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第二章直角三角形综合复习

发布时间:2013-12-22 11:36:52  

第二章 直角三角形 综合复习

(一)直角三角形的性质: 1、角的关系:直角三角形两锐角互余 2、边的关系:勾股定理 斜边上的中线等于斜边的一半; 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (二)直角三角形的判定: 1、角的方法: 有一个角等于90°; 两锐角互余。 2、边的方法: 两边的平方和等于第三边的平方。

1.在△ABC中, ∠C=90°,若∠A=50°,
40° 则∠B=﹍﹍﹍﹍. 直角三角形的性质:

1、直角三角形的两个锐角互余。
2 .已知三角形的三边长分别为4、5、3, 直角三角形 则此三角形为﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 直角三角形的性质: 2、直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。

直角三角形全等的判定方法:
A A′

C

B

C′

B′

1) ASA, AAS 2) SAS

3) SSS 4) HL

1. Rt△ABC中,两条直角边的长分别为3cm和4cm,则第三边的 5cm 长为______; 2.4cm 斜边上的高为______.

SRt?

1 1 ? ab ? ch 2 2

2. Rt△ABC中,两条边的长分别为3cm和4cm,则第三边的长为 5cm 或 7 cm ______________. 3.如图,校园内有两棵树,相距12米,一颗树高13米,另一颗树 高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至 13 少要飞______米. B
C A

4.如图,直角三角形纸片的两直角边AC=5cm,BC=10cm,将 △ABC折叠,点B与点A重合,折痕为DE,则CD的长为( D ) A. 25 B. 15 C. 25 D. 15
2 2 4 4

A 5 10-x E 10-x B

52+x2=(10-x)2

提示2
直角三角形中线段计算的常用方法: ①面积方法; ②分类思想; ③构造Rt△; ④方程思想; ⑤全等转化.

C x D

一、温故知新 (一)填空 1、在ΔABC中,如果∠A+ ∠B= ∠C,且AC=1/2AB, 30o 则∠B=_______ 。 2、如图ΔABC中, ∠ACB=90o,CD ⊥AB,垂足是D, 7.5 BC=5cm,BD=1/2BC,则AD= cm。

3、如果等腰三角形底边上的 高线等于腰长的一半,那么 这个等腰三角形的三内角 30o 30o 120o 分别是_______________。

B

D A

C

4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航 行,另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东 南方向航行,那么它们离开港口1.5小时后,相距 30 __________千米。

5.已知△ABC中, ∠C= 90°, AD平分∠CAB,BC=10,BD=7, 求点D到 3 AB的距离为﹍﹍﹍。 解: 过D作DE⊥AB于点E
C D

A

E

B

∵∠C= 90°, DE⊥AB ,AD平分∠CAB, ∴CD=DE (角平分线上的点到角两边的距离相等) ∵ BC=10,BD=7 ∴DE=CD=BC-BD=10-7=3

6、如图,?ABC中,?C ? 90?,?A ? 30?, AB的中垂线交AC于D,交AB于E,则AC 和CD的关系是( B )。 (A)AC ? 2 DC (B)AC ? 3DC 3 (C)AC ? DC 2 (D)无法确定
30°

30° 30°

?

?
? ? ? ?

二)、选择。 1、满足下列条件的ΔABC,不是直角三角形的 是:( ) C A、b2=a2-c2 B、 ∠C=∠A-∠B C、∠A:∠B:∠C=3

:4:5 D、a:b:c=12:9:15 2、下列条件中,不能判定两个直角三角形全等 的是( D ) A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等

?
? ? ?

3、如图,EA⊥AB,BC⊥AB,AB=AE=2BC, D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC, (3) ∠CAB=30o (4) ∠EAF=∠ADE,期中正确 结论的个数是:( C ) A、 一个 B、两个 C、三个 D、四个 4、如图,在ΔABC中,∠ACB=90o ,CD是高线, E是AB上一点,且AE=AC,∠ACE:∠ACD=3:1, 则与∠DCE相等的角是( C ) A 、∠A B、 ∠B C 、 ∠BCE D、以上都错
E

C
F A D B 第三题

A

D

E

C

B 第四题

5、如图,一个长为25分米的梯子,斜立在一竖直的 墙上,这时梯足距墙底端7分米,如果梯子的顶端沿 墙下滑4分米。那么梯足将滑( C ) (A)15分米(B)9分米(C)8分米(D)5分米 6、如图,某校A与公路距离为3000米,又与该公路边 上的某车站D的距离为5000米,现要在公路边建一个 商店C,使之与该校A及车站D的距离相等,则商店与 车站的距离约为( B )

(A)875米(B)3125米(C)3500米(D)3275米
C A D

a=3,b=4,c=5 a:b:c=3:4:5 1.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC一定是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

2. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.
M为AB中点,以AB为斜边作Rt△ABD(D、C在AB同侧,且不 重合),连结CD。 ②延长AD、BC相交于E。设CD的中点为N,连结MN。 MN和 CD有什么位置关系?请说明理由。 E

提示1 直角三角形中的常用辅助线: 斜边上的中线
B

C N

D

M

A

a=3,b=4,c=5 a:b:c=3:4:5 1.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则△ABC一定是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

2. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°.
以AB为斜边作Rt△ABD(D、C在AB同侧,且不重合)。 ③延长AD、BC相交于E,设AC、BD相交于H,若∠BAE=45°, △AHD 则△BED≌________,请说明理由。3cm AD=4cm, DE=1cm,则BH的长为_______.

E C

D H

1

2

B

A

例2、如图,已知AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于 点O,若AB=5,AC=7,BD=6,求∠BCD的度数
分析:∵AB=AD ∴点A在线段BD的中垂线上 同理点C也在BD的中垂线上 ∴AC⊥BD且平分BD ∵BD=6 ∴BO=3 ∵AB=5 由勾股定理得 AO=4 ∵AC=7 ∴OC=3 ∴△BOC等腰直角三角形 ∴∠BCO=45° 同理∠DCO=45° ∴∠BCD=90°
A

B

O

D

C

例3、如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°AB=4, D BC=3,AD=12,DC=13 ,求四边形ABCD的面积
A B C

如图已知四边形ABCD中,∠A=60°∠B=∠D=90°, BC=3,CD=2,求AB2的值 A
D
B

C

E

议一议: 一、已知ΔABC是等腰三角形,BC边上的高恰好 等于BC边长的一半,求∠BAC的度数。

解:1、当BC为底边时,如图:
∵AD ⊥BC,AD=1/2BC=BD=CD, ∴ ∠B

AD= ∠B= ∠C= ∠CAD= 450 ∴ ∠BAC= 900
B

A

D

C

2、当BC为腰时,设∠B为顶角,分下面几种情况讨论 (1) 顶角B为锐角时,如图: ∵ AD=1/2BC=1/2AB AD ⊥BC B 0 ∴ ∠B= 30 ∴ ∠BAC= ∠C= 1/2(1800﹣300 )= 750
D

C

A

(2)当顶角B为钝角时,如图: ∵ AD ⊥BC AD=1/2BC=1/2AB ∴ ∠ABD= 300 C ∴ ∠BAC= ∠C= 1/2 ∠ABD = 150
D B A

(3)当顶点B为直角时,高AD与腰AB重合 则有AD=AB=BC,与已知矛盾,故∠B≠ 900
∴ ∠BAC的度数为900 或750或 150

二、如图,A、E、F、C在一条直线上,AE=CF, 过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,请说明: 1、BD平分EF 2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图(2)时 其余条件不变,上述结论是否成立,请说明理 由。
B E A G B E C C

F

A

F G D

D

图(1)

图(2)

3 .如图,D为等腰三角形ABC底边BC 上一点,AD=CD, ∠B= 30°,
A

试判断△ABD是不是直角

三角形.说明理由.
B D C

4.如图,AB⊥BD于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上 一点,且BP=CD,∠1=∠2,则: (1)RT△ABP与RT△PDC全等吗?说明理由. (2) △APC是不是等腰直角三角形?说 明理由。 (3)若AC=10,E为AC中点,

C

求PE的长度.

A
1

E

2

B

P

D

5、放学以后,小红和小颖从学校分手,分别沿 着东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走 的速度都是40米/分,小红用15分钟到家,小颖 用20分钟到家,小红和小颖家的距离为( ) A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定

如图,将长、宽分别为40cm,20cm的长方形玻璃 裁成两部份,然后拼成一个三角形, (1)如何裁,拼成一个三角形? (2)画出图形,并注明各边的长度; (3)判断三角形形状,并说明理由。
A 20 40cm

B

cm

D

20cm

20cm

C

9.如图,有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4, 在底面A处有一只蚂蚁,它想吃到长方体上面与A 相对的B点处的食物,需要爬行的最短路程是 10 ________.


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