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相似三角形专题(动点问题)

发布时间:2013-12-22 15:47:02  

相似三角形应用专题(二)

动态几何中的相似三角形

例题讲解一:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?3,DC?5,BC?10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段

. CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒)

(1)当MN∥AB时,求t的值;

(2)试探究:t为何值时,△MNC为直角三角形.

BMC

变式练习1-1:如图所示,在ΔABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x。(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)当S?BCQ

S?ABC?S?BPQ1,求的值;(3)ΔAPQ能否与ΔCQB相似?若能,S?ABC3

求出AP的长;若不能,请说明理由。

1

4

变式练习1-2:如图,已知直线l的函数表达式为y??x?8,且l与x轴,y轴分别交于A,B两点,

3

动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,同时动点P从A点开始在线

段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,设点Q,P移动的时间为t秒. (1)求出点A,B的坐标;

(2)当t为何值时,△APQ与△AOB相似?

(3)求出(2)中当△APQ与△AOB相似时,线段PQ所在直线的函数表达式. 2

在图1至图3中,直线MN与线段AB相交 1 = ∠2 = 45°. 1,若AO = OB,请写出AO与BD

1中的MN绕点O顺时针旋转得到 AO = OB.求证:AC = BD,AC ⊥ BD; 2中的OB拉长为AO的k倍得到 BD

AC

的值. 3

M 2 A

B

N

图-1

M

A

C B

N

图-2

M

A

C B

N 图-3

例题讲解二:于点O,∠(1)如图的数量关系和位置关系;(2)将图图2,其中(3)将图图3,求

变式练习2-1:已知在Rt△ABC中,∠ABC=90o,∠A=30o,点P在AC上,且∠MPN=90

当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证t△PME∽t△PNF,得出PN=3PM.(不需证明)

当PC2PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选取一给予证明.

4

变式练习2-2:如图1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若?ABC固定不动,?AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.

(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.

(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.

(3)以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD2+CE2=DE2.

(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

5

例题讲解三:如图1,Rt△PMN中,?P?90,PM?PN,MN?8cm,矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm,C点和M点重合,BC和MN在一条直线上.令Rt△PMN不动,矩形ABCD沿

,直到C点与N点重合为止.设移动x秒后,矩MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图2)

形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm.求y与x之间的函数关系式. 2?

B N

图1

B N

图1

6 2 图2 2 图2

变式练习3-1:如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,∠A?45,AB?10cm,CD?4cm.等腰直角三角形PMN的斜边MN?10cm,A点与N点重合,MN和AB在一条直线上,设等腰梯形?ABCD不动,等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s 的速度向右移动,直到点N与点B重合为止.

(1)等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状 由 形变化为 形;

(2)设当等腰直角三角形PMN移动x(s)时,等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm),求y与x之间的函数关系式;

(3)当x?4(s)时,求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积.

7 2P

P M (N)A M N B P

P M (N)A M N B

例题讲解四:如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度

是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,

设运动时间为t(s),解答下列问题:

(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;

(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;

(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?

8

变式练习4-1:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD?6cm,CD?4cm,BC?BD?10cm,点P由B出发沿BD方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0?t?5).解答下列问题:

(1)当t为何值时,PE∥AB?

(2)设△PEQ的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;

(3)是否存在某一时刻t,使S2

△PEQ?25S△BCD?

9 A E D B F

A E D B F

变式练习4-2:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).

(1)当t = 2时,AP = ,点Q到AC的距离是 ; (2)在点P从C向A运动的过程中,求△APQ的面积S与 t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)

(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBED能否成 为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由; (4)当DE经过点C 时,请直接..写出t的值.

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P

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