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勾股定理,wjm

发布时间:2013-12-22 16:49:49  

勾股定理
——北京四中网校 王建美

知识要点:
理解勾股定理的内容,已知直角三角 形的两边会求第三边。 重点:勾股定理。 难点:通过探索得出勾股定理并掌握 勾股定理。

赵爽弦图

如图:A、B、C的面积有何关系?

A+B=C

思考:
对于任意的直角三 角形,是否都存在

c

2

? a ?b
2

2

?

我国古代把直角三角形较短的直角边叫 做“勾”,较长的直角边叫做“股”, 斜边叫做“弦”,因此,直角三角形三 边之间的关系称为勾股定理。

?

一)勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有

c2=a2 + b2
?

勾股定理的另一种表述:直角三角形两直角边的平方和和等于斜边的平方。 二)勾股定理的其他表示形式:

?

? ? ?

★解题技巧: 1、勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系,是解决有关线段计 算问题的重要依据 2、勾股定理的探索与验证,一般采用“构造法”.通过构造几何图形,并计 算图形面积得出一个等式,从而得出或验证勾股定理

勾股定理:
勾股定理的推导 ? 法一:面积证法: ? SA+SB=SC ? 结论:两条直角边上的正 ? 方形面积之和等于 斜边上 ? 的正方形的面积.
?

A

C

B
图1-1

相传2500年前,毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数 量关系.

b a

?

S大正方形=S小正方形+ 4S直角三角形
? c (b?a)
2 2

1 ? a?b? 4 2

c

c
?

2

? a ?b
2

2

在中国古代,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分 称为"勾",下半部分称为"股"。我国古代学者把直角 三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称 为“股”,斜边称为“弦”.

a

b

b

c

中黄实 2 (b a)

a

法二:赵爽弦图

c
a b

c

a
? 法三:茄菲尔德的证法

1 1 1 2 1 ab ? ab ? c ? (a ? b)(a ? b) 2 2 2 2 c ? a ?b
2 2 2

c b c
c c b a

? ?

?
?

有趣的总统证法 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证 明, 就把这一证法称为“总统”证法。

例:在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为 2m ,求AC长.

A
1m B

D

2m

C

在Rt△ ABC中,∠B=90°,由勾股定理可知:

AC ?

AB 2 ? BC 2 ? 12 ? 22 ? 5

练习: 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ? ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ? ) 二填空题 1.在? ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
4.8 24 ?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
A

D
C

B

三:如图3,分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正 S 方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、 S2、S3之间有的关系式 . S
3

S2

1

图4

四、如图2,一个3米长的梯

子AB,斜着靠在竖直的 墙AO上,这时AO的距离为2.5米. ? ①求梯子的底端B 距墙角O多少米? ? ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C. 算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位 A 小数). A
?

C O C O B D O

B
D

勾股定理:对于直角三角形而言,三角形 的两直角边分别为a ,b,斜边为c,那么存在 以下式子:

a ?b ? c
2 2

2

①课后习题:1,3
②想一想,查一查,生活之中还有什么可

以采用勾股定理解决的呢?

1

1

毕达哥拉斯树


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