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七年级上《有理数》复习课

发布时间:2013-12-22 15:46:57  

七年级数学上学期

一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字

二、有理数的运算
加、减、乘、除、乘方运算

一、有理数的基本概念

1.负数: 在正数前面加“—”的数;

0既不是正数,也不是负数。 判断: 1)a一定是正数; × 2)-a一定是负数; × 3)-(-a)一定大于0;× 4)0是正整数。 ×

判断:
①带“-”号的数都是负数

②-a一定是负数
③不存在既不是正数,也不是负数的数

④0℃表示没有温度
增加-20%,实际的意思是 .

甲比乙大-3表示的意思是



2.有理数: 整数和分数统称有理数。
整数 有理数 分数 正有理数 有理数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 正整数 正分数 负整数 负分数 自然数

零 负有理数

2 2 1 1 例:在 -3.14, , , , - 12 -3 0,-(- ),|-8|, ,- 中, 5 9 2 4 哪些是整数、分数、正整数、负分数、非负数

整数有: ,-3, 8 12 0,2 2 1 1 分数有: , , -(- ), ,-3.14 5 9 2 4
正整数有: 12,|-8|

2 1 负分数有: -3.14,- ,5 4 2 1 非负数有: 12,0,-(- ),|-8|, 9 2

? ? ? ? ? ? ? ?

[基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内: 1,-0.1,-789,25,0,-20,-3.14,-590,6/7 · 正整数集{ …}; · 正有理数集{ …}; · 负有理数集{ …};· 负整数集{ …}; · 自然数集{ …}; · 正分数集{ …} · 负分数集{ …} 2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落,规定 上涨记为正,则-5.8元的意义是 ;如果这种 油的原价是76元,那么现在的卖价是 。

3.数 轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线.

-3 –2 –1

0

1

2

3

4

1)在数轴上表示的两个数, 右边的数总比左边的数大; 2)正数都大于0,负数都小于0; 正数大于一切负数; 3)所有有理数都可以用数轴上 的点表示。

[基础练习] 1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴,其中正确的是 ( )

2☆在数轴上画出表示下列各数的点,并按从大到小的顺 序排列,用“>”号连接起来。 4, -|-2|, -4.5, 1, 0。
-2,-1 3★ ①比-3大的负整数是_______; ②已知m是整数且 -3,-2,-1,0,1,2 -4<m<3,则m为_______________。 ③有理数中, -1 1 最大的负整数是__,最小的正整数是__。最大的非正 0 2 数是__。 ④与原点的距离为三个单位的点有__个, -3 +3 他们分别表示的有理数是__和__。

4★★选择题: (1)在数轴上,原点及原点左边所表示的数( D ) A整数 B负数 C非负数 D非正数 (2)下列语句中正确的是( D ) A数轴上的点只能表示整数 B数轴上的点只能表示分数 C数轴上的点只能

表示有理数 D所有有理数都可以用数轴上的点表示出来 (3)在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移 动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是(C ) A.-5, B.-4 C.-3 D.-2

4.相反数

只有符号不同的两个数, 其中一个是另一个的相反数。 1)数a的相反数是-a
(a是任意一个有理数);

2)0的相反数是0. 3)若a、b互为相反数,则a+b=0.
-4
-2 2 4

-4 -3 –2 –1

0

1

2

3

4

? [基础练习] ? 1☆-5的相反数是 ;-(-8)的相反数是 ; - [+(-6)]=________;0的相反数是 ; a的相反数 是 ;? 1 的相反数的倒数是______________ ; 8 ? 2☆若a和b是互为相反数,则a+b=( ) A. –2a B .2b C. 0 D. 任意有理数 ? 3★(1)如果a=-13,那么-a=______; (2)如果-a=-5.4,那么a=______; (3)如果-x=-6,那么x=______; (4)-x=9,那么x=______. ? 4★★已知a、b都是有理数,且|a|=a,|b|=-b,则ab是 ( ) A.负数; B.正数; C.负数或零; D.非负数

5、用-a表示的数一定是(D)

A .负数 B. 正数 C .正数或负数 D.正数或负数或0 6、一个数的相反数是最小的正整数,那么这个数 是(A) A .–1 B. 1 C .±1 D. 0
× 7、①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁( ) ②在一个数前面添上“-”号,它就成了一个负数( ) × ③ 只要符号不同,这两个数就是相反数(×)

5.倒 数

乘积是1的两个数互为倒数.
1)a的倒数是 2)0没有倒数 ; 3)若a与b互为倒数,则ab=1. 4)倒数是它本身的是______.
下列各数,哪两个数互为倒数? 1 ,-1,+(-8),1, 1 8, ? (? ) ? 8 8
1 (a≠0); a

6.绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
3 2 -3 –2 –1 0 1 4 2 3 4

1)数a的绝对值记作︱a︱; 若a>0,则︱a︱= a ; 2) 若a<0,则︱a︱= -a ; 若a =0,则︱a︱= 0 ; 3) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.

? [基础练习] ? 1☆—2的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位,记作 . ? 2☆ |-8|= ; -|-5|= ; 绝对值等于4的数是__________。 ? 3☆绝对值等于其相反数的数一定是( ) A.负数 B.正数 ? C.负数或零 D.正数或零 ? 4★ x ? 7 ,则x=______; ? x ? 7 , 则 x=_______;

5★★如果

a ? 3 ,则 a ? 3 ? ______ 3 ? a ? ______ .


6★★绝对值不大于11的整数有( A.11个 C.22个 B.12个 D.23个

例:在数轴上表示绝对值不小于2而又不大
于5.1的所有整数;并求出绝对值小于4的所 有整数的和与积

-5 -4 -3 -2
-6 -5 -4 -3 -2 -1

2 3 4 5 0 0 1
2 3 4 5 6

绝对值小于4的所有整数的和:

(-3)+(-2)+(-1)+1+2+3+0=

0 0

绝对值小于4的所有整数的积: (-3)×(-2)×(-1)×0 × 1×2×3=

0,±1 1)绝对值小于2的整数有________。 零和正数 2)绝对值等于它本身的数有___________。

3)绝对值不大于3的负整数有__________。 -1,-2,-3
4)数a和b的绝对值分别为2和5,且在数轴上 表示a的点在表示b的点左侧,则b的值为
5

.

练习2
1、若(x-1)2+|y+4|=0,则3x+5y=______ ∵X-1=0,y+4=0, ∴x=1 ,y=-4 ∴3x+5y=3×1+5×(-4)=3-20=-17

2、若|a-3|+|3a-4b|=0,则-2a+8b=____
3、| 7 |=( 7 ),|- 7 |=( 7 ) 绝对值是7的数是(±7) 4、若|3-?|+|4- ?|=_______ 1

5、已知|x|=3,|y|=2,且x<y,则x+y=____ ∵|x|=3,|y|=2 ∴x=±3,y=±2 ∵ x<y ∴x不能为3

∴x=-3,y=2 或 x=-3,y=-2
∴x+y=-3+2=-1 或 x+y=-3-2=-5

6、计算
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ........? ? 2 2 3 3 4 4 5 9 10

7.有理数大小的比较
1)可通过数轴比较: 在数轴上的两个数,右边的数 总比左边的数大; 正数都大于0,负数都小于0; 正数大于一切负数; 2)两个负数,绝对值大的反而小。 即:若a<0,b<0,且︱a︱>︱b︱, 则a < b.

8.科学记数法、近似数与有效数字
1. 把一个大于10的数记成a×10n 的形式,其中a是整数数位只有一位 的数,这种记数法叫做科学记数法 .

2. 一个近似数,从左边第一个不是0 的数字起到,到精确到的数位止,所 有的数字,都叫做这个数的有效数字。

一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个,

你能用科学记数法表示吗?
2800万个=2.8×10 (万个) 或 2800万个=28 000 000个=2.8×107个
6
3

1.03×10 有几位整数? (有7位整数)

3.0×10 (n是正整数)有几位整数?
(n+1位整数)

n

例:下列由四舍五入得到的近似数,各精确 到哪一位,各有几位有效数字? (1)43.8(2)0.03086(3)2.4万 (4)6×104 (5)6.0×104
解:
(1)43.8精确到十分位.有3个有效数字:4,3,8;
(2)0.03086精确到十万分位,有四个有效数字:3,0,8,6;

(3)2.4万精确到千位,有2个有效数字:2,4; (4) 6×104 精确到万位,有1个有效数字:6 ; (5) 6.0×104 精确到千位,有2个有效数字:6 ,0;

[基础练习] 1☆用科学记数数表示: ①1305000000= ; ②-1020= . 2☆ 水星和太阳的平均距离约为57900000 km用科学记数法表示为 . 3★ 120万用科学记数法应写成 4★. 近似数3.5万精确到 位, 有 个有效数字. 5★近似数0.4062精确到 ,有 个有效数字.

? 6★5.47×105精确到 位,有 个有效数字。 ? 7★3.4030×105保留两个有效数字是 ________,精确到千位是 。 ? 8★★某数由四舍五入得到3.240,那么原来 的数一定介于 和 之间。 ? 9★★用四舍五入法求30951的近似值(要 求保留三个有效数字),结果 是 。

有理数的五种运算

1.运算法则 2.运算顺序 3.运 算 律

1.运算法则

1)有理数加法法则
2)有理数减法法则 3)有理数乘法法则

4)有理数除法法则 5)有理数的乘方

1)有理数加法法则 ① 同号

两数相加,取相同的符号, 并把绝对值相加;

② 异号两数相加,取绝对值较大 的加数的符号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值;互为相反数 的两数相加得0;
③ 一个数同0相加,仍得这个数。

有理数加法法则应用举例:
①同号相加:

(+5)+(+3)=8
②异号相加

(-5)+(-3)=-8

5+(-3)= 2 -5+(+3)= -2 若a、b互为相反数,则a+b= 0 ③与0相加
a是任一个有理数,则a+0= a

2)有理数减法法则


减去一个数,等于加上这个数的相反数.

a-b=a+(-b)

例:分别求出数轴上两点间的距离: ①表示2的点与表示-7的点; ②表示-3的点与表示-1的点。 解:①2-(-7)=2+7=9
(或︱-7-2︱=︱-9︱=9)

②-1-(-3)=-1+3=2

3)有理数的乘法法则

两数相乘,同号得正,异号得负, 并把绝对值相乘; 任何数同0相乘,都得0. ① 几个不等于0的数相乘,积的符号 由负因数的个数决定,当负因数有奇 数个时,积为负;当负因数有偶数个 时,积为正. ② 几个数相乘,有一个因数为0, 积就为0.

有理数乘法法则应用举例:
①同号相乘
2×3=6 (-2)×(-3)=6 2×(-3)= -6

②异号相乘
(-2)×3 = -6

③数与0相乘 a为任何有理数,则 a×0= 0 ④连乘
(-2)×(-3)×(-4) =-24 (-2)×3×(-4) =24

4)有理数除法法则
①除以一个数等于乘上这个数的倒数; 即

a÷b=a×

1 b

(b≠0)

② 两数相除,同号得正,异号得负, 并把绝对值相除; 0除以任何一个不等于0的数,都 得0.

? 2? 1 ? ? ?1 ? ? 5?
1 ? ?1? ? 9 ? 9

? 3? 1 ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? 4? 3 ? 2?

5)有理数的乘方
即a· · ·· a= aa · ··
n 个

①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。

a

n



a

n

指数

底数
②正数的任何次幂都是正数; 负数的奇次幂是负数, 负数的偶次幂是正数.

-3的平方是(9 ) 平方是9的数是( ±3)
? (1)2×32和(2×3)2有什么区别? 各等于什么? 9 ? (2)32和23有什么区别?各等于 ±3 什么? (3)-34和(-3)4有什么区别?各 等于什么?

练习 1)在

12

10

中,12是



数,10是


7

数,读作 12的10次方(幂)

? 2? 2) ? ? 的底数是 ? 3?
是 7

2 3

指数 的7次方

2 ,读作: 3

例: 计算:
?2 1? 3 ? ?6 ? ? ? ? ? ? 2 ?3 2?
2

1 2 ? 6 ? 3? 3
3

?3 ? ? ?2 ?
2

3

下面的解题过程是否正确?如果有错误请加以订正。

改正:
1 ? 2 ?1 ? ? 2 ? ? ?3? ? ? 6 ? 1 ? 1 ? ? ? 2 ? 9? ? 6 1 ? 1 ? ? ? ?7 ? 6 7 ? 1? 6 1 ?? 6
4

1 ? 2 ?1 ? ? 2 ? ? ?3? ? ? 6 ? 1 ? ?1 ? ? ? 2 ? 9 ? 6 1 ? ?1 ? ? ? ? 7 ? 6 7 ? ?1 ? 6 1 ? 6
4

2.运算顺序

1)有括号,先算括号里面的; 2)先算乘方,再算乘除,

最后

算加减;
3)对只含乘除,或只含加减的 运算,应从左往右运算。

1 ? 2? 2 ? 1? ? ?3? ? 2 ? ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? ? ? 4 ? 3? ? 3?
2

2

? 1 ? 1 2? ? ?2 ? ? ? ? ?1 ? ? 0.6 ? ? ? ?2 ? ? ? ? 4 ? 5 ?
2

3.有理数的运算律 1)加法交换律

a+b=b+a ab=ba
(ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac

2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 3)乘法交换律

4)乘法结合律 5)分 配 律

加法四结合

1.凑整结合法

2.同号结合法

3.两个相反数结合法 解 题 技 能

4.同分母或易通分的分数结合法
A、5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)
? 2? ? 1? ? 1? ? 1? B、?4 ? ? ? 6 ? ? ? ?3 ? ? ? ?2 ? ? ? 3? ? 2? ? 3? ? 4?

C、(+7)-(-15)+(-12)-(+7)

D、1-4+7-10+13-16+19-22

乘法三结合 1、积为整数结合 解 题 技 能

2、两个倒数结合
3、能约分的结合
A、?4? ? ? ?0.07 ? ? ? ?25? ?

1 ? 1? 4 B、 ? ? ? ? ? ? 50 4 ? 5? 7

5 ? 3? 2 C、 ? ? ? ? ? 3 17 ? 7 ? 5

分配律
?3 5 2? ? ?24 ? ? ? ? ? 1 ? ?8 6 3? ? 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?24 ? ? 4 6 8 12 ?

分配律反着用 ?0.32 ? ? ?4.58? ? 0.68 ? ? ?4.58?
5 ? 3 ? 5 ? 4 ? 12 ??? ? ? ??? ? ? 17 ? 7 ? 17 ? 7 ? 17

? ?56? ? ? ?32? ? ? ?44? ? ? ?32?

分配律计算技巧
23 9 ? ? ?18 ? 24

18 ? ?24 ? ? 9 19
?3 ? 3 ? ? ? 3? ?5 ?

真假分配律

1? ? ? ?16 ? 50 ? 3 ? ? 2 5? ?

专题训练1 充分利用概念
互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的积为1.绝 对值是正数的有两个,且它们互为相反数

例:已知a、b互为相反数,c,d互为倒数,m 是绝对值最小的数,求代数式

(a ? m ? b) ? (m ? cd )

2007

非负数性质的应用
1 、已知:(a ? b) ? | b ? 4 |? 0, 求a ? b 的值
2

2

2

2、若(a - 1) 2 与 | b - 2 | 互为相反数,求 3 ? b3 a

数形结合的思想方法
已知︱a︱>︱b︱,且a<0,b>0,试比 较a,b,-a,-b的大小 分类讨论的思想 比较1+a与1-a的大小。

练习 1、已知有理数a、b、c在数轴上的 位置如图,化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c||
b a0 c
2 3

2、已知 | a - b |? 4,求 (a - b) ? (b ? a) 的值

拆项、合并法在计算中的应用
1 1 1 例、计算 ? ? ... 1? 4 4 ? 7 2005? 2008 1 1 1 1 1 1 练习 (1) ? ? ... ? ? ? 2 6 12 20 30 42 13 (2)19 ? (?11) 14

特殊值法
1、若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b___0 2、若x<0,y>0,且|x|<|y|,则x+y__0

有理数的应用
1、某公交车上原有乘客22人,经过4个站点 时上下车情况如下(上车为正、下车为负) (-6,+3),(-5,+4),(-3,+1), (-4,+1),问此时车上还有多少乘客 2、市话费在3分钟内一次计费0.22

元,超过3 分钟的每分钟0.11元,小华一次打了12分钟, 问这次通话费多少元?

? 3、一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶某 天从A地出发到晚上最后到达B地,约定向北为正 方向,当天记录如下(单位千米): ? -9.5,+7.1,-14,-6.2,+13,-6.8,-8.5,请根据计算 回答: (1)B地在A地何方,相距多少千米? (2)若汽车每千米耗油0.35升,那么这一天共耗油 多少升?(结果保留三个有效数字)

? 4、蜗牛在井里距井口1米处它每天白天向 上爬30cm,晚上又下滑20cm,则蜗牛爬出井口 需要的天数为 ( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8


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