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最新人教版七年级数学上册总复习知识点

发布时间:2013-12-22 12:28:46  

七年级数学期末复习知识点归纳

第一章 有理数

1.1 正数与负数

①正数:大于0的数叫正数。(根据需要,有时在正数前面也加上“+”)

②负数:在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。

③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界,是唯一的中性数。

注意:搞清相反意义的量:南北;东西;上下;左右;上升下降;高低;增长减少等

1.2 有理数

1、有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数;(2)分数;正分数和负分数统称分数;

(3)有理数:整数和分数统称有理数。

2、数轴(1)定义 :通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴;

(2)数轴三要素:原点、正方向、单位长度;

(3)原点:在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点;

(4)数轴上的点和有理数的关系:所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上

的点,不都是表示有理数。

3、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数。(例:2的相反数是-2;0的相反数是0)

4、绝对值:(1)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。从几何意义上讲,

数的绝对值是两点间的距离。

(2) 一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

两个负数,绝对值大的反而小。

1.3 有理数的加减法

①有理数加法法则:

1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

3、一个数同0相加,仍得这个数。

加法的交换律和结合律

②有理数减法法则:减去一个数,等于加这个数的相反数。

1.4 有理数的乘除法

①有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;

任何数同0相乘,都得0;

乘积是1的两个数互为倒数。

乘法交换律/结合律/分配律

②有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数;

两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;

0除以任何一个不等于0的数,都得0。

1.5 有理数的乘方

1、求n个相同因数的积的运算,叫乘方,乘方的结果叫幂。在a的n次方中,a叫做底数,n叫做指数。负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数,0的任何次幂都是0。

2、有理数的混合运算法则:先乘方,再乘除,最后加减;同级运算,从左到右进行;如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。

3、把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式,使用的就是科学计数法,注意a的范围为1≤a <10。

4、从一个数的左边第一个非0数字起,到末位数字止,所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始,而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如:3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章 整式的加减

2.1 整式

1、单项式:由数字和字母乘积组成的式子。系数,单项式的次数. 单项式指的是数或字母的积的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式.因此,判断代数式是否是单项式,关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母,若式子中含有加、减运算关系,其也不是单项式.

2、单项式的系数:是指单项式中的数字因数;

3、单项数的次数:是指单项式中所有字母的指数的和.

4、多项式:几个单项式的和。判断代数式是否是多项式,关键要看代数式中的每一项是否是单项式.每个单项式称项,常数项,多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数,这里ab是次数最高项,其次数是6;多项式的项是指在多项式中,每一个单项式.特别注意多项式的项包括它前面的性质符号.

5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。

6、单项式和多项式统称为整式。 33

2.2整式的加减

1、同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。

2、同类项必须同时满足两个条件:(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同,二者缺一不可.同类项与系数大小、字母的排列顺序无关

3、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律,结合律和分配律。

4、合并同类项法则:合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;

5、去括号法则:去括号,看符号:是正号,不变号;是负号,全变号。

6、整式加减的一般步骤:

一去、二找、三合

(1)如果遇到括号按去括号法则先去括号. (2)结合同类项. (3)合并同类项

第三章 一元一次方程

3.1 一元一次方程

1、方程是含有未知数的等式。

2、方程都只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。 注意:判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点:

1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程);

2)化简后方程中只含有一个未知数;

3)经整理后方程中未知数的次数是1.

3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解。

4、等式的性质: 1)等式两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等;

2)等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。

注意:运用性质时,一定要注意等号两边都要同时变;运用性质2时,一定要注意0这个数.

3.2 、3.3解一元一次方程

在实际解方程的过程中,以下步骤不一定完全用上,有些步骤还需重复使用. 因此在解方程时还要注意以下几点:

①去分母:在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,不要漏乘不含分母的项;分子是一个整体,去分母后应加上括号;去分母与分母化整是两个概念,不能混淆;

②去括号:遵从先去小括号,再去中括号,最后去大括号;不要漏乘括号的项;不要弄错符号; ③移项:把含有未知数的项移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(移项要变符号) 移项要变号;

④合并同类项:不要丢项,解方程是同解变形,每一步都是一个方程,不能像计算或化简题那样写能连等的形式;

⑤系数化为1::字母及其指数不变系数化成1,在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。

3.4 实际问题与一元一次方程

一.概念梳理

⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是:①审题,特别注意关键的字和词的意义,弄清相关

数量关系;②设出未知数(注意单位);③根据相等关系列

出方程;④解这个方程;⑤检验并写出答案(包括单位名称)。

⑵一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练学案。

二、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结)

⑴建模思想:通过对实际问题中的数量关系的分析,抽象成数学模型,建立一元一次方程的思想. ⑵方程思想:用方程解决实际问题的思想就是方程思想.

⑶化归思想:解一元一次方程的过程,实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知

数的系数化为1等各种同解变形,不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程,最

后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.

⑷数形结合思想:在列方程解决问题时,借助于线段示意图和图表等来分析数量关系,使问题中的

数量关系很直观地展示出来,体现了数形结合的优越性.

⑸分类思想:在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论,在解有关方

案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

三、数学思想方法的学习

1. 解一元一次方程时,要明确每一步过程都作什么变形,应该注意什么问题.

2. 寻找实际问题的数量关系时,要善于借助直观分析法,如表格法,直线分析法和图示分析法等.

3. 列方程解应用题的检验包括两个方面:⑴检验求得的结果是不是方程的解;

⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.

四、一元一次方程典型例题

m3例1. 已知方程2x-+3x=5是一元一次方程,则.

解:由一元一次方程的定义可知m-3=1,解得m=4.或m-3=0,解得m=3

所以m=4或m=3

警示:很多同学做到这种题型时就想到指数是1,从而写成m=1,这里一定要注意x的指数是(m-3).

2例2. 已知x??2是方程ax-(2a-3)x+5=0的解,求a的值.

解:∵x=-2是方程ax-(2a-3)x+5=0的解

∴将x=-2代入方程,

得 a·(-2)-(2a-3)·(-2)+5=0

化简,得 4a+4a-6+5=0

∴ a=221 8

点拨:要想解决这道题目,应该从方程的解的定义入手,方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值,这样把x=-2代入方程,然后再解关于a的一元一次方程就可以了.

例3. 解方程2(x+1)-3(4x-3)=9(1-x).

解:去括号,得 2x+2-12x+9=9-9x,

移项,得 2+9-9=12x-2x-9x.

合并同类项,得 2=x,即x=2.

点拨:此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边,已知项移到方程的右边,其实,我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正,为了减少计算的难度,我们可以根据等式的对称性,把所有的未知项移到右边去,已知项移到方程的左边,最后再写成x=a的形式.

例4. 解方程 1?1?1?x?1???. ?3??5??7??1???8?6?4?2???

1?1?x?1???3??5??1 ??6?4?2??

1?x?1? ?3??1?4?2?解析:方程两边乘以8,再移项合并同类项,得同样,方程两边乘以6,再移项合并同类项,得

方程两边乘以4,再移项合并同类项,得x?1?1 2

方程两边乘以2,再移项合并同类项,得x=3.

说明:解方程时,遇到多重括号,一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的分配律逐层去特号,而本题最简捷的方法却不是这样,是通过方程两边分别乘以一个数,达到去分母和去括号的目的。

例5. 解方程4x?1.55x?0.81.2?x. ??0.50.20.1

(4x?1.5)?2(5x?0.8)?5(1.2?x)?10 ??0.5?20.2?50.1?10解析:方程可以化为

整理,得 2(4x?1.5)?5(5x?0.8)?10(1.2?x)

去括号移项合并同类项,得 -7x=11,所以x=?11. 7

说明:一见到此方程,许多同学立即想到老师介绍的方法,那就是把分母化成整数,即各分数

分子分母都乘以10,再设法去分母,其实,仔细观察这个方程,我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位,第一个分数分子分母都乘以2,第二个分数分子分母都乘以5,第三个分数分子分母都乘以10.

例6. 解方程 xxxx????1. 6122030

xxxx????1. 2?33?44?55?6

44556解析:原方程可化为 xxxxxxxx方程即为 ????????1. 233

xx所以有 ??1. 26

再来解之,就能很快得到答案: x=3.

3,12=3×4,知识链接:此题如果直接去分母,或者通分,数字较大,运算烦琐,发现分母6=2×

20=4×5,30=5×6,联系到我们小学曾做过这样的分式化简题,故采用拆项法解之比较简便.

例7. 参加某保险公司的医疗保险,住院治疗的病人可享受分段报销,?保险公司制度的报销细

则如下表,某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元,那么此人的实际医疗费是( )

A. 2600元 解析:设此人的实际医疗费为x元,根据题意列方程,得

500×0+500×60%+(x-500-500) ×80%=1260.

解之,得x=2200,即此人的实际医疗费是2200元. 故选B.

点拨:解答本题首先要弄清题意,读懂图表,从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的. 因

60%<1260<2000×80%,所以可知判断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算. 为500×

例8. 我市某县城为鼓励居民节约用水,对自来水用户按分段计费方式收取水费:若每月用水不超过7立方米,则按每立方米1元收费;若每月用水超过7立方米,则超过部分按每立方米2元收费. 如果某户居民今年5月缴纳了17元水费,那么这户居民今年5月的用水量为__________立方米.

7<17,所以该户居民今年5月的用水量超标. 解析:由于1×

1+2(x-7)=17, 解得x=12. 设这户居民5月的用水量为x立方米,可得方程:7×

所以,这户居民5月的用水量为12立方米.

例9. 足球比赛的记分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,输一场得0分,一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分,请问:

⑴前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?

⑵这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?

⑶通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?

解析:⑴设这个球队胜了x场,则平了(8-1-x)场,根据题意,得:

3x+(8-1-x)=17.

解得x=5.

所以,前8场比赛中,这个球队共胜了5场.

⑵打满14场比赛最高能得17+(14-8)×3=35分.

⑶由题意知,以后的6场比赛中,只要得分不低于12分即可.

∴胜不少于4场,一定能达到预期目标. 而胜了3场,平3场,正好达到预期目标. 所以在以后的比赛中,这个球队至少要胜3场.

例10. 国家为了鼓励青少年成才,特别是贫困家庭的孩子能上得起大学,设置了教育储蓄,其优惠在于,目前暂不征收利息税. 为了准备小雷5年后上大学的学费6000元,他的父母现在就参加了教育储蓄,小雷和他父母讨论了以下两种方案:

⑴先存一个2年期,2年后将本息和再转存一个3年期;

⑵直接存入一个5年期.

你认为以上两种方案,哪种开始存入的本金较少?

[教育储蓄(整存整取)年利率一年:2. 25%;二年:2. 27%;三年:3. 24%;五年:3. 60%. ] 解析:了解储蓄的有关知识,掌握利息的计算方法,是解决这类问题的关键,对于此题,我们可以设小雷父母开始存入x元. 然后分别计算两种方案哪种开始存入的本金较少.

2)=1. 054x; ⑴2年后,本息和为x(1+2. 70%×

3)=6000. 再存3年后,本息和要达到6000元,则1. 054x(1+3. 24%×

解得 x≈5188.

5)=6000. ⑵按第二种方案,可得方程 x(1+3. 60%×

解得 x≈5085.

所以,按他们讨论的第二种方案,开始存入的本金比较少.

例11. 扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示. 如果长方体盒子的长比宽多4cm,求这种药品包装盒的体积.

分析:从展开图上的数据可以看出,展开图中两高与两宽和为14cm,所以一个宽与一个高的和

cm,为7cm,如果设这种药品包装盒的宽为xcm,则高为(7-x)因为长比宽多4cm,所以长为(x+4)

cm,根据展开图可知一个长与两个高的和为13cm,由此可列出方程.

解:设这种药品包装盒的宽为xcm,则高为(7-x)cm,长为(x+4)cm.

根据题意,得(x+4)+2(7-x)=13,

解得 x=5,所以7-x=2,x+4=9.

故长为9cm,宽为5cm,高为2cm.

5×2=90(cm3). 所以这种药品包装盒的体积为:9×

例12. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率.

解:设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得

(1+x)(1-5%)=1+14%

解得x=20%

答:这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.

点评:本题是一道增长率的应用题. 本月的进口石油的费用等于上个月的费用加上增加的费用,也就是本月的石油进口量乘以本月的价格. 设出未知数,分别表示出每一个数量,列出方程进行求解. 列方程解应用题的关键是找对等量关系,然用代数式表示出其中的量,列方程解答.

第四章 几何图形初步

4.1 几何图形

1、几何图形:从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。

2、立体图形:这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

3、平面图形:这些几何图形的各部分都在同一个平面内。

4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的。

立体图形中某些部分是平面图形。

5、三视图:从左面看,从正面看,从上面看

6、展开图:有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形。

这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。

7、⑴几何体简称体;包围着体的是面;面面相交形成线;线线相交形成点;

⑵点无大小,线、面有曲直;

⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的;

⑷点动成线,线动成面,面动成体;

⑸点:是组成几何图形的基本元素。

4.2 直线、射线、线段

1、直线公理:经过两点有一条直线,并且只有一条直线。即:两点确定一条直线。

2、当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫做它们的交点。

3、把一条线段分成相等的两条线段的点,叫做这条线段的中点。 m

4、线段公理:两点的所有连线中,线段做短(两点之间,线段最短)。

5、连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。

6、直线的表示方法:如图的直线可记作直线AB或记作直线m.

m (1)用几何语言描述右面的图形,我们可以说:

点P在直线AB外,点A、B都在直线AB上.

(2)如图,点O既在直线m上,又在直线n上,我们称直线 Pm、n 相交,交点为O.

7、在直线上取点O,把直线分成两个部分,去掉一边的一个部分,保留点

0和另一部分就得到一条射线,如图就是一条射线,记作射线OM或a记作射线a. 注意:射线有一个端点,向一方无限延伸.

8、在直线上取两个点A、B,把直线分成三个部分,去掉两边的部分,保留点A、B和中间的一部a分就得到一条线段.如图就是一条线段,记作线段AB或记作线段a.

注意:线段有两个端点. 4.3 角

1. 角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫角。这个公共端点是角

的顶点,两条射线为角的两边。如图,角的顶点是O,两边分别是射线OA、

OB.

2、角有以下的表示方法:

① 用三个大写字母及符号“∠”表示.三个大写字母分别是顶点和两边上

的任意点,顶点的字母必须写在中间.如上图的角,可以记作∠AOB或∠BOA.

② 用一个大写字母表示.这个字母就是顶点.如上图的角可记作∠O.当有

两个或两个以上的角是同一个顶点时,不能用一个大写字母表示.

③ 用一个数字或一个希腊字母表示.在角的内部靠近角的顶点

处画一弧线,写上希腊字母或数字.如图的两个角,分别记作∠?、∠1 BOA

12、以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制。角的度、分、秒是60进制的。

1度=60分 1分=60秒 1周角=360度 1平角=180度

3、角的平分线:一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的

平分线。

4、如果两个角的和等于90度(直角),就说这两个叫互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角; 如果两个角的和等于180度(平角),就说这两个叫互为补角,即其中每一个角是另一个角的补角。

5、同角(等角)的补角相等;同角(等角)的余角相等。

6、方位角:一般以正南正北为基准,描述物体运动的方向。

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