29 -

(2)通过把减法运算转化为加法运算,让学生了解转化思想.

二、过程与方法

经历探索有理数的加法运算律的过程,培养学生的观察能力和思维能力.

三、情感态度与价值观

体会有理数加法运算律的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点:掌握有理数减法法则,能进行有理数的减法运算.

2.难点:探索有理数减法法则,能正确完成减法到加法的转化.

3.关键:正确完成减法到加法的转化.

四、教学过程

一、复习提问,新课引入

1.计算.

32 (1)(-5.2)+(-4.8); (2)(-4)+5; 55

553 (3)(-13)+13; (4)(+4)+(-7.5). 774

2.填空.

(1)_______+3=10; (2)30+_______=27;

(3)______+(-3)=10; (4)(-13)+____=6.

五、新授

实际问题中有时还要涉及有理数的减法,例如,某地一天的气温是-3℃~4?℃,这天的温差(最高气温减最低气温,单位:℃)就是4-(-3),?这里用到正数与负数的减法,你会计算它吗?(鼓励学生探索)

可以先从温度计看出4℃比-3℃高7℃.

另外,我们知道减法和加法是互为逆运算.计算4-(-3),?就是要求出一个数x,使x与-3的和等于4,因为7+(-3)=4,所以

4-(-3)=7 ①

另外4+(+3)=7, ②

比较①、②两式,你发现了什么?

发现:4-(-3)=4+(+3).

这就是说减法可以转化为加法,如何转化呢?

减-3相当于加3,即加上“-3”的相反数.

- 30 -

换几个数再试一试,把4换成0,-1,-5,用上面的方法考虑.

0-(-3),(-1)-(-3),(-5)-(-3).

因为(+3)+(-3)=0,所以0-(-3)=+3,

又0+(+3)=+3,所以0-(-3)=0+(+3),

同样,可得(-1)-(-3)=(-1)+(+3),(-5)-(-3)=(-5)+(+3)

这些数减-3的结果与它们加+3的结果仍然相同.

计算:

(1)9-8,9+(-8);(2)15-7,15+(-7),从中又发现了什么?

通过计算发现:

9-8=9+(-8),15-7=15+(-7).

归纳:通过上述讨论,得出:

有理数的减法可以转化为加法来进行.“相反数”是转化的桥梁.

有理数减法法则:

减去一个数,等于加上这个数的相反数.

用式子表示为:a-b=a+(-b).

例5:计算:

(1)(-3)-(-5); (2)0-7;

(3)7.2-(-4.8); (4)(-311)-5. 24

分析:以上是有理数的减法,按减法法则,把减法转化为加法.

(4)(-311113)-5=(-3)+(-5)=-8 24244

强调:减号变加号、减数变相反数,必须同时改变,(4)?题中减数的符号为“+”号,省略没有定.

- 31 -

六、课堂练习

1.课本第23页练习1、2题,第26页第7、8题.

2.差数一定比被减数小吗?

提示:不一定,例如(-7)-(-5)=(-7)+(+5)=-2,-2>-7.

七、课堂小结

引进负数后,任意两个有理数都可以求出它们的差,结果可能为正数(大数减去小数),也可能为负数(小数减去大数),还可能为0(相等的两数相减),?学习有理数减法,关键在于处理好两个“变”字;(1)?改变运算符号──即把减法转化为加法.(2)改变减数的符号──即减数变为它的相反数,?这两个“变”要同时进行,而被减数不变.

八、作业布置

1.课本第25页至第26页,习题1.3第3、4、11、12题.

九、板书设计:

1.3.2 有理数的减法(1)

第三课时

1、有理数的减法可以转化为加法来进行.“相反数”是转化的桥梁.

有理数减法法则:

减去一个数,等于加上这个数的相反数.

用式子表示为:a-b=a+(-b).

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.3.2 有理数的减法(2)

第四课时

三维目标

一、知识与技能

理解有理数加减法可以互相转化,能把有理数加减混合运算统一为加法运算,灵活应 - 32 -

用运算律进行计算.

二、过程与方法

经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程,培养学生分析问题解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

体会数学与现实生活的联系,提高学生学习数学的兴趣.

教学重点、难点与关键

1.重点:有理数加减法统一为加法运算,掌握有理数加减混合运算.

2.难点:省略括号和加号的加法算式的运算方法.

3.关键:理解加减混合运算可以统一成加法,?以及正确理解省略加号的有理数加法形式.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、复习提问,引入新课

1.叙述有理数的加法、减法法则.

2.计算.

(1)(-8)+(-6); (2)(-8)-(-6); (3)8-(-6);

(4)(-8)-6; (5)5-14.

五、新授

我们已学习了有理数加、减法的运算,今天我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算. 例6:计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).

分析:这个式子中有加法,也有减法,可以按照运算顺序,从左到右逐一加以计算.也可以用有理数的减法法则,则它改写为(-20)+(+3)+(+5)+(-7)使问题转化为几个有理数的加法.

解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)

=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]

=-27+(+8)

=-19

把有理数加减混合运算转化为加法后,常用加法交换律和结合律使计算简便. - 33 -

归纳:加减混合运算可以统一为加法运算.

用式子表示为a+b-c=a+b+(-c).

式子(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20,+3,+5,-7这四个数的和,为了书写简单,可以省略式子中的括号和加号,把它写为:-20+3+5-7.

这个式子读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3加5减7”. 例6的运算过程也可简写为:

(-20)+(+3)-(-5)-(+7)

=(-20)+(+3)+(+5)+(-7) (加减法统一为加法)

=-20+3+5-7 (省略式子中的括号和括号前面的加号)

=-20-7+3+5 (加法交换律交换时,要连同符号一起交换)

=-19 (异号两数相减)

六、巩固练习

1.课本第24页练习.

(1)题是已写成省略加号的代数和,可运用加法交换律、结合律.

原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5

(2)题运用加减混合运算律,同号结合.

原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0

(3)题先把加减混合运算统一为加法运算.

原式=(-7)+(-5)+(-4)+(+10)

=-7-5-4+10 (省略括号和加号)

=-16+10

=-6

七、课堂小结

有理数加减混合运算通常统一成加法运算,运算时常用交换律和结合律使计算简便,一般情况采用:(1)凡相加是整数的,可以先加;(2)分母相同或易于通分的分数相结合;(3)有互为相反数可以互相抵消的,先相加;(4)正、负数分别相加.总之要认真观察,灵活运用运算律.

八、作业布置

1.课本第25页第26页习题1.3第5、6、13题.

九、板书设计:

- 34 -

1.3.2 有理数的减法(2)

第四课时

1、把有理数加减混合运算转化为加法后,常用加法交换律和结合律使计算简便.

归纳:加减混合运算可以统一为加法运算.

用式子表示为a+b-c=a+b+(-c).

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.1 有理数的乘法(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

经历探索有理数乘法法则过程,掌握有理数的乘法法则,能用法则进行有理数的乘法.

二、过程与方法

经历探索有理数乘法法则的过程,发展学生归纳、猜想、验证等能力.

三、情感态度与价值观

培养学生积极探索精神,感受数学与实际生活的联系.

教学重、难点与关键

1.重点:应用法则正确地进行有理数乘法运算.

2.难点:两负数相乘,?积的符号为正与两负数相加和的符号为负号容易混淆.

3.关键:积的符号的确定.

教具准备

投影仪.

四、教学过程

一、引入新课

在小学,我们学习了正有理数有零的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢?

五、新授

课本第28页图1.4-1,一只蜗牛沿直线L爬行,它现在的位置恰在L上的点O.

- 35 -

l

(1)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行,3分后它在什么位置?

(2)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行,3分后它在什么位置?

(3)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行,3分前它在什么位置?

(4)如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行,3分前它在什么位置?

分析:以上4个问题涉及2组相反意义的量:向右和向左爬行,3分钟后与3分钟前,为了区分方向,我们规定:向左为负,向右为正;为区分时间,我们规定:现在前为负,现在后为正,那么(1)中“2cm”记作“+2cm”,“3分后”记作“+3分”.

(1)3分后蜗牛应在L上点O右边(如课本图1.4-2)

....6cm处.

这可以表示为

(+2)×(+3)=+6 ①

(2)3分后蜗牛应在L上点O左边(如课本图1.4-3)

....6cm处.

这可以表示为

(-2)×(+3)=-6 ②

(3)3分前蜗牛应在L上点O左边(如课本图1.4-4)

....6cm处.

[讲问题(3)时可采用提问式:已知现在蜗牛在点O处,?而蜗牛是一直向右爬行的,那么3分前蜗牛应在什么位置?]

这可以表示为(+2)×(-3)=-6 ③

(4)蜗牛是向左爬行的,现在在O点,所以3分前蜗牛应在L上点O右边....6cm处(?如

课本图1.4-5).

这可以表示为(-2)×(-3)=+6 ④

- 36 -

观察①~④,根据你对有理数乘法的思考,完成课本第39页填空.

归纳: 两个有理数相乘,积仍然由符号和绝对值两部分组成,①、④式都是同号两数相乘,积为正,②、③式是异号两数相乘,积为负,①~④式中的积的绝对值都是这两个因数绝对值的积.

也就是两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.

此外,我们知道2×0=0,那么(-2)×0=?

显然(-2)×0=0.

这就是说:任何数同0相乘,都得0.

综上所述,得有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同0相乘,都得0.

进行有理数的乘法运算,关键是积的符号的确定,计算时分为两步进行:?第一步是确定积的符号,在确定积的符号时要准确运用法则;第二步是求绝对值的积.

如:(-5)×(-3),??(同号两数相乘)

(-5)×(-3)=+( ),??得正

5×3=15,??把绝对值相乘

所以 (-5)×(-3)=15

又如:(-7)×4??________

(-7)×4=-( ),??_________

7×4=28,??__________

所以 (-7)×4=-28

例1:计算:

1)×(-2); 2

121 (3)0×(-53)×(+25.3); (4)1×(-1). 735 (1)(-3)×9; (2)(-

例1可以由学生自己完成,计算时,按判定类型、确定积的符号,?求积的绝对值.(3)题直接得0.(4)题化带分数为假分数,以便约分.

小学里,两数乘积为1,这两个数叫互为倒数.

在有理数中仍然有:乘积是1的两数互为倒数.

例如:-135与-2是互为倒数,-与-是互为倒数. 253

注意倒数与相反数的区别:两数互为倒数,积为1,它们一定同号;?两数互为相反数, - 37 -

和为零,它们是异号(0除外),另外0没有倒数,而0的相反数为0.

数a(a≠0)的倒数是什么?

1除以一个数(0除外)得这个数的倒数,所以a(a≠0)的倒数为1. a

例2:用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负,?登山队攀登一座山峰,每登高1km气温的变化量为-6℃,攀登3km后,气温有什么变化?

解:本题是关于有理数的乘法问题,根据题意,

(-6)×3=-18

由于规定下降为负,所以气温下降18℃.

六、巩固练习

课本第30页练习.

1.第2题:降5元记为-5元,那么-5×60=-300(元)

与按原价销售的60件商品相比,销售额减少了300元.

11 2.第3题:1和-1的倒数分别是它们的本身;,-的倒数分别为3,-3;5,-5?的倒33

1122331122数分别为,-;,-的倒数分别是,-;此外,1与-1,与-,5与-5,与-5533223333

是互为相反数.

七、课堂小结

1.强调运用法则进行有理数乘法的步骤.

2.比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别,?以达到进一步巩固有理数乘法法则的目的.

八、作业布置

1.课本第38页习题1.4第1、2、3题.

九、板书设计:

1.4.1 有理数的乘法(1)

第一课时

1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘,任何数同0相乘,都得0.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

- 38 -

1.4.1 有理数的乘法(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能确定多个因数相乘时,积的符号,?并能用法则进行多个因数的乘积运算.

(2)能利用计算器进行有理数的乘法运算.

二、过程与方法

经历探索几个不为0的数相乘,积的符号问题的过程,发展观察、归纳?验证等能力.

三、情感态度与价值观

培养学生主动探索,积极思考的学习兴趣.

教学重、难点与关键

1.重点:能用法则进行多个因数的乘积运算.

2.难点:积的符号的确定.

3.关键:让学生观察实例,发现规律.

教具准备

投影仪.

四、 教学过程

1.请叙述有理数的乘法法则.

2.计算:(1)│-5│(-2); (2)(-

五、新授

1.多个有理数相乘,可以把它们按顺序依次相乘.

2156×(-1)×(-7)=×-×(-7)=-2×(-7)=14; 3535

1 又如:(+2)×[(-78)×]=(+2)×(-26)=-52. 31)×(-9); (3)0×(-99.9). 7 例如:计算:1

我们知道计算有理数的乘法,关键是确定积的符号.

观察:下列各式的积是正的还是负的?

(1)2×3×4×(-5); (2)2×3×4×(-4)×(-5);

- 39 -

(3)2×(-3)×(-4)×(-5);(4)(-2)×(-3)×(-4)×(-5).

易得出:(1)、(3)式积为负,(2)、(4)式积为正,积的符号与负因数的个数有关. 教师问:几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?

学生完成思考后,教师指出:几个不是0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,与正因数的个数无关,当负因数的个数为负数时,积为负数;当负因数的个数为偶数时,积为正数.

2.多个不是0的有理数相乘,先由负因数的个数确定积的符号再求各个绝对值的积. 例3:计算:

591 (1)(-3)××(-)×(-); 654

41 (2)(-5)×6×(-)×. 54

解:(1)(负因数的个数为奇数3,因此积为负)

591 原式=-3××× 654

9 =- 8

(2)(负因数的个数是偶数2,所以积为正)

原式=5×6×41×=6 54

观察下式,你能看出它的结果吗?如果能,说明理由?

7.8×(-5.1)×0×(-19.6)

归纳:几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于0,这是因为任何数同0相乘,都得0.

六、课堂练习

课本第32页练习.

思路点拨:先观察题目是什么类型,然后按有理数的乘法法则进行,(1)、(2)题都是多个不是0的数相乘,要先确定积的符号,再求积的绝对值,(3)?题是几个数相乘,且其中有一个因数为0,所以直接得结果0.

七、课堂小结

本节课我们通过观察实例,归纳出几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数确定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正;几个不等于零的数相乘,先确定积的符号,再把各个数的绝对值相乘;几个数相乘,有一个因数是0,积就为零.

八、作业布置

- 40 -

1.课本第38页习题1.4第7题第(1)、(2)、(3)题.

九、板书设计:

1.4.1 有理数的乘法(2)

第二课时

1、几个不是0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,与正因数的个数无关,当负因数的个数为负数时,积为负数;当负因数的个数为偶数时,积为正数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.1 有理数的乘法(3)

第三课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算.

(2)能进行乘法及加减法的混合运算.

二、过程与方法

经历探索有理数乘法运算律的过程,发展学生观察、归纳、验证等能力.

三、情感态度与价值观

鼓励学生积极思考,并与同伴进行交流的思想,体会运算律对简化运算的作用. 教学重、难点与关键

1.重点:能运用乘法运算律进行乘法运算.

2.难点:灵活运用运算律进行乘法运算.

3.关键:掌握乘法运算律以及运算法则.

四、教学过程

1.有理数的乘法法则是什么?

2.在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律?

- 41 -

五、新授

在小学里,数的乘法满足交换律,例如8×3=3×8.

还满足结合律,例如(4×6)×3=4×(6×3).

引入负数后,乘法交换律、结合律是否还成立?

规定有理数乘法法则后,显然乘法交换律、结合律仍然成立.

例如:5×(-6)=-30,(-6)×5=-30

即 5×(-6)=(-6)×5

[3×(-4)]×(-5)=(-12)×(-5)=60

3×[(-4)×(-5)]=3×(+20)=60

即 [3×(-4)]×(-5)=3×[(-4)×(-5)]

大家可以再任意取一些数,试一试.

一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.

乘法交换律:ab=ba.

说明:a×b可以写成a·b或ab.当用字母表示乘法时“×”号可写成“·”或省略. 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等.

乘法结合律:(ab)c=a(bc).

在小学里,乘法还满足分配律,例如6×(1111+)=6×+6×. 2323

任意选取三个有理数(至少有一个负数)分别填入下列□、○和△内,并比较两个运算结果,你能发现什么?

11 所以:-5×[+(-2)]=-5×+(-5)×(-2) 55

这就是说,有理数的乘法仍满足分配律.

一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加. 分配律:a(b+c)=ab+ac.

以上表示乘法运算律的式子中,a、b、c表示任意有理数.

乘法的运算律与加法运算律类似,也可以推广到多个数的情况.

在代数学的研究中,运算律是很重要的内容.在计算时运用运算律,往往能使计算简便. - 42 -

例4:用两种方法计算(111+-)×12. 462

解法1:按运算顺序,先计算小括号内的数.

111 (+-)×12 462

326 =(??)×12 121212

1 =-×12=-1 12

解法2:运用分配律.

111 (+-)×12 462

111 =×12+×12-×12 462

=3+2-6=-1

思考:比较以上两种方法,哪种解法运算量小?

显然解法2运算量小,它不需要通分.

六、课堂练习

1.课本第33页练习.

(1)-8500,运用结合律,先算(-25)×(-4).

(2)15,运用乘法交换律和结合律.

(3)25,运用分配律.

七、课堂小结

运算律的运用十分灵活,在有理数的混合运算中,各种运算律常常是混合运用的,这就要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力,在平时的练习中,要观察题目特点,寻找最佳解题方法,这样往往可以减少计算量.

八、作业布置

1.课本第39页,习题1.4第7题第(1)、(2)、(3)小题.

九、板书设计:

1.4.1 有理数的乘法(3)

第三课时

1、一般地,有理数乘法中,两个数相乘,交换因数的位置,积相等.

2、一般地,一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.

3、随堂练习。

- 43 -

4、小结。

5、课后作业。

十、课后反思

1.4.2 有理数的除法(1)

第四课时

三维目标

一、知识与技能

掌握有理数除法法则,会进行有理数的除法运算以及分数的化简.

二、过程与方法

通过学习有理数除法法则,体会转化思想,会将乘除混合运算统一为乘法运算.

三、情感态度与价值观

培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯.

教学重、难点与关键

1.重点:正确应用法则进行有理数的除法运算.

2.难点:灵活运用有理数除法的两种法则.

3.关键:会将有理数的除法转化为乘法.

四、教学过程,课堂引入

1.小学里,除法的意义是什么?它与乘法有什么关系?

已知两数的积与一个因数,求另一个因数。用除法,乘法与除法互为逆运算除以一个数等于乘以这个数的倒数.

2.求下列各数的倒数:

(1)-23; (2)-0.125; (3)-1. 57

五、新授

引入负数后,如何计算有理数的除法呢?

例如8÷(-4).

根据除法意义,这就是要求一个数,使它与-4相乘得8.

- 44 -

因为 (-2)×(-4)=8

所以 8÷(-4)=-2 ①

另外,我们知道,8×(-1)=-2 ② 4

1由①、②得 8÷(-4)=8×(-) ③ 4

1来进行,即一个数除以-4,?等于乘以-4的4 ③式表明,一个数除以-4可以转化为乘以-

倒数-1. 4

探索:换其他数的除法进行类似讨论,是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘以

如(-10)÷(-4)]

从而得出有理数除法法则:

除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数.

这个法则也可以表示成:

1 a÷b=a·(b≠0), b1呢?[例a

其中a、b表示任意有理数(b≠0) 例如:

两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成,由于除法可转化为乘法,因此商的符号确定与有理数乘法类似,你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则吗?

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.

零除以任何一个不等于零的数,都得零.

这是有理数除法法则的另一种说法,具体采用哪一种方法,灵活选用.

例5:计算:(1)(-36)÷9;(2)(-312)÷(-). 525

分析:(1)题,36能被9整除,可以用方法二,直接除;(2)题是分数除法,?可转化为乘法.

解:(1)(-36)÷9=-(36÷9)=-4(先确定符号,再求绝对值);

(2)(-3541212)÷(-)=(-)×(-)=. 5352525

例6:化简下列分数:

- 45 -

(1)?12?45; (2). 3?12

分析:分数可以理解为除法,所以要按除法法则进行,可以直接除,也可以转化为乘法,利用乘法的运算性质简化分数.

?12=(-12)÷3=-4; 3

?45115 (2)=(-45)÷(-12)=(-45)×(-)=. ?12124 解:(1)

例7:计算:

(1)(-125551)÷(-5);(2)-2.5÷×(-). 784

5化为假分数,计算量大,可以把7 分析:(1)题是分数除法,应转化为乘法,由于125

12555写成125+后用分配律.(2)题是乘除混合运算,应将它统一为乘法以便约分. 77

5 解:(1)(-125)÷(-5) 7

5 =125÷5 (先确定符号) 7

5155 =(125+)× (除转化为乘,同时将125写成125+) 7577

151 =125×+× (运用分配律) 575

11 =25+=25 77

51581 (2)-2.5÷×(-)=××=1 84254

遇到乘除混合运算时,可先确定结果的符号,再将它统一为乘法,另外,既有小数,也有分数时,通常把小数化为分数,以便约分.

六、随堂练习

课本第36页练习

七、课堂小结

本节课学习了有理数的除法法则,有理数的除法有两种方法.一是根据“除以一个数,等于乘以这个数的倒数”,转化为乘法,按乘法法则进行.二是根据“两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.一般能整除时用第二种方法.乘除混合运算,先统一为乘法,再按几个不等于0的数相乘的法则计算.

八、作业布置

1.课本第38页习题1.4第4、6、7(4)~(8).

- 46 -

九、板书设计:

1.4.2 有理数的除法(1)

第四课时

1、除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数.

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.

零除以任何一个不等于零的数,都得零.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.4.2 有理数的除法(2)

第五课时

三维目标

一、知识与技能

(1)会用计算器计算有理数的除法运算.

(2)掌握有理数的加减乘除混合运算.

二、过程与方法

通过本节课的数学活动,培养学生分析问题,综合应用知识解决实际问题的能力.

三、情感态度与价值观

培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点:掌握有理数的加减乘除混合运算.

2.难点:符号的确定.

3.关键:掌握运算顺序以及运算法则.

四、教学过程、课堂引入

1、在小学里,加减乘除四则运算的顺序是怎样的?

先乘除后加减,同级运算从左往右依次进行,有括号的,先算括号内的,另外还要注意灵活应用运算律. 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样.

五、新授

- 47 -

例8.计算:(1)-8+4÷(-2);

(2)(-7)×(-5)-90÷(-15).

分析:(1)按运算顺序,先做除法,再做加法.(2)先算乘、除法,然后做减法. 解:(1)-8+4÷(-2)

=-8+(-2) =-10

(2)(-7)×(-5)-90÷(-15)

=35-(-6)=35+6=41

例9:某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元,4~6月平均每月盈利2万元,7?~10月平均每月盈利1.7万元,11~12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总的盈利情况如何?

分析:盈利与亏损是具有相反意义的量,我们把盈利额记为正数,?亏损额记为负数,那么公司去年全年亏盈额就是去年1~12月的所亏损额和盈利额的和.

解:(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2

=-4.5+6+6.8-4.6=3.7(万元).

答:这个公司去年全年盈利3.7万元.

11111 例10:计算36÷3×-[(+)-(-)-(+)]÷(-). 3735105

11111 解:原式=36××-(+-)×(-105) 33735

111 =4+(+-)×105 735

111 =4+×105+×105-×105 735

=4+15+35-21=33

计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.

例如:用计算器计算例9中的:

(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2

学生阅读课本第37页有关内容,按课本介绍的方法操作.教师巡视,?关注学习有困难的学生,给予指导.

六、随堂练习

1.计算. (1)11+(-22)-3×(-11); (2)(-0.1)÷1×(-100); 2

- 48 -

(3)0÷(-

七、课堂小结 321377)×(--); (4)(-)÷(-); 433488

对于有理数的加减乘除四则运算,首先确定运算顺序,先乘除,后加减,同级运算谁在前先算谁,一般情况将除法转化为乘法,减法转化为加法,灵活应用运算律,有括号的应先算括号,计算时特别注意符号的确定,注意检查,使结果正确无误.

八、作业布置

1.课本第39页至第40页习题1.4第8、11、12、13、14、15题.

九、板书设计:

1.4.2 有理数的除法(2)

第五课时

1、先乘除后加减,同级运算从左往右依次进行,有括号的,先算括号内的,另外还要注意灵活应用运算律. 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.5.1 有理数的乘方(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

(1)正确理解乘方、幂、指数、底数等概念.

(2)会进行有理数乘方的运算.

二、过程与方法

通过对乘方意义的理解,培养学生观察比较、分析、归纳概括的能力,渗透转化思想.

三、情感态度与价值观

培养探索精神,体验小组交流、合作学习的重要性.

教学重、难点与关键

1.重点:正确理解乘方的意义,掌握乘方运算法则.

- 49 -

2.难点:正确理解乘方、底数、指数的概念,并合理运算.

3.关键:弄清底数、指数、幂等概念,注意区别-an与(-a)n的意义.

四、课堂引入

1.几个不等于零的有理数相乘,积的符号是怎样确定的?

几个不等于零的有理数相乘,积的符号由负因数的个数确定,当负因数的个数为奇数时,积为负;当负因数的个数为偶数时,积为正.

2.正方形的边长为2,则面积是多少?棱长为2的正方体,则体积为多少?

五、新授

边长为a的正方形的面积是a·a,棱长为a的正方体的体积是a·a·a.

a·a简记作a2,读作a的平方(或二次方).

a·a·a简记作a3,读作a的立方(或三次方).

一般地,几个相同的因数a相乘,记作an.即a·a??a. 这种求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂.

在an中,a叫底数,n叫做指数,当an看作a的n次方的结果时,也可以读作a的n次幂.

例如,在94中,底数是9,指数是4,94读作9的4次方,或9的4次幂,它表示4个9相乘,?即9×9×9×;又如(-2)4的底数是-2,指数是4,读作-2的4次方(或-2的4次幂),它表示(-2)×(-2)×(-2)×(-2).

思考:32与23有什么不同?(-2)3与-23的意义是否相同?其中结果是否一样?(-2)43232与-2呢?()与呢? 554 (-2)3的底数是-2,指数是3,读作-2的3次幂,表示(-2)×(-2)×(-2),结果是-8;-2的底数是2,指数是3,读作2的3次幂的相反数,表示为-(2×2×2),结果是-8.

(-2)3与-23的意义不相同,其结果一样.

(-2)4的底数是-2,指数是4,读作-2的四次幂,表示

(-2)×(-2)×(-2)×(-2),?

结果是16;-24的底数是2,指数是4,读作2的4次幂的相反数,表示为

-(2×2×2×2),其结果为-16.

- 50 - 3

(-2)4与-24的意义不同,其结果也不同.

323333932 ()的底数是,指数是2,读作的二次幂,表示×,结果是;表示3255555255

与5的商,即93?3,结果是. 55

因此,当底数是负数或分数时,一定要用括号把底数括起来.

一个数可以看作这个数本身的一次方,例如5就是51,指数1通常省略不写.

因为an就是n个a相乘,所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算. 例1:计算:

(1)(-4); (2)(-2); (3)(-

1(4)33; (5)24; (6)(-)2. 33415); 2

解:(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64

(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16

1111111 (3)(-)5=(-)×(-)×(-)×(-)×(-)=- 22222232

(4)33=3×3×3=27

(5)24=2×2×2×2=16

1111 (6)(-)2=(-)×(-)= 3339

例2:用计算器计算(-8)5和(-3)6.

开启计算器后按照下列步骤进行:

显示:(-8)^ 5

-32768 即(-

8)5=-32768

显示:(-3)^ 6

729 即(-3

)6=729

- 51 -

显示:-32768

显示:729

所以(-8)5=-32768 (-3)6=729

因此,可以得出:负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何非零次幂都是正数;0的任何非零次幂都是0.

六、巩固练习

1.课本第52页练习1、2.

七、课堂小结

正确理解乘方的意义,a n表示n个a相乘的积.注意(-a)n与-a n ?两者的区别及相互关系:(-a)n的底数是-a,表示n个-a相乘的积;-a n底数是a,表示n个a相乘的积的相反数.当n为偶数时,(-a)n与-a n互为相反数,当n为奇数时,(-a)n与-a n相等.

八、作业布置

1.课本第47页习题1.5第1题,第48页第11、12题.

九、板书设计:

1.5.1 有理数的乘方(1)

第一课时 1、负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;正数的任何非零次幂都是正数;0的任何非零次幂都是0.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.5.1 有理数的乘方(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

掌握有理数混合运算的顺序,能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算. - 52 -

二、过程与方法

通过例题学习,发展学生观察、归纳、猜想、推理等能力.

三、情感态度与价值观

体验获得成功的感受、增加学习自信心.

教学重、难点与关键

1.重点:能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.

2.难点:灵活应用运算律,使计算简单、准确.

3.关键:明确题目中各个符号的意义,正确运用运算法则.

四、课堂引入

1.我们已经学习了哪几种有理数的运算?

2.有理数的乘方法则是什么?

五、新授

下面的算式里有哪几种运算?

13+50÷22×(-)-1 ① 5

这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算,按怎样的顺序进行运算? 有理数的混合运算,应按以下运算顺序进行:

1.先乘方,再乘除,最后加减;

2.同级运算,从左往右进行;

3.如果有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.

例如上面①式

1 3+50÷22×(-)-1 5

1 =3+50÷4×(-)-1 5

11 =3+50××(-)-1 45

5 =3--1 2

1 =- 2

例3:计算:(1)2×(-3)3-4×(-3)+15;

(2)(-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2).

分析:分清运算顺序,先乘方,再做中括号内的运算,接着做乘除,最后做加减.计算 - 53 -

时,特别注意符号问题.

解:(1)原式=2×(-27)-(-12)+15

=-54+12+15

=-27

(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)

=-8+(-3)×18-(-4.5)

=-8-54+4.5=-57.5

例4:观察下面三行数:

-2,4,-8,16,-32,64,?①

0,6,-6,18,-30,66,? ②

-1,2,-4,8,-16,32,? ③

(1)第①行数按什么规律排列?

(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系?

(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.

分析:(1)第行数,从符号看负、正相隔,奇数项为负数,偶数项为正数,?从绝对值看,它们都是2的乘方.

解:(1)第①行数是

-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,(-2)5,(-2)6,?

(2)对比①②两行中位置对应的数,你有什么发现?

?2?2?2?2?2???0,4???6,?8????6,16???18,..

第②行数是第①行相应的数加2.

即 -2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,?

对比①③两行中位置对应的数,你有什么发现?

第③行数是第①行相应的数的一半,即

-2×0.5,(-2)2×0.5,(-2)3×0.5,(-2)4×0.5,?

(3)根据第①行数的规律,得第10个数为(-2)10,那么第②行的第10个数为(-2)10+2,第③行中的第10个数是(-2)10×0.5.

所以每行数中的第10个数的和是:

(-2)10+[(-2)10+2]+[(-2)10×0.5]

=1024+(1024+2)+1024×0.5

- 54 -

=1024+1026+512=2562

六、巩固练习

课本第44页练习.

七、课堂小结

在进行有理数混合运算时,一般按运算顺序进行,但有时根据运算律会使运算更简便,因此要在遵守运算顺序外,还要注意灵活运用运算律,使运算快捷、准确.

八、作业布置

1.课本第47页至第48页习题1.5第3、8题.

九、板书设计:

1.5.1 有理数的乘方(2)

第二课时

1.先乘方,再乘除,最后加减;

2.同级运算,从左往右进行;

3.如果有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.

4、随堂练习。

5、小结。

6、课后作业。

十、课后反思

1.5.2 科学记数法

第三课时

教学目标

一、知识与技能

借助身边熟悉的事物体会大数和小数,并会用科学记数法表示大数和小数.

二、过程与方法

通过学生回顾10的n次幂的意义和规律,以帮助理解科学记数法.

三、情感态度与价值观

培养学生自主探索交流、尝试出表示大数和较小的数的简单方法.

教学重、难点与关键

- 55 -

1.重点:会用科学记数法表示较大的数.

2.难点:用科学记数法表示较小的数.

3.关键:理解乘方意义和负指数的概率.

四、课堂引入

1.乘方的意义,a表示什么意义?底数是什么?指数是什么?

五、新授.

? ?例如第五次人口普查时,??中国人口约为1300000000?人,??太阳半径约为696000000,光的速度约为300000000米/秒.读、写这样大的数有一定困难,那么有简单的表示方法吗? 让我们先观察10的乘方有什么特点?

102=100,103=1000,104=10000,?

即10的n次幂等于10?0(在1的后面有n个0),所以可以利用10的乘方表示一些大数,例如567000000=5.67×100000000=5.67×108

读作:“5.67乘10的8次方(幂)”.

这样不仅可以使书写简短,同时还便于读数.

像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a?是整数数位只有一位的数(1≤a<10),n是正整数,这种记数方法叫科学记数法.

例如用科学记数法表示中国人口约为1.3×10人,太阳半径约为6.96×10米,光的速度约为3×108米/秒.

例5:用科学记数法表示下列各数.

1000000,57000000,123000000000.

解:1000000=106(这里a=1省略不写)

57000000=5.7×10000000=5.7×107

123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011

观察上面的式子,等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?

1000000是7位整数,而10的指数是6,57000000是8位整数,而10的指数为7. 即等号右边10的指数比左边整数的位数小1.

问:如果一个数是6位整数,用科学记数法表示时,10的指数是多少??如果一个数有8

位整数呢?

用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是n-1.

注意:“n位整数”是指这个数的整数部分的位数.

- 56 - 98

例如:831.5的整数部分是3位,用科学记数法表示为8.315×102.

另外,用科学记数法表示一个数时,规定a必须是大于或等于1且小于10.

在生活中,我们还常常遇到一些较小的数据.例如存在于生物体内在某种细胞的直径约为百万分之一米,?即1?微米,??本次中特等奖的概率只有百万分之一,??即0.000001,它们也能用科学记数法表示吗?

本章引言中有1纳米=10米,这是什么意思呢?

1纳米是非常小的长度单位,1米是1纳米的10亿倍,也就是说1纳米是1?米的十亿分之一,两者之间的单位换算关系可以表示为:

1米=109纳米,或1纳米=1米 910

1 an 在科学记数法中,后一式子表示为 1纳米=10-9米 一般地,当a≠0,n是正整数时,a-n=

例如 1米=102厘米,或1厘米=

即0.01=10-2

六、巩固练习

1.课本第47页习题1.5第1、2题.

七、课堂小结

用科学记数法表示较大的数时,注意a×10n中a的范围是1≤a<10,n是正整数,n与原数的整数部分的位数m的关系是m-1=n,?反过来由用科学记数法表示的数写出原数时,原数的整数部分的数位m比10的指数大1.(即m=n+1)

另外,对于绝对值较大的负数,如-729000,它可表示为-7.29×105,它的意义是

7.29×105的相反数,这里的a仍然是1≤a<10.

对于较小的数,如0.00012,因为0.00012=1.2÷10000=1.2÷104=1.2×

八、作业布置

1.课本第47页习题1.5第4、5、9、10题.

九、板书设计:

1.5.2 科学记数法

第三课时

1. 像上面这样,把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a?是整数数位只有一位的数(1≤a<10),n是正整数,这种记数方法叫科学记数法.

- 57 - 1-2米=10米. 2101=1.2×10-4. 410

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

1.5.3 近似数

第四课时

三维目标

一、知识与技能

(1)给了一个近似数,你能说出它精确到哪一位,有几个有效数字.

(2)给了一个数,会按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求,?四舍五入取近似数. 二、过程与方法

从测量引入近似数,使学生体会近似数的意义和生活中的应用.

三、情感态度与价值观

培养学生认真细致的学习态度,合作交流的意识.

教学重、难点与关键

1.重点:近似数,精确度,有效数字概念.

2.难点:由给出的近似数求其精确度及有效数字.

3.关键:理解有效数字的概念和小数点末尾的零的意义.

四、教学过程,课堂引入

1.准确数和近似数.

在日常生活和生产实际中,我们接触到很多这样的数.例如:对于参加同一个会议的人数,有两种报道,?一种报道说:“会议秘书处宣布,?参加今天会议的有513人”.这里数字513确切地反映了实际人数,它是一个准确数,另一种报道说:??“约有500人参加了今天的会议”,500这个数只能接近实际人数,但与实际人数还有差别,它是一个近似数.

例如,统计班上喜欢看球赛同学的人数是35,这个数是与实际完全符合的准确数,一个也不多,一个也不少,又如,初一(1)班有55个学生,某工厂有126台机床,?我有8本练习本,这些数都是与实际完全符合的准确数.

如果量得语文课本的宽为13.5cm,由于所用尺的刻度有精确度限制,而且用眼观察时不可能非常细致,因此与实际宽度有一点偏差,这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接近的 - 58 -

数,又如,宇宙现在的年龄约为200亿年,长江长约6300千米,?圆周率?约为3.14,这些数都是近似数.

五、新授

在许多情况下,很难取得准确数,或者不必使用准确数,而可以使用近似数. 你还能举出一些日常遇到的近似数吗?

2.关于精确度问题

近似数与准确数的接近程度,可以用精确度表示,例如,前面的500是精确到百位的近似数,它与准确数513的误差为13.

我们都知道圆周率?=3.141592?

计算时我们需按照要求取近似数.

如果要求按四舍五入精确到个位,那么≈3;

如果要求按四舍五入精确到0.1(或精确到十分位),那么?≈3.1;

如果要求按四舍五入精确到0.01(或精确到百分位),那么?≈3.14;

如果要求按四舍五入精确到0.001(或精确到千分位),那么?≈_______;

反过来,若?≈3.1416,那么精确到________,或叫精确到_______.

一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.

3.近似数的有效数字.

一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,?所有数字都是这个数的有效数字,一共包含的有效数字的个数,叫这个近似数的有效数字的个数.

例如近似数0.025有两个有效数字:2,5;1500有4个有效数字:1,5,0,0;0.103?有有3个有效数字:1,0,3.

对于用科学记数法表示的数a×10n,规定它的有效数字就是a中的有效数字,例如近似数5.104×106有4个有效数字:5,1,0,4.

规定有效数字的个数,也是对近似数精确程度的一种要求.

一般说,对于同一个数取近似数时,有效数字个数越多,精确程度越高.如果四舍五入法对?取近似数时,若要求保留1个有效数字,则?≈3;若要求保留3个有效数字,?则?≈3.14.

例6:按括号内的要求,用四舍五入法对下列数取近似数.

(1)0.0158(保留2个有效数字);

(2)30435(保留2个有效数字);

- 59 -

(3)1.804(保留2个有效数字);

(4)1.804(保留3个有效数字);

(5)3.5046(精确到百分位);

(6)2.971×104(保留2个有效数字).

解:(1)0.0158≈0.016;

(2)30435=3.0435≈104≈3.04≈104(或3.04万);

(3)1.804≈1.8;

(4)1.804≈1.80;

(5)3.5049≈3.50;

(6)2.971×104≈3.0×104.

思路点拨:(2)题,不能写成30435≈30400,如果这样写,?那就看不出哪些是保留的有效数字,而近似数30400是有5个有效数字,所以做这类题,?先将它用科学记数法表示,再按照规定保留有效数字,或者写成3.04万.(4)题中,1.80,这里的0不能去掉,由四舍五入得到的1.8与1.80的精确度是不同的,前者是精确到0.1,是保留2个有效数字,而后者是精确到0.01,保留3个有效数字,同理(6)题中3.0×104的0也不能丢了.(5)题,不能先约等于3.505,再约等于3.51,四舍五入精确到百分位,?是将千分位四舍五入,与千分位后面的数字无关.

例7:下列是由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?保留几个有效数字?

(1)132.4; (2)0.0572; (3)2.40万; (4)3000.

解:(1)132.4是精确到0.1,保留4个有效数字.

(2)0.0572是精确到0.0001,保留3个有效数字.

(3)2.40万是精确到百位,保留3个有效数字.

(4)3000是精确到个位,保留4个有效数字.

六、巩固练习

1.课本第46页练习.

七、课堂小结

正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念,给出一个近似数,能准确地确定它精确到哪一位,有哪几个有效数字,并能按要求求一个数的近似数.

八、作业布置

1.课本第47页至第48页习题1.5第6、7、11题.

- 60 -

九、板书设计:

1.5.3 近似数

第四课时

1. 一个近似数,从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,?所有数字都是这个数的有效数字,一共包含的有效数字的个数,叫这个近似数的有效数字的个数.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

第一章有理数 复习(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

1.复习有理数的意义及其有关概念。其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比较、

相反数与绝对值等。通过复习使学生系统掌握有理数这一章的有关基本概念;

2.使学生提高辨别概念能力;

二、过程与方法

利用数轴来认识、理解有理数的有关概念.

三、情感态度与价值观

1、鼓励学生自己回顾本单元的学习内容。并与同伴交流在本单元学习中的收获和不足,培养他们的反思意识。

教学重难点

理解掌握有理数的有关概念

四、复习提问:

1、什么叫数轴?画出一个数轴来。

2、 什么是有理数?有理数集包括哪些数?有理数和数轴上的点有什么关系?

答:整数和分数统称为有理数。有理数的分类:整数、分数统称有理数;整数又包括正整数、零、负整数,分数又包括正分数与负分数。

- 61 -

每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示。但反过来以后可以看到,数轴上任一点并不一定表示有理数。表示正有理数的点在原点的右边,表示零的点是原点,表示负有理数的点在原点的左边。

3、观察数轴分别说出A,B,C,D,E,F各点表示的数是什么?

4、点A与F,点B与E所表示的数分别存在什么关系?(互为相反数)互为相反数的几

何意义?(互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两点所表示的数。)相反数的性质?(只有符号不同的两个数是互为相反数,a的相反数为-a;)

各点所表示的数的绝对值是多少?绝对值的几何意义?(在数轴上,表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值)绝对值的代数意义?(a=a(a>0),a=0(a=0),a=-a(a<0)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零。

5、说出各数的倒数?(一个数除以1所得的商是这个数的倒数,零没有倒数)

6、比较各点表示的数的大小?

方法一:零大于一切正数,而小于一切负数;

两个负数,绝对值大的反而小。

方法二:在数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

其余相关概念:

(1)代数和:

把有理数的加、减运算统一写成加法形式,成为几个有理数的和,通常称为代数和;省略加号的和的形式。

(2)去括号与添括号:

去括号法则:括号前是“+”号时,将括号连同它前边的“+”号去掉,括号内各项都不变;括号前是“-”号时,将括号连同它前边的“-”去掉,括号内各项都要变号。

添括号法则:在“+”号后边添括号,括到括号内的各项都不变;在“-”号后边添括号,括到括号内的各项都要变号。

五、例题讲解:

例1 下列说法是否正确,请将错误的改正过来。

⑴所有的有理数都能用数轴上的点表示; ( )

⑵符号不同的两个数是互为相反数; ( )

⑶两个有理数的和一定大于每一个加数; ( )

⑷有理数分为正数和负数; ( )

例2 用数轴上的点表示下列有理数,并求其相反数、倒数和绝对值。

-0.5,-3.5,7,-4.5,-4

例3 写出符合下列条件的数。

⑴最小的正整数; ⑵最大的负整数;⑶大于-3且小于2的所有整数;

⑷绝对值最小的有理数; ⑸绝对值大于2且小于5的所有负整数;

例4 一只蜗牛从数轴上的原点出发,先向右移动2个单位,再向左移动5个单位,这时蜗牛 - 62 -

与数轴上的田螺相距1.5个单位,求田螺表示的数

例5 观察下面的每列数,按某种规律在横线上填上适当的数,并说明你的理由。 ⑴-23,-18,-13, , ;

2345 ⑵,?,,?,,; 8163264

⑶-2,-4,0,-2,2, , 。

例6 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。当他们收入300元时,记为-240;当他们

用去300元时,记为360。猜一猜,当他们用去100元时,可能记为多少?当他们收入100元时,可能记为多少?说明你的理由。

例7 若a?a?2,求式子1982a2006?3a2005?27的值.

全章知识点:

第一章有理数 复习(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算;

2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果;

3.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.

- 63 -

4. 会根据定义的一种新运算进行计算,能看懂程序,并设计运算程序.

二、过程与方法

1.在学生自主归纳的过程中,感受数学的整体性.

三、情感态度与价值观

1.鼓励学生在相互合作交流的过程中主动观察、归纳,提出猜想,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.

教学重点、难点

有理数的运算,看懂程序,并设计运算程序,探索数与式的变化规律,探索能力的培养。

四、创设情境复习

根据知识结构复习相关的知识要点,并回答以下问题。

1.有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么?

2.在有理数运算中,有哪些运算律?混合运算的顺序是什么?

3.什么是近似数与有效数字?

五、实践应用

例1 计算:

(3)(-3)2+4×(-

1)-23 2110(4)(-2)3+2004-?). 22

例2填空:(1)504.03是由四舍五入所得的近似数,这个近似数精确到 ,有效数字是 ,用科学记数法可表示为 .

(2)如果a为有理数,那么在|a|, -|-a|, ,, -, -这几个数

中,一定是非负数的是 .

(3)圆的半径r=2.5,圆的面积S= (取3.14结果保留两个有效数字).

- 64 -

例3 当x=7,y=4,z=0时,求代数式x(2x-y+3z)的值.

解:当x=7,y=4,z=0时,

x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)

=7×(14-4)

=70.

例4 规定一种新的运算:a△b=ab-a-b+1,如3△4=3×4-3-4+1,请比较(-3)△4与

4△(-3)的大小.

例5 小红家春天粉刷房间,雇佣了5个工人,干了10天完成;用了某种涂料150L,费用为4800元;粉刷的面积是150m2,最后结算工钱时,有以下几种方案:

方案一:按工算,每个工为30元(一个工人1天是一个工)

方案二:按涂料费算,涂料费用的30%作为工钱;

方案三:按粉刷面积算,每平方米付工钱12元。

请你帮助小红家出主意,选择方案 付钱最合算。

六、交流反思小结

通过本节课的复习,你有那些收获?

本节课主要复习了有理数的运算,运算时要注意以下两点:

(1)在有理数的运算中,要特别注意符号问题,提高运算的正确性,还要善于灵活运算律简化运算;

(2)在实际运算中经常会遇到近似数,要注意按要求的精确度进行计算和保留结果.对较大的数用科学记数法表示,既方便,又容易体现对有效数字的要求.

七、练习

1.计算:

2.用四舍五入法对下列各数按括号的要求取近似值:

(1)2.768(精确到百分位);(2)0.009 403(保留3个有效数字);

(3)8.965(精确到0.1); (4)17 289(精确到千位).

3.用计算器进行下列运算(保留3个有效数字):

(1)56.2+7.41×(-2.12); (2)

(3)÷(-5.62)+49.34. -1.68; 4.(1)当x=2时,求式子x2-1的值;

- 65 -

5.已知 |a+2|+|b-3|=0,求a和b的值.

第二章 整式的加减

单元要点分析

教学内容

本单元主要内容:单项式、多项式、整式等有关概念,合并同类项、去括号、整式的加减运算.

课本首先通过实例列式表示数量关系,介绍了单项式、多项式以及整式等有关概念,然后通过对具体问题的解决,类比有理数的运算律,明确了同类项可以合并的道理,明确整式加减的法则以及去括号和添活号法则.这些内容也是对前一章内容的进一步认识.

本章在呈现形式上突出了整式及整式加减产生的实际背景,使学生经历实际问题“符号化”的过程,发展符号感,为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动,力求学生对算理的理解和法则的掌握.

三维目标

1.知识与目标

(1)了解单项式、多项式整式等概念,弄清它们之间的联系和区别.

(2)掌握单项式系数、次数和多项式的次数、项与项数的概念,?明确它们之间的关系.

(3)理解同类项的概念,能熟练地合并同类项.

(4)掌握去括号、添括号法则,能准确地去括号和添括号.

(5)熟练地进行整式的加减运算.

2.过程与方法

通过丰富的实例、经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项式、整式等有关概念;经历类比有理数的运算律,探索整式的加减运算法则.发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力.

3.情感态度与价值观

培养学生主动探究,合作交流的意识.通过将数的运算推广到整式的运算,在整式的运算中又不断地运用数的运算,使学生感受到认识事物是一个由特殊到一般,由一般到特殊的辩证过程.

重、难点与关键

1.重点:理解整式的概念,会进行整式的加减运算.

2.难点:正确区别单项式的次数与多项式的次数,?括号前是负号时去括号或添活号易搞错符号.

3.关键:正确理解整式有关概念及明确运算步骤的依据.

课时划分

2.1 整式 2课时

2.2 整式的加减 3课时

第二章整式的加减(复习) 1课时

- 66 -

2.1整式(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

(1)能用代数式表示实际问题中的数量关系.

(2)理解单项式、单项式的次数,系数等概念,会指出单项式的次数和系数.

二、过程与方法

经历列式表示实际问题中的数量关系,发展符号感,通过观察代数式的特点,发现、归纳单项式的概念,培养学生观察、分析、归纳的能力.

三、情感态度与价值观

通过列单项式表示实际问题中的数量关系,体会整式比具体数字表达的式子更具有一般性,这给实际问题的解决带来很大方便.

重、难点与关键

1.重点:单项式的有关概念. 2.难点:负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数.

3.关键:正确理解单项式、单项式系数和次数的概念.

教具准备

教师:多媒体课件、投影仪.

四、教学过程,引入新课

教师操作课件,展示章前图案以及字幕,学生观看并思考下列问题:

1.青藏铁路线上,在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段,列车在冻土地段的行驶速度是100千米/时,在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时,请根据这些数据回答下列问题:

(1)列车在冻土地段行驶时,2小时能行驶多少千米?3小时呢?t小时呢?

(2)在西宁到拉萨路段,列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间的

2.1倍,如果通过冻土地段所需要t小时,能用含t?的式子表示这段铁路的全长吗?

(3)在格里木到拉萨路段,列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时,如果通过冻土地段需要u小时,则这段铁路的全长可以怎样表示??冻土地段与非冻土地段相差多少千米?

分析:(1)根据速度、时间和路程之间的关系:路程=速度×时间.?列车在冻土地段2小时行驶的路程是100×2=200(千米),3小时行驶的路程为100×3=300(千米),?t小时行驶的路程为100×t=100t(千米).

(2)列车通过非冻土地段所需时间为2.1t小时,行驶的路程为120×2.1t(千米);列车通过冻土地段的路程为100t,因此这段铁路的全长为120×2.1t+100t(千米).

(3)在格里木到拉萨路段,列车通过冻土地段要u小时,?那么通过非冻土地段要(u-0.5)小时,冻土地段的路程为100u千米,非冻土地段的路程为120(u-0.5)千米,这段铁路的全长为[100u+120(u-0.5)]千米,冻土地段与非冻土地段相差为[100u-120(u-0.5)]千米. 思路点拨:上述问题(1)可由学生自己完成,问题(2)、(3)先由学生思考、?交流的基础上教师引导学生分析怎样列式.

上述的3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示,?通过本章学习,我们还可以将上述问题(2)、(3)进行加减运算,化简.

五、新授xkb1.com

2.下面,我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题.

用含有字母的式子填空,看看列出的式子有什么特点.

(1)边长为a的正方体的表面积为______,体积为_______.

(2)铅笔的单价是x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5?倍圆珠笔的单价是_______元. - 67 -

(3)一辆汽车的速度是v千米/时,它t小时行驶的路程为_______千米.

(4)数n的相反数是_______.

教师课堂巡视,关注中下程度的学生,及时引导,学生探究交流.

上面各问题的代数式分别是:6a2,a3,2.5x,vt,-n.

观察上面各式中运算有什么共同特点?

上面各式中,数字与字母之间,字母与字母之间都是乘法运算,?它们都是数字与字母的积,例如:6a2表示6×a2,a3表示1×a3,2.5x表示2.5×x,vt表示1×v×t,-n?表示-1×n.

像上面这样,只含有数与字母的积的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单

11项式.如:-2,a,,都是单项式,而,1+x都不是单项. 3a

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,例如:6a2的系数是6,a3的系数是1,-n

ab1的系数是-1,-的系数是-.w-w-w.x-k-b-1.c.-o-m 55

单项式表示数字与字母相乘时,通常把数字写成前面,?当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写.

一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.例如,2.5x?中字母x的指数是1,2.5x是一次单项式;vt中字母v与t的指数和是2,vt是二次单项式,-ab2c中字母a、b、c的指数和是4,-ab2c是4次单项式.

例1.用单项式填空,并指出它们的系数和次数.

(1)每包书有12册,n包书有_______册.

(2)底边长为a,高为h的三角形的面积是______.

(3)一个长方体的长和宽都是a,高是h,它的体积是_______.

(4)一台电视机原价a元,现按原价的9折出售,这台电视机现在售价为_____元.

(5)一个长方形的长为0.9,宽是a,这个长方形的面积是_________.

教师操作投影仪,展示例1,学生思考、交流.师生互动.

强调:单项式的次数是单项式中所有字母的指数和,字母的指数不写的,表示这个字母的指数是1,不是“没有”.

用字母表示数后,同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义.例如,在问题(4)、

(5)中,所填的结果都是0.9a,一个是表示电视机的售价,一个是表示长方形的面积,你还能赋予0. 9a一个含义吗?

让学生交流各自想法,加深对字母表示数的理解.

六、巩固练习

1.下列各式是不是单项式?为什么?

x4a?b(3);(4) (1)x-2y; (2)-;; (5)-1. 5m5

2.判断下列各说法是否正确,错误的改正过来.

(1)单项式-xy2的系数是0,次数是2.

(2)单项式27a2的系数是2,次数是9.

3.请你写出系数为-,含有x、y,次数为4的所有单项式.

4.课本第56页练习1、2题.

七、课堂小结

师生互动,共同学习小结本节课内容.

1.什么叫单项式?举例说明.

x 2.单独的一个数或一个字母是单项式吗?是单项式吗?为什么? a

- 68 -

3.什么叫单项式的系数?什么叫单项式的次数?举例说明.

八、作业布置

1.课本第59页至第60页,习题2.1第1、2、8题.

九、板书设计:

2.1整式(1)

第一课时

1. 像上面这样,只含有数与字母的积的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是

11单项式.如:-2,a,,都是单项式,而,1+x都不是单项. 3a

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

2.1整式(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

使学生理解多项式、整式的概念,会准确确定一个多项式的项数和次数.

二、过程与方法

通过实例列整式,培养学生分析问题、解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

培养学生积极思考的学习态度,合作交流意识,了解整式的实际背景,进一步感受字母表示数的意义.

教学重、难点与关键

1.重点:多项式以及有关概念.

2.难点:准确确定多项式的次数和项.

3.关键:掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系.

教具准备 投影仪.

四、课堂引入

一、复习提问 1.什么叫单项式?举例说明.

3ab2c 2.怎样确定一个单项式的系数和次数?-的系数、次数分别是多少? 7

- 69 -

3.列式表示下列问题:

(1)一个数比数x的2倍小3,则这个数为________.

(2)买一个篮球需要x(元),买一个排球需要y(元),买一个足球需要z(元),买3个篮球,5个排球,2个足球共需________元.

(3)如图1,三角尺的面积为________.

(4)如图2是一所住宅的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是________平方米.

(1) (2)

五、新授

请同学们阅读课本第57页有关内容,并回答下列问题.

1.几个单项式的和叫做_________;

2.在多项式中,每个单项式叫做_________;

3.在多项式中,不含字母的项叫做_________;

4.在多项式中,_____________________,叫做这个多项式的次数.

(2)多项式的次数与单项式的次数概念不同,但又有联系,?首先求出此多项式各项(单项式)的次数,次数最高的就是这个多项式的次数.

(3)一个多项式的最高次项可以不唯一,次高项也可以不唯一,?如,?多项式3x2y-1221xy+x-xy-5中,最高次项为3x2y和-xy2,二次项也有2项,x2和-xy,?这个多项式22

为二次五项式.

单项式和多项式统称为整式,例如:100t,6a3,vt,-n,2x-3,3x+5y+2z等都是整式. 例1.用多项式填空,并指出它们的项和次数.

(1)温度由t℃下降5℃后是_______℃.

11 (2)甲数x的与乙数y的的差可以表示为_________. 32

(3)如课本图2.1-3,圆环的面积为________.

(4)如课本图2.1-4,钢管的体积是________.

例2.一条河流的水流速度为2.5千米/时,如果已知船在静水中的速度,那么船在这 - 70 -

条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示?如果甲、?乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时,?则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少? 顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度

逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度

这里水流速度为2.5千米/时,如果,我们设船在静水中的速度为v千米/时,?那么船在顺水行驶时的速度表示为(v+2.5)千米/时船在逆水行驶时的速度为(v-2.5)千米/时. 当v=20时,则v+2.5=20+2.5=22.5,v-2.4=20-2.5=17.5;当v=35时,则v+2.5=35+2.5=37.5,v-2.5=35-2.5=32.5.因此,甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时,逆水行驶的速度为17.5千米/时;乙船顺水行驶的速度是37.5千米/?时,?逆水行驶的速度为32.5千米/时.

六、巩固练习

1.课本第59页练习,课本第61页第10题.

七、课堂小结

1.什么叫做多项式?多项式是整式吗?整式是多项式吗?

2.什么叫多项式的基?什么叫做常数项?什么叫做多项式的次数?

八、作业布置

1.课本第60页,习题2.1第2、3、4、5、6、7题.

九、板书设计:

2.1整式(2)

第二课时

1.单项式和多项式统称为整式,例如:100t,6a3,vt,-n,2x-3,3x+5y+2z等都是整式.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

2.2 整式的加减(1)

第一课时

三维目标

一、知识与技能

(1)了解同类项、合并同类项的概念,掌握合并同类项法则,?能正确合并同类项.

(2)能先合并同类项化简后求值.

二、过程与方法

- 71 -

经历类比有理数的运算律,探究合并同类项法则,培养学生观察、探索、分类、归纳等能力.

三、情感态度与价值观

掌握规范的解题步骤,养成良好的学习习惯,通过比较两种求代数式值的方法,体会合并同类项的作用.

教学重、难点与关键X k b 1 . c o m

1.重点:掌握合并同类项法则,熟练地合并同类项.

2.难点:多字母同类项的合并.

3.关键:正确理解同类项概念和合并同类项法则.

教具准备

投影仪.

四、 教学过程,新课引入

有理数可以进行加减计算,那么整式能否可以加减运算呢?怎样化简呢?

我们来看本章引言中的问题(2).

在西宁到拉萨路段,如果列车通过冻土地段的时间是t小时,那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时,则这段铁路的全长是100t+120×2.1t,

即100t+252t

1.类比数的运算,我们应如何化简式子100t+252t呢?

五、新授

(1)运用有理数的运算律计算:

100×2+252×2=______;

100×(-2)+252×(-2)=________.

100×2+252×2=(100+252)×2=352×2

100×(-2)+252×(-2)=(100+252)×(-2)=352×(-2)

我们知道字母可以表示数,如果用t表示上述算术中的数2(或-?2)?就有,?100t+252t=(100+252)×t=352t.

事实上,100t+252t与100×2+252×2和100×(-2)+252×(-2)有相同的结构,?都是两个数分别与同一个数乘积的和,这里t表示同一个因数,?因此根据分配律也应该有:100t+252t=(100+252)t=352t

2.填空:

- 72 -

(1)100t-252t=( )t; (2)3x2+2x2=( )x2;

(3)3ab24ab2=( )ab2.

观察(1)中多项式的项100t和-252t,它们都含有相同字母t,并且t的指数都是1;

(2)中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x,并且字母x的指数都是2;(3)?中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a,b,并且字母a的指数都是1,b的指数都是2.

像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项,?几个常数项也是同类项.

把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.

合并同类项后,所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系?

合并同类项法则:在合并同类项时,把同类项的系数相加,字母和字母的指数保持不变. 若两个同类项的系数互为相反数,则两项的和等于零,即这两项相抵消,如-3ab2+3ab2=(-3+3)ab2=0·ab2=0.

多项式中只有同类项才能合并,不是同类项不能合并.

通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升幂)的顺序排列,如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2.

例1.合并下列各式的同类项:

1 (1)xy2-xy2; (2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2; (3)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2. 5

1 例2.(1)求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值,其中x=. 2

111 (2)求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值,其中a=-,b=2,c=-3. 336

解:(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2 (仔细观察,标出同类项)

=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2 (系数相加,字母部分不变)

=-x-2 (系数是“1”或“-1”时省略不写)

115 当x=时,原式=--2=- 222

11 (2)3a+abc?c2?c2 33

11 =(3-3)a+abc+(-+)c2 33

=abc

- 73 -

11 当a=-,b=2,c=-3时,原式=(-)×2×(-3)=1 66

例3.(1)水库中水位第一天连续下降了a小时,每小时平均下降2cm,?第二天连续上升了a小时,每小时平均上升0.5cm,这两天水位总的变化情况如何?

(2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x千克,上午卖出3袋,?下午又购进同样包装的大米4袋,进货后这个商店有大米多少千克?

六、巩固练习

课本第66页,练习第1、2、3题.

七、课堂小结

1.什么叫同类项?字母相同,次数也相同的项是同类项吗?举例说明.

2.什么叫合并同类项?怎样合并同类项?合并同类项的依据是什么?

八、作业布置

1.课本第71页习题2.2第1、7、10题.

九、板书设计:

2.2 整式的加减(1)

第一课时

1.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项,?几个常数项也是同类项. 把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

2.2 整式的加减(2)

第二课时

三维目标

一、知识与技能

能运用运算律探究去括号法则,并且利用去括号法则将整式化简.

二、过程与方法

经历类比带有括号的有理数的运算,发现去括号时的符号变化的规律,归纳出去括号法则,培养学生观察、分析、归纳能力.

- 74 -

三、情感态度与价值观

培养学生主动探究、合作交流的意识,严谨治学的学习态度.

教学重、难点与关键

1.重点:去括号法则,准确应用法则将整式化简.

2.难点:括号前面是“-”号去括号时,括号内各项变号容易产生错误.

3.关键:准确理解去括号法则.

教具准备

投影仪.

四、 教学过程,课堂引入

利用合并同类项可以把一个多项式化简,在实际问题中,往往列出的式子含有括号,那么该怎样化简呢?

五、新授

现在我们来看本章引言中的问题(3):

在格尔木到拉萨路段,如果列车通过冻土地段要t小时,?那么它通过非冻土地段的时间为(t-0.5)小时,于是,冻土地段的路程为100t千米,?非冻土地段的路程为120(t-0.5)千米,因此,这段铁路全长为

100t+120(t-0.5)千米 ①

冻土地段与非冻土地段相差

100t-120(t-0.5)千米 ②

上面的式子①、②都带有括号,它们应如何化简?

利用分配律,可以去括号,合并同类项,得:

100t+120(t-0.5)=100t+120t+120×(-0.5)=220t-60

100t-120(t-0.5)=100t-120t-120×(-0.5)=-20t+60

我们知道,化简带有括号的整式,首先应先去括号.

上面两式去括号部分变形分别为:

+120(t-0.5)=+120t-60 ③

-120(t-0.5)=-120+60 ④

比较③、④两式,你能发现去括号时符号变化的规律吗?

如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. - 75 -

特别地,+(x-3)与-(x-3)可以分别看作1与-1分别乘(x-3).

利用分配律,可以将式子中的括号去掉,得:

+(x-3)=x-3 (括号没了,括号内的每一项都没有变号)

-(x-3)=-x+3 (括号没了,括号内的每一项都改变了符号)

去括号规律要准确理解,去括号应对括号的每一项的符号都予考虑,做到要变都变;要不变,则谁也不变;另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项.

例1.化简下列各式:

(1)8a+2b+(5a-b); (2)(5a-3b)-3(a2-2b).

例2.两船从同一港口同时出发反向而行,甲船顺水,乙船逆水,?两船在静水中的速度都是50千米/时,水流速度是a千米/时.

(1)2小时后两船相距多远?

(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?

六、巩固练习

1.课本第68页练习1、2题.

2.计算:5xy2-[3xy2-(4xy2-2x2y)]+2x2y-xy2. [5xy2]

七、课堂小结

去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项.

八、作业布置

1.课本第71页习题2.2第2、3、5、8题.

九、板书设计:

2.2 整式的加减(2)

第二课时

1. 如果括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同; 如果括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.

2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

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2.2 整式的加减(3)

第三课时

三维目标

一、知识与技能

能根据题意列出式子:会进行整式加减运算,并能说明其中的算理.

二、过程与方法

经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程,发展符号感,提高运算能力及综合运用知识进行分析、解决问题的能力.

三、情感态度与价值观

培养学生积极探索的学习态度,发展学生有条理地思考及代数表达能力,体会整式的应用价值.

教学重、难点与关键

1.重点:列式表示实际问题中的数量关系,会进行整式加减运算.

2.难点:列式表示问题中的数量关系,去掉括号前是负因数的括号.

3.关键:明确问题中的数量关系,熟练掌握去括号规律.

教具准备:投影仪.

四、教学过程 引入新课

1.多项式中具有什么特点的项可以合并,怎样合并?

2.如何去括号,它的依据是什么?

五、新授

例1.(1)求多项式2x-3y与5x+4y的和.

(2)求多项式8a-7b与4a-5b的差.

例2.一种笔记本的单价是x(元),圆珠笔的单价是y(元),小红买这种笔记本3本,买圆珠笔2枝;小明买这种笔记本4个,买圆珠笔3枝,买这些笔记本和圆珠笔,小红和小明共花费多少钱?

例3.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:厘米).

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(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米?

(2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米?

解:(1)(2ab+2ac+2bc)+(6ab+6ac+8bc)

=2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc)

=8ab+8ac+10bc

(2)(6ab+6ac+8bc)-(2ab+2ac+2bc)

=6ab+6ac+8bc-2ab-2ac-2bc

=4ab+4ac+6bc

一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.

11312 例4.求x-2(x-y2)+(-x+y2)的值,其中x=-2,y=. 23233

1131 解:x-2(x-y2)+(-x+y2) 2323

1231 =x-2x+y2-x+y2 2323

1321 =(-2-)x+(+)y2 2233 =-3x+y2

当x=-2,y=2时 3

2244)=6+=6 399 原式=-3×(-2)+(

六、巩固练习

1.课本第70页练习1、2、3题.

四、课堂小结

整式加减是代数式的基本运算,去括号与合并同类项是整式加减的基础,在进行整式加减时,如果遇到括号应先去括号,再合并同类项,整式运算是建立在数的运算的基础上,因此数的运算性质在整式运算中仍适用.

五、作业布置

1.课本第71页至第72页第4,6,9题.

九、板书设计:

2.2 整式的加减(3)

第三课时

1.一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.

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2、随堂练习。

3、小结。

4、课后作业。

十、课后反思

第二章整式的加减(复习1)

三维目标

一、知识目标:理解整式的加减实质就是去括号,合并同类项,其结果仍然是整式;掌握学生在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上,掌握整式加减的一般步骤;能够正确地进行整式的加减运算.

二、能力目标:经历用字母表示数量关系的过程,发展符号感;培养用代数的方法解决实际生活中的问题的能力和口头表达能力.

三、情感目标:渗透教学知识来源于生活,又要为生活而服务的辩证观点;整式的加减实质上就是去括号,合并同类项,结果总是比原来简洁,体现了数学的简洁美.

教学重难点:利用去括号、合并同类项进行整式的加减运算;根据实际问题中的数量关系列出算式,并求出结果;

教材处理与数学方法

1.调动学生自觉性与积极性,由浅入深地传授知识,提高学生学习兴趣。

2.运用启发式教学,让学生自行归纳出整式的加减的步骤。

3.利用不同记号标出各同类项,有助学生合并同类项。

4.让学生在实际解题过程中,体会到整式的加减实际上就是已经学过的去括号法则与合并同类项这两个知识的综合,这样更有利于学生学会将新知转化为旧知,不断更新知识结构。

5.充分利用教学时间,在课堂上进行针对性辅导,把共性问题与典型题目展示,引导学生发现问题与纠错能力。

四、(一)复习旧知识

1、合并同类项定义、法则;

2、去括号法则。

3、 基础训练

计算

(1)(2x-3y)-(5x+4y)

(2) -3ab-4a2+3 a2 -(-2ab)

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(3) (3 a2 –ab+7)-(-4 a2+2ab+7)

(4) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x)

4、列式计算

(1) 2x2-3x+1与-3x2+5x-7 的和;

(2)-x2+3xy-2y2 与-2x2+4xy-y2 的差;

(3)一个多项式加上5x2+4x-1 得-8x2+6x+2 ,求这个多项式;

5、求值:2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2), 其中a=1/3,b=3.

五、归纳小结

1.整式的加减实际上就是______________________.

2.整式的加减的步骤,一般分为_____________________.

3.整式加减的结果是__________或__________(单项式或多项式).结果更简单,体现我们数学中的简洁美.

整式的加减是承有理数的加减、乘、除、乘方的运算,续整式方程的一系列运算,是学生从小进入初中含有字母运算的变化,认知上有新的突破,在教法引入过渡中,有其奥妙学法教法值得反思。

六、随堂练习:课本70页练习

七、布置作业:课本71页5,6题。

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