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存在性问题

发布时间:2013-12-22 13:39:20  

存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。

这类题目解法的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。

由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征,在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验。

一、函数中的存在性问题(相似)

1.(枣庄10分)如图,在平面直角坐标系xoy中,把抛物线y?x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得到抛物线y?(x?h)2?k.所得抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,顶点为D.

(1)写出h、k的值;

(2)判断△ACD的形状,并说明理由;

(3)在线段AC上是否存在点M,使△AOM∽△ABC?若存在,求出点M的坐标;

若不存在,说明理由.

2.(临沂13分)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,

顶点为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点

的四边形是平行四边形,求点D的坐标;

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否

存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

二、函数中的存在性问题(面积)

3. (日照10分)如图,抛物线y?ax2?bx?a>0?与双曲线y?k相交于点x

A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOX=4.

点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.

(1)求双曲线和抛物线的解析式;

(2)计算△ABC的面积;

(3)在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积.若存在,请你写出点D的坐标;若不存在,请你说明理由.

4、(德州12分)在直角坐标系xoy中,已知点P

是反比例函数y个动点,以P为圆心的圆始终与y轴相切,设切点为A.

(1)如图1,⊙P运动到与x轴相切,设切点为K,试判断四边形OKPA的形状,并说明理由.

(2)如图2,⊙P运动到与x轴相交,设交点为B,C.当四边形ABCP是菱形时: ①求出点A,B,C的坐标.

②在过A,B,C三点的抛物线上是否存在点M,使△MBP的面积是菱形ABCP面积的在,试求出所有满足条件的M点的坐标,若不存在,试说明理由.

(x>0)图象上一1.若存2

5.(济宁10分)如图,第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A,

作直径AD,过点D作⊙C的切线l交x轴于点B,P为直线l上一动点,

已知直线PA的解析式为:y=kx+3。

(1) 设点P的纵坐标为p,写出p随k变化的函数关系式。

(2)设⊙C与PA交于点M,与AB交于点N,则不论动点P处于直线l上(除

点B以外)的什么位置时,都有△AMN∽△ABP。请你对于点P处于图中位

置时的两三角形相似给予证明;

(3)是否存在使△AMN的面积等于

明理由。 32的k值?若存在,请求出符合的k值;若不存在,请说25

,0?、B?3,0?两点,与y轴交于点6.(10山东潍坊)如图所示,抛物线与x轴交于点A??1

C?0,?3?.以AB为直径作⊙M,过抛物线上一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与

连结DM并延长交⊙M于点N,连结AN、AD. ⊙M的切线AE相交于点E,

(1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标;

(2)若四边形EAMD

的面积为求直线PD的函数关系式;

(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

三、函数中的存在性问题(四边形)

7. (10山东临沂)如图,二次函数y= ?x2?ax?b的图像与x轴交于A(?,0)、

B(2,0)两点,且与y轴交于点C; (1) 求该拋物线的解析式,并判断△ABC的形状;

(2) 在x轴上方的拋物线上有一点D,且以A、C、D、B四

点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;

(3) 在此拋物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点

为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。

8.(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A(-4,3),点B在x轴上,△AOB是等腰三

角形.

(1)求满足条件的所有点B的坐标;

(2)求过O、A、B

三点且开口向下的抛物线的函数表达式(只需求出满足条件的一条 12

即可);

(3)在(2)中求出的抛物线上存在点P,使得以O,A,B,P四点为顶点的四边形是梯

形,求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积.

【答案】1.解:(1)∵由平移的性质知,y?(x?h)2?k的顶点坐标为D(-1,-4),

,k??4。 ∴h??1

(2)由(1)得y=?x?1??4.

当y=0时,?x?1??4?0. 解之,得x1??3,x2?1 。

∴A(?3, 0),B(1, 0).

又当x?0时,y=?x?1??4??0?1??4??3,

∴C点坐标为(0,-3)。

又抛物线顶点坐标D(-1,-4),

作抛物线的对称轴x??1交x轴于点E,DF⊥ y轴于点F。易知

在Rt△AED中,AD=2+4=20,

在Rt△AOC中,AC=3+3=18,

在Rt△CFD中,CD=1+1=2,

∴AC+ CD=AD。∴△ACD是直角三角形。

(3)存在.作OM∥BC交AC于M,M点即为所求点。

由(2)知,△AOC为等腰直角三角形,∠BAC=45,

AC?

由△AOM∽ △ABC,得022222222222222223AOAM。即 AM。 ?

4ABAC

??9, 过M点作MG⊥AB于点G,则

4

OG=AO-AG=3-93?。 44

39,-)。 44又点M在第三象限,所以M(-

2.解:(1)设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c?a?0?,

? 4a?2b?c=0? a=1??∵抛物线过A(﹣2,0),B(﹣3,3),O(0,0)可得?9a?3b?c=3,解得?b=2。

?c=0?c=0??

∴抛物线的解析式为y?x2?2x。

(2)①当AE为边时,∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,∴DE=AO=2,

则D在x轴下方不可能,∴D在x轴上方且DE=2,则D1(1,3),D2(﹣3,3)。

②当AO为对角线时,则DE与AO互相平分。

∵点E在对称轴上,且线段AO的中点横坐标为﹣1,

由对称性知,符合条件的点D只有一个,与点C重合,即C(﹣1,﹣1)。 故符合条件的点D有三个,分别是D1(1,3),D2(﹣3,3),C(﹣1,﹣1)。

(3)存在,如图:∵B(﹣3,3),C(﹣1,﹣1),根据勾股定理得:

BO=18,CO=2,BC=20,∴BO+CO=BC.∴△BOC是直角三角形。

假设存在点P,使以P,M,A为顶点的 三角形与△BOC相似,

设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y?x2?2x, 222222

AMPM。 ?BOCO

12即 x+2=3(x+2x)得:x1=,x2=﹣2(舍去). 3

1717当x=时,y=,即P(,)。 9339

BOPM②若△PMA∽△BOC,则,。 ?COBO①若△AMP∽△BOC,则

即:x+2x=3(x+2)得:x1=3,x2=﹣2(舍去)

当x=3时,y=15,即P(3,15). 2

17故符合条件的点P有两个,分别是P(,)或(3,15)。 39

kk3.解:(1)把点B(-2,-2)的坐标代入y?得,?2?,∴k=4。 x?2

4∴双曲线的解析式为:y?。 x

设A点的坐标为(m,n).∵A点在双曲线上,∴mn=4。

又∵tan∠AOX=4,∴

2m=4,即m=4n。 n∴n=1,∴n=±1。

∵A点在第一象限,∴n=1,m=4。∴A点的坐标为(1,4)。

?a?b?4把A、B点的坐标代入y?ax2?bx得,?,解得,a=1,b=3。

?4a?2b??2

∴抛物线的解析式为:y?x2?3x。

(2)∵AC∥x轴,∴点C的纵坐标y=4,

代入y?x2?3x得方程,x2?3x?4?0,解得x1=-4,x2=1(舍去)。 ∴C点的坐标为(-4,4),且AC=5。

又∵△ABC的高为6,∴△ABC的面积=13536=15。 2

(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下:

过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D,此时△ABD的面积等于△ABC的面积(同

底:AB,等高:CD和AB的距离)。

∵直线AB相应的一次函数是:y?2x?2,且CD∥AB,

∴可设直线CD解析式为y?2x?p,

把C点的坐标(﹣4,4)代入可得,p?12。

∴直线CD相应的一次函数是:y?2x?12。

?y?x2?3x?x?3解方程组?,解得,?。 y?18y?2x?12??

∴点D的坐标为(3,18)。

4.解:(1)四边形OKPA是正方形。理由如下:

∵⊙P分别与两坐标轴相切,∴PA⊥OA,PK⊥OK。∴∠PAO=∠OKP=90°。 又∵∠AOK=90°,∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°。∴四边形OKPA是矩形。 又∵OA=OK,∴四边形OKPA是正方形。

(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,

则其纵坐标为

过点P作PG⊥BC于G。

∵四边形ABCP为菱形,∴BC=PA=PB=PC。

∴△PBC为等边三角形。

x

在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x,

PGsin∠PBG=

?解之得:x=±2(负值舍去)PBx

PA=BC=2。

易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1,

∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3。

∴A(0

),B(1,0)C(3,0)。

?a?b?c?0 ?设二次函数解析式为:y?ax2?bx?

c。据题意得:?9a?b?c?0

??c?b?

c

2∴二次函数关系式为:y

解之得:a?

②设直线BP的解析式为:y?kx?b,据题意得:???k

?b?

??2k?b?解之得:k

?b?

∴直线BP的解析式为:

y?

过点A作直线AM∥PB,则可得直线AM

的解析式为:

y?

?y?

????x1=0 ??x2=7 解方程组:???

2x?x???y??

y1???y2?33?

过点C作直线CM∥PB,则可得直线CM

的解析式为:y?

?

?y?

??x2=4 ?x1=3 ??,解方程组:?? ?

2y?0?x?x??1?y??y2??

综上可知,满足条件的M的坐标有四个:(

0),(7,

,(3,0),(4,

5.解:(1)∵y轴和直线l都是⊙C的切线,∴OA⊥AD BD⊥AD 。

又∵ OA⊥OB,∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°。∴四边形OADB是矩形。 ∵⊙C的半径为2,∴AD=OB=4。

∵点P在直线l上,∴点P的坐标为(4,p)。

又∵点P也在直线AP上,∴p=4k+3。

(2)连接DN。∵AD是⊙C的直径,∴ ∠AND=90°。

∵ ∠AND=90°-∠DAN,∠ABD=90°-∠DAN,

∴∠AND=∠ABD 。

又∵∠ADN=∠AMN,∴∠ABD=∠AMN。

∵∠MAN=∠BAP ∴△AMN∽△ABP 。

(3)存在。理由如下:把x=0代入y=kx+3,得y=3,即OA=BD=3。

??5。 11AD?DB4?312AB2DN=AD2DB,∴DN==?。 2255AB

12256222 ∴AN=AD-DN=42?()2?。 525∵ S△ABD=

∵△AMN∽△ABP , ∴S?AMNAN2?()S?ABPAP 即

S?AMNAN2?S?ABPAN2 。 ?()?S?ABP?2APAP

当点P在B点上方时,

∵AP=AD+PD = AD+(PB-BD) =4+(4k+3-3) =16(k+1), 或AP=AD+PD = AD+(BD-PB) =4+(3-4k-3) =16(k+1), S△ABP= 222222222222222211PB2AD= (4k+3)34=2(4k+3), 22

AN2?S?ABP256?2(4k?3)32(4k?3)32。 ????222AP25?16(k?1)25(k?1)25∴S?AMN

整理得k-4k-2=0 , 解得k1 =2

, k2=2

当点P在B 点下方时,

∵AP=AD+PD =4+(3-4k-3) =16(k+1) ,

S△ABP= 222222211PB2AD= [-(4k+3)]34=-2(4k+3),

22

∴S?AMNAN2?S?ABP?256?2(4k?3)32。 ???AP225?16(k2?1)25

2 整理得k+1=-(4k+3), 解得k=-2。

综合以上所得,当

k=-2时,△AMN的面积等于32。 25

,0?、B?3,0?两点,设抛物线的函数关系式为:6.解:(1)因为抛物线与x轴交于点A??1

y?a?x?1??x?3?,

?3?,∵抛物线与y轴交于点C?0,

∴?3?a?0?1??0?3?,

∴a?1.

所以,抛物线的函数关系式为:y?x?2x?3,

又y??x?1??4, 22

?4?.因此,抛物线的顶点坐标为?1,

(2)连结EM,∵EA、ED是⊙M,的两条切线,

∴EA?ED,EA?AM,ED?MN,∴△EAM≌△EDM

又四边形EAMD

的面积为

∴S△EAM?

又AM?2,

∴AE? 1 AM·AE?2

或E2?1,?. 因此,点E

的坐标为E1?1

当E点在第二象限时,切点D在第一象限.

在直角三角形EAM

中,tan?EMA?

∴?EMA?60°∴?DMB?60° ,

过切点D作DF?AB,垂足为点F,

?? EA?? AM,DF? ∴MF?1

因此,切点D

的坐标为2. ?

、D2的坐标代入得 设直线PD的函数关系式为y?kx?b,

将E?1?

?

?k?????2k?b3解之,得? ??b??

??k?b?3?

所以,直线PD

的函数关系式为y??x? 33 当E点在第三象限时,切点D在第四象限.

同理可求:切点D

的坐标为2,,直线PD

的函数关系式为y?

因此,直线PD的函数关系式为

?x y??x?

x? 或y?3333

(3)若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积

又S四边形EAMD?2S△EAM,S△DAN?2S△AMD

∴S△AMD?S△EAM

∴E、D两点到x轴的距离相等,

∵PD与⊙M相切,∴点D与点E在x轴同侧,

∴切线PD与x轴平行,

此时切线PD的函数关系式为y?2或y??2.

2当y?2时,由y?x?2x?

3得,x?1?

当y??2时,由y?x?2x?

3得,x?1 2

、P21、P31??2、

故满足条件的点P的位置有4

个,分别是P 11P41??2.

说明:本参考答案给出了一种解题方法,其它正确方法应参考标准给出相应分数. ?

??

?????

?111?27:[解] (1) 根据题意,将A(?,0),B(2,0)代入y= ?x?ax?b中,得??4?2a?b?0,2???4?2a?b?0

解这个

方程,得a=,b=1,∴该拋物线的解析式为y= ?x2?x?1,当 x=0时,y=1,

∴点

3232C的坐标为(0,1)。∴在△AOC中

AC=OA2?OC2=()2?12=

12

12。 2

在△BOC中,BC=OB2?OC2=22?12=。

AB=OA?OB=?2=,∵AC 2?BC 2=?5=

角三角形。

(2) 点D的坐标为(,1)。

(3) 存在。由(1)知,AC?BC。

? 若以BC为底边,则BC//AP,如图1所示,可求得直线

BC的解析式为y= ?x?1,直线AP

BC平移得到的,所以设直线AP的解析式为y= ?

x? 把点A(?,0)代入直线AP的解析式,求得b= ?,

∴直线AP的解析式为y= ?x?。∵点P既在拋物线上,又在直线AP上,

∴点P的纵坐标相等,即?x2?x?1= ?x?,解得x122415353

x2= ?(舍去)。当x=时,y= ?,∴点P(,?)。

22222

525425

=AB 2,∴△ABC是直4

32

12

12

1214

1214

311 ? 若以AC为底边,则BP//AC,如图2所示。 可求得直线AC的解析式为y=2x?1。

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的,

所以设直线BP的解析式为y=2x?b,把点B(2,0)代 入直线BP的解析式,求得b= ?4,

∴直线BP的解析式为y=2x?4。∵点P既在拋物线 上,又在直线BP上,∴点P的纵坐标相等,

352255

当x= ?时,y= ?9,∴点P的坐标为(?,?9)。 22

535

综上所述,满足题目条件的点P为(,?)或(?,?9)。

222

即?x2?x?1=2x?4,解得x1= ?,x2=2(舍去)。

【答案】解:作AC⊥x轴,由已知得OC=4,AC=3,OA=OC?AC=5. (1)当OA=OB=5时,

如果点B在x轴的负半轴上,如图(1),点B的坐标为(-5,0). 如果点B在x轴的正半轴上,如图(2),点B的坐标为(5,0).

22

当OA=AB时,点B在x轴的负半轴上,如图(3),BC=OC,则OB=8,点B的坐标为(-8,0).

当AB=OB时,点B在x轴的负半轴上,如图(4),在x轴上取点D,使AD=OA,可知OD=8.由∠AOB=∠OAB=∠ODA,可知△AOB∽△ODA,则

B的坐标为(-OBOA25,解得OB=,点?OAOD825,8

0)

(2)当AB=OA时,抛物线过O(0,0),A

(-4,3),B(-8,0)三点,设抛物线的函数

?bx,可得方程组?表达式为

y?ax 2?64a?8b?033,解得a=?,b??,216?16a?

4b?3

323x?x. 162

3215(当OA=OB时,同理得y??x?x. 44y??

(3)当OA=AB时,若BP∥OA,如图(5),作PE⊥x轴,则∠AOC=∠PBE,∠ACO=∠PEB

PEAC3??.设BE=4m,PE=3m,则点P的坐标为(4m-8,BEOC4

323-3m),代入y??x?x,解得m=3. 162=90°,△AOC∽△PBE,

则点P的坐标为(4,-9),

S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48.

若OP∥AB(图略),根据抛物线的对称性可得点P的坐标为(-12,-9),

S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=48.

(当OA=OB时,若BP∥OA,如图(6),作PF⊥x轴,则∠AOC=∠PBF,∠ACO=∠PFB=

PFAC3??.设BF=4m,PF=3m,则点P的坐标为(4m-5,BFOC4

32153-3m),代入y??x?x,解得m=. 442

9则点P的坐标为(1,-), 2

75S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=. 490°,△AOC∽△PBF,

若OP∥AB(图略),作PF⊥x轴,则∠ABC=∠POF,∠ACB=∠PFO=90°,△ABC∽△POF,PFAC3215,代入y??x???3.设点P的坐标为(-n,-3n)x,解得n=9.则OFBC44

点P的坐标为(-9,-27),S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75.

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