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新人教版八年级数学上册第十五章分式总复习

发布时间:2013-12-22 11:36:59  

1.分式的定义:

A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.

2.分式有意义的条件:
分式无意义的条件: 3.分式值为 0 的条件: 4.分式 分式 A B > 0 的条件:

B≠0
B=0 A=0且 B ≠0 A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0

A < 0 的条件: B

1.下列各式(1) 3 (2) 2x 2x 3 是分式的有 3 个。

2x2 (4) x (3) x ∏

3 (5) 1- 2x

2.下列各式中x 取何值时,分式有意义.
X-1

(1) X + 2

(2)

1 X -1

(3)

4x X2 -1

(4)

1 X2 - 2x+3 x 为一切实数

x ≠-2 x≠±1 x ≠±1 3.下列分式一定有意义的是( B ) X+1 A x2 X+1 B X2+1 X2 +1 C X-1 D

1 X -1

4.当 x .y 满足关系

2x=y 时,分式 2x + y 2x - y

无意义.

5.当x为何值时,下列分式的值为0? X -3 X-4 X-1 (1) (2) (3) X-3 X -2 X+1 X=4 X=1 X=-3

X2 -1 (4) 2 X +2x+1 X=1

6.当x为何值时,分式

2x (x-2) 5x (x+2)

(1) 有意义
X≠0且x≠-2

(2) 值为 0
X=2

7.要使分式

-2 1-x

的值为正数,则x的取值范围是 X>1

8.当x <-2

X2+1 时,分式 X+2

的值是负数.

9.当x

≥7

X-7 时,分式 X2+1

的值是非负数.

10.当x

>-1

X+1 时,分式 2 X -2x+3

的值为正.

1.分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘以(或除以)
用式子表示: A B
= 一个不为0的整式

分式的值

不变

AXM (B X M )

A B

=

A÷M ( B÷M )

(其中M为

不为0

的整式)
( -A )

2.分式的符号法则:
A B -A -B A ( B )
= =

A
(-B )

=

-A ( -B )

B

=

=

( -A ) B

=

-A ( B )

1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
(a2+ab ) a+b = ab a2b

(1)

ab+b2 (2) = 2+b ab
(4)

a+b
( ab+1 )

(3)

a -b a+b

a2+b2-2ab

=

(

)

a2 –b2

a+b = ab

2a2+2ab
(2a2b )

2.下列变形正确的是( a a2 = b b2 2-x X-2 = X-1 1-x

C
B

) a-b a2-b = a a2 4 = 2a+b 2 a+b

A

C

D

3.填空:
-a-b a+b c-d = ( d-c ) -x +y x+y

x-y = ( -x-y )

2m-3 4.与分式 的值相等的分式是( 4-m
3-2m A B 4-m 2m-3 4-m

A

) 3-2m m-4

3-2m C D 4-m

5.下列各式正确的是( A A
-x+y -x-y = X-y X+y


-x-y




-x+y -x-y

X+y

C -x-y

-x+y



X+y



-x+y -x-y



X-y

X-y

X+y

x 7.如果把分式 x+y 中的x和y的值都扩大3倍, 则分式的值( B ) A 扩大3倍 B不变 C缩小1/3 D缩小1/6

xy 8.如果把分式 x+y 中的x和y的值都扩大3倍, 则分式的值( A ) A 扩大3倍 B不变 C缩小1/3 D缩小1/6

9.若x,y的值均变为原来的1/3 ( C ).

,则分式

3xy x2+y2

的值




是原来的1/3
保持不变




是原来的1/9
不能确定

10.已知分式

3a 2a+b

的值为

5/3,

若a,b的值都扩大到原来的5倍,则扩大后分式的值是 5/3

1.约分:
2.通分:

把分子、分母的最大公因式(数)约去。

把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。 关键是找最简公分母:各

分母所有因式的最高次幂的积.

1.约分
(1)

-6x2y 27xy2 m2+4m+4 m2 - 4

(2)

-2(a-b)2 -8(b-a)3

(3)

2.通分

(1)

x 6a2b


y 9ab2c

(2)

a-1 a2+2a+1


6 a2-1

约分与通分的依据都是:

分式的基本性质

1.已知

x
2

=

y 3

=

Z

x+y-z
,试求 x+y+z

4

的值.

2.已知

1 1 x+ y

2x-3xy+2y
=

5

,求

-x+2xy-y

的值.

3.已知 x +

1

x

=3 , 求

x2

+

1

x2

的值.

变: 已知

x2

– 3x+1=0 ,求

x 2+

1

x2

的值.

1 变:已知 x+ =3 ,求 x

x2 x4+x2+1

的值.

两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的分母。

用符号语言表达:

a c ac ? ? b d bd

a c a d ad 用符号语言表达: ? ? ? ? b d b c bc

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置 后再与被除式相乘。

4x y (1) ? 3 3y 2x

ab ?5 b a (2 2 ? ) 2 c 4 cd
3

2 2

2 a ? a? a? 4 4 1 () 2 3 ? 2 a ? a? a ? 2 1 4

2 x 3 x () 5 ? 2 ? 5? 2x? x 3 x 3 5 95?

2m n 5p q 5m np (6) ? ? 2 2 3pq 4m n 3q

2

2

9 6?2 x 3x?x 4 ?x x ? 2 4? (7) ? ? 2 x? 16 4 x 4 x ? ?2 9 6?2 x 3x?x 4 ?x x ? 2 4? 解: ? ? 2 2 x? 16 4 x 4 x ? ? ( ? 2 4x ( ? 2 3x ) ? x2 ) ? ? ? ( ? x4 x3 2 x2x x4 ? ? ( ?)( ) )( ) ?
x2 ? x ? 6 (x ? 3)(x ? 2) ? 2 ? x ? 2x ? 8 (x ? 4)(x ? 2)

注意:
乘法和除法运算时,分子或分母能 分解的要分解,结果要化为最简分式 。

分式的加减

{

同分母相加

B C B?C ? ? A A A

异分母相加

B C BD CA ? BD AC ? ? ? ? ADAD AD AD

通分 ?在分式有关的运算中,一般总是先把分子、

分母分解因式;
?注意:过程中,分子、分母一般保持分解因

式的形式。

4 3 (1) ? ? a a x?1 2x?1 (2 ) ? x?1 1?x

x? 2 ? 1 x 1 (4 2 ? ) x? 1 x? 1

2x?1 (5 x?2? ) x?1

2 x?y x y (6)计算: ? ? 2 x x?y x ?xy 2 x y ? x y 解: x ?x y?x ?xy 2 ? 2 2 ( ? xy xy ? )( ) x y ? ? ? x? ( y x ) x? x? ( y ( y x ) x ) 2 2 2 2 x ?y ?x ? y ? ?0 2 x ?xy

x x?6 1 (7)当 x = 200 时,求 ? 2 ? x? x ? x x 3 3 的值. x x?6 1 解: ? 2 ? x?3 x ?3 x x 2 x x6 ? x3 ? ? ? ? x ?) x ?) x ?) ( 3 ( 3 ( 3 x x x

x ?9 (x ? 3)(x ? 3) x?3 ? ? ? x( x ? 3) x(x ? 3) x 200 ? 3 203 ? 当 x = 200 时,原式= 200 200
2

x3 ? A B ? ? (8) 已知 2 2 求A、B ( ?) x 2 ( ?) x 2 ? x 2

整数指数幂有以下运算性质:

(1)am·n=am+n (a≠0) a (2)(am)n=amn (a≠0) (3)(ab)n=anbn (a,b≠0) (4)am÷an=am-n (a≠0)
a a ( (5) ) ? b b
n n n

(b≠0)

当a≠0时,a0=1。 (6)

(7)n是正整数时, a-n属于分式。 并且 a?n ? 1

n (a≠0) a

1:下列等式是否正确?为什么?
(1)am÷an= am.a-n;

a n n ?n (2) ( ) ? a b b
.

2. 0.000000879用科学计数法表示为

3.如果(2x-1)-4有

意义,则
4.(2×10-3)2×(2×10-2)-3= 5.(an+1bm)-2÷anb=a-5b-3,则m= .



,n=___.

计算

ab ba 1 ? ?? ? ? ? ( )? ??? ? ? 2 2 6 . b a b ? a ? ? ? ? a?
2

? 3

复习回顾一:
1.解分式方程的思路是:
分式 方程

去分母

整式 方程

2.解分式方程的一般步骤
1、 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母, 化成整式方程.
2、解这个整式方程. 3、 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不 是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必 须舍去. 4、写出原方程的根.

1 4 x 2 ? 1 1、(98西安)解方程: ? 2 ? 例1 x 2 x? 2 x ? 4 ?

解:原方程可化为

1 4 x 2 ? ? ? 1 x 2 ( ?)( 2 x 2 ? x 2x ) ? ?

两边都乘以 ( ?)(?) ,并整理得; x 2x 2

x?x 2 0 解得 3? ?
2

x ?,x ? 2 1 1 2

检验:x=1是原方程的根,x=2是增根
∴原方程的根是x=1

x3 ? A B ? ? 例2 已知 2 2 求A、B ( ?) x 2 ( ?) x 2 ? x 2

A 1B 5 ?; ?

解方程: x 5 x 1 + 1 . =0 x 3 x 1 -

x?2

x 2 8 2 . -1 2 = x 2 + x- 4

x?0

3 2 ? ?1 5.若方程 有增根,则增根 2 ?4 x?2 x

应是 6.解关于x的方程
2 a x 3 ?2 ? x? x ? x? 2 4 2

产生增根,则常数a=



7、 已知

x? 1 A B ? ? 2 x ? x x x? 2 2

求A、B

复习回顾二:
列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出研究对象,建立等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:不要忘记检验. 6.答:不要忘记写.

例1: 一项工程,需要在规定日期内完成,如果甲队独做,恰 好如期完成,如果乙队独做,就要超过规定3天,现在由 甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,也刚好在规定 日期内完成, 问规定日期是几天?

解:设规定日期为x天,根据题意列方程 2 x ? ? 1. x x?3 请完成下面的过程

例2. 已知轮船在静水中每小时行20千米, 如果此船在某江中顺流航行72千米所用 的时间与逆流航行48千米所用的时间相 同,那么此江水每小时的流速是多少千 米?
解:设江水每小时的流速是x千米,根据 题意列方程

72 48 ? 20 x 20 x ? ?
请完成下面的过程

例3.某人骑自行车比步行每小时多走8千 米, 如果他步行12千米所用时间与骑车 行36千米所用的时间相等,求他步行40 千米用多少小时?
解:设他步行1千米用x小时,根据题意列 方程

12 36 ? x x?8
请完成下面的过程

例4. 甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行, 甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地,立即返回, 取过东西后又立即从A向B行进,这样两人恰好在AB中点 处相遇。已知甲比乙每小时多走0.5千米,求二人的速度 各是多少? 36千米

A 1千米 分析:等

量关系

B
路程 甲 乙 =
18 x

速度

时间
18 ? 1 ? 2 x ? 0 .5

t



=

t



181 2 x?0.5 ??
18

18 ? 1 ? 2 x ? 0 .5

x

18 x

学以致用
1.水池装有两个进水管,单独开甲管需a小时注 满空池,单独开乙管需b小时注满空池,若同时打 开两管,那么注满空池的时间是(B)小时 A、
1 a ? b

ab B、 a ? b

1 1 C、 ? b a

1 D、 ab

3.甲加工180个零件所用的时间,乙可以加工240个零件,已
知甲每小时比乙少加工5个零件,求两人每小时各加工的零 件个数. 解:设甲每小时加工x个零件,则乙每小时加工(x+5)个零件, 依题意得:

180 x

240 = x ? 5

请完成下面的过程

甲:15

乙:20

3 8:12:15
xy x ? y

D

x≠-1

1 x? ? 2

1 x ? 3
? a 2b

b ? a a ? b

4? x
2 x ?1
x2 ? y2 xy


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