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29.2_反证法

发布时间:2013-12-23 12:36:28  

南丰一中

1

路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 2 的推理方法?

假设李子不是苦的,即李子是甜的, 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢? 那么,树上的李子还会这么多吗? 这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的? 所以,李子是苦的

3

一、问题情境 小华睡觉前,地上是干的,早晨起来,看见地上全湿 了。小华对婷婷说:“昨天晚上下雨了。”

你能对小华的判断说出理由吗?

小华的理由:
假设昨天晚上没有下雨,那么地上应是干的,这与 早晨地上全湿了相矛盾,所以说昨晚下雨是正确的。 我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
4

一、复习引入
A

如图,在△ABC中,AB=c, BC=a,AC=b,如果∠C=90°, a、b、c三边有何关系?为什 么? 解析: 由∠C=90°可知是 直角三角形,根据勾股 定理可知 a2 +b2 =c2 .

b

c

C

a

B

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二、探究
A 问题: 若将上面的条件改为 “在△ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 b +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由。

c

探究:假设a2 +b2 =c2,由勾股定 C a B 理逆定理可知三角形ABC是直角三 角形,且∠C=90°,这与已知条 件∠C≠90°矛盾。假设不成立, 从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。 发现知识:这种证明方法与前面的证明方法不同,它是首先
假设结论的反面成立,然后经过正确的;逻辑推理得出与已知、 定理、公理矛盾的结论,从而得到原结论的正确。象这样的证 6 明方法叫做反证法。

三、应用新知
例1 在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B
≠ ∠

尝试解决问题
C
A

感 受 反 证 法 :

证明:假设 ∠B = ∠ C, 则 这与 AB=AC ( 等角对等边 已知AB≠AC 矛盾. )
B

C

假设不成立. ∴ ∠B ≠ ∠ C .

小结:
反证法的步骤:假设结论的反面成立→逻辑推理得 出矛盾→肯定原结论正确 7

例2

求证:两条直线相交只有一个交点。 已知:如图两条相交直线a、b。 求证:a与b只有一个交点。

证明:假设a与b不止一个交点,不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线,即经 过点A和A’的直线有且只有一条,这与 已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。

a



A,

A
b



小结:根据假设推出结论除了可以与已知 条件矛盾以外,还可以与我们学过的定理、 公理矛盾

8

已知:如图有a、b、c三条直线, 且a//c,b//c. 求证:a//b


3

证明:假设a与b不平行, A b 则可设它们相交于点A。 c 那么过点A 就有两 条直线a、b与直线c平行, 这与“过直线外一点有 且只有一条直线与已知 直线平行矛盾,假设不成 立。 ∴a//b. 小结:根据假设推出结论除了可以与 已知条件矛盾以外,还可以与我们学 9 过的定理、公理矛盾

a

例4

求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于 或等于60°。 已知:△ABC 求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明:假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°, ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° , 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾.假设不成立. ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. .

点拨:至少的反面是没有!
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求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相 交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l3与l2 不相交. 证明 假设____________, l3∥l2 : 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
P l1 l2

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例6、用反证法证明:等腰三角形的底 角必定是锐角.
分析:解题的关键是反证法的第一步否定结 论,需要分类讨论. 已知:在△ABC中,AB=AC. 求证:∠B、∠C为锐角. 证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,那 么只有两种情况: (1)两个底角都是直角; (2)两个底角都是钝角;
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(1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°, 这与三角形内角和定理矛盾, ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
(2)由90°<∠B<180°, 90°<∠C<180°, 则 ∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理矛盾

.∴两个底角都是钝角这个假设也不成立. 故原命题正确 ∴等腰三角形的底角必定是锐角. 说明:本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况, 这时,必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能 成立,最后才能肯定命题的结论一定正确.此题是对反证 法的进一步理解.
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回顾与归纳
公 假 得理 设 结 出、 论 推理论证 矛 定 的 盾理 反 (等 面 已) 正 知 确 命 假题 设成 得出结论 不 立 成 立 , 原 .

反设



归谬

结论
14

反证法的一般步骤:
假设命题结 论反面成立 什么时候运用反证法呢? 所证命 题成立 与已知条件 矛盾 与定理,定 义,公理矛 盾 假设不 成立

假设

假设命题结 论不成立

推理得出 的结论

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直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法

16

万事开头难,让我

们走好第一步!
写出下列各结论的反面: (1)a//b; (2)a≥0; (3)b是正数; (4)a⊥b

a∥b a<0

b是0或负数 a不垂直于b
17

做一做

学习是件很愉快的事
A D E C

1.已知:如图△ABC中,D、E两 点分别在AB和AC上 求证:CD、BE不能互相平分 证明:假设CD、BE互相平分 连结DE,故四边形BCED是 B 平行四边形 ∴BD∥CE (平行四边形对边平行) 这与BD、CE交于点A矛盾 假设错误, ∴CD、BE不能互相平分

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四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面: (1)a是实数。 a不是实数 (2)a大于2。a小于或等于2 没有两个 a大于或等于2 (3)a小于2。 (4)至少有2个 (5)最多有一个 一个也没有 (6)两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。

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4、求证:如果一个梯形同一底上的两个内角不 相等,那么这个梯形不是等腰梯形。
A B

已知:在梯形ABCD中,AB//CD, ∠C≠∠D 求证:梯形ABCD不是等腰梯形. 证明:假设梯形ABCD是等腰梯形。 ∴∠C=∠D(等腰梯形同一底 上的两内角相等) 这与已知条件∠C≠∠D矛盾, 假设不成立。 ∴梯形ABCD不是等腰梯形.
D

C

20

五、拓展应用
1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC。 求证:PB≠PC 证明:假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知) AP=AP(公共边) PB=PC(已知) ∴△ABP≌△ACP(S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等) 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾, 假设不成立. ∴PB≠PC
A

P C

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六、全课总结
1、知识小结: 反证法证明的思路:假设命题不成立 →正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的 结论 2、难点提示: 利用反证法证明命题时,一定要准确而 全面的找出命题结论的反面。至少的反面是 没有,最多的反面是不止。

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注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
(1)周密考察原命题结论的否定事项,防止 否定不当或有所遗漏; (2)推理过程必须完整,否则不能说明命题 的真伪性; (3)在推理过程中,要充分使用已知条件, 否则推不出矛盾,或者不能断定推出的结果是 错误的。

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课时作业设计
? 用反证法证明下列命题:
? 1.求证:三角形内角中至多有一个内角是钝角。 ? 2.已知:如图,AB∥CD,AB ∥EF。

? 求证:CD ∥EF。 ? 3.求证:圆内两条不是直径的弦不能互相平分。

4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相 平行.”
A C E B D F

第2题图

24

作业 笫60页
1 .2 3 4

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