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5.3(2)反比例函数的图像与性质(经典)

发布时间:2013-12-23 13:43:42  

复习回顾
1.什么是反比例函数? k 一般地,形如 y = — ( k是常数, k = 0 ) 的函数 x 叫做反比例函数. 2.反比例函数的定义中需要注意什么?

(1)k 是非零常数;
(2)自变量 x 是 分母, (3)变形: xy = k



y=kx-1

?你还记得一次函数的图象与性质吗?
? 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条 直线,称直线y=kx+b.
?

当k>0时,
y

?

当k<0时,
y

b<0

o

b>0 b=0

x

b>0 b=0

o

b<0

x

? y随x的增大而增大; y随x的增大而减小. ?

图象是怎样得出来的?
通过描点法得来的,具体的基本步骤如下:
1、列表(列表前分析并确定自变量的取值范围);
2、描点; 3、连线(按自变量由小到大的顺序,用平滑的线 连接后标明解析式)。

反例函数的图象是什么样子?又具有怎样的性质呢?

操作一:

画出反比例函数
的函数图象。

6 y =和 x
列 表 描 点

y=

6 x

作函数图像的方法描点法:
x
y= 6 x y= 6 x

连 线

注意:①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。

x

… -6 1
y
6 5 4 3 2 1

-5 -4

-3 -2

-1 -6 6

1 6

2 3

3 2

4

5

6 1

… … …

y= 6 … x y= 6 … x

-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.2 1.5

1.5 1.2

2

3

-6 -3

-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5 4 3 2 1

-6

-5

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3 -4 -5 -6

0

1

2

3

4

5

6

x

-6 -5

-4

-3

-2

-1 -1 -2 -3

0

1

2

3

4

5

6x

-4
-5 -6

y= 6 x

y= 6 x

? 你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题?

1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描 点,尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数), 多描一些点,这样既可以方便连线 ,又可以使图象精确。 2 .描点时要严格按照表中所列的对应值描点,绝对不能 把点的位置描错。

3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时 必须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接。
4.图像是延伸的,注意不要画成有明确端点。 5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.

动手画一画
请同学们在你刚才画的图象里,再画出 与 中的另一个函数的大致图象。你一定能做到的,试试看:
y ? 3 x y?? 3 x

3 y?? x

3 y? x

y k=6

6 y=x
0
x 0

y k=-6
6 x

x
y??

k>0
y

k<0
3 y? x
x 0
y

k=3 0

3 y?? x

x

k=-3

1、每个函数的图象是什么形状,有几支?
函数有两条曲线,称为双曲线,有两个分支。

y k=6 0

6 y=x
x 0

y k=-6
6 x

x
y??

k>0
k=3

y

3 y? x
x 0

y

k<0
x
y?? 3 x

0

k=-3

2、每个函数的图象所在的象限与k有什么关 系? 当k>0时,图象在第一、三象限, 当k<0时,图象在第二、四象限。

y

6 y=x
0 x

y

k=6

0

6 y= x

x

k=-6

k>0
k=3

y

3 y? x
x 0

y

k<0
x
y?? 3 x

0

k=-3

3、在每一个象限内,y的值随x的值怎样变化?与k 有何关系? 当k>0

时,在每一个象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一个象限内,y随x 的增大而增大。

y
k=6 0

6 y=x
x 0

y

反比例函数 是不是由k决 定其性质呢? x
y?? 6 x

k=-6

k>0
k=3

y

3 y? x
x 0

y

k<0
x
y?? 3 x

0

k=-3

4、它们的图象会与坐标轴相交吗?为什么?
反比例函数的图象可无限接近两坐标轴,但永远 不会与坐标轴相交。

反比例函数的图象和性质
形状 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;
当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大. 但永远不能到达x,y轴

增减性 当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小;

图象的变化趋势 反比例函数的图象无限接近于x,y轴,

对称性

y 的图象关于y=-x和y=x对称,也是中 ? 反比例函数 x 心对称图形,对称中心是坐标原点。

k

? 反比例函数的性质
? (1)当k>0时,图象的两个分支分别位于第 一,三象限内,在这两个象限内,y随x的增大 而减小; ? (2)当k<0时,图象的两个分支分别位于第 二,四象限内,在这两个象限内,y随x的增大 而增大. ? (3)对称轴是y=x和y=-x,对称中心是原 点。 ? (4)图象无限接近于x,y轴,但永远不能到 达x,y轴。

1、反比例函数y= - 5 的图象大致是( x y y
A:
o x

D )
x

B:

o

y y

C:

x o

D:

o x

例题:根据反比例函数图象确定字母系数 取值范围
y y

2?k y? x
O O x x

5? a y? x

例:已知反比例函数 y ? 减小,求a的值和表达式.

? a ? 1? x

a2 ? a ?7

,y随x的增大而

解:依题意得: ?a ? 1 ? 0(1) ? 2 ?a ? a ? 7 ? ?1(2) 由(1)得:a ? 1 由(2)得:a ? 2, a ? ?3 ? 1(舍去) 1 ? a的值为2,反比例函数为y= x

测一测
5 二,四 1.函数 y = x 的图像在第_____象限,函数 5 y = 的图象在第 一、三 象限。 x 1 1 2. 双曲线 y = 3x 经过点(-3,___) 9 m-2 3.函数 y = x 的图像在二、四象限,则m的 取值范围是 ____ . m<2 1 4.对于函数 y = 2x ,这部分图像在第 一、三 ________象限.

5.下列函数中,图象位于第二、四象限 的有(3)、(4) ;在图象所在象限内,y的 值随x的增大而增大的有 (2)、(3)、(5) .
2 2x (1)y ? (2)y ? 3x 3 (5)y ? 2x ? 3 2 (3)y ? ? 3x 2x (4)y ? ? 3

想一想
S1

k y? x

?P
S2 R

?

Q

?

S3

S1、S2有什么关系?为什么?
任取一点向两坐标轴作垂线得到的 矩形面积是一个定值,为|k |.

想一想

k y? x

?P
S1 S3 S2

?

Q

S1、S2等于多少?

练习题 ⑴如图,点P是反比例函数
k y = x (k 是常数, ≠ 0) k
B
O P A

图象上的一点,若矩形

AOBP的面积是6.请写出
这个反比例函数的解析式.
⑵若△BPO的面积是5,那么 函数解析式又是什么呢


P B O A

2.如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点, 且点A的横坐标和点B的纵坐标都 是-2,求: (1)一次函数的解析式; (2)△AOB的面积.

y?

?8 x

填表 分析 正比 例函 数和 反比 例函 数的 区别

函数 解析式
图象形状

正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线
位 置

反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )

双曲线 一三 象限
y随x的增大而减小

一三 象限
y随x的增大而增大

K>0

增 减 性
位 置

二四 象限
y随x的增大而减小

二四 象限
y随x的增大而增大

K<0

增 减 性

k 1.已知k<0,则函数 y1=kx, y2= ? x 在同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y y

(A)

0

x

(B)

0

x

y

y

(C)

0

(D)
x

0

x

k 2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与y2= x

在同一坐标系中的图象大致是
y y

( C )

(A)

(B)
0

x

0

x

y

y

(C)

0

(D)
x

0

x

?已知反比例函数 图象的两个分支在第二、四象限内;当 ______时,其图象在每个象限内随的增 大而减小。
b y ? x

3m ? 2 y? x ,当____时,其

? 若ab< 0,则函数y=ax与 在同一平 面直角坐标系中的图象大致是( )

k 4.如图能表示y ? k (1 ? x )和y ? (k ? 0) x D 在同一坐标系中的大致图象的是 ____ .
y

y
O O

y

y x

x B

x

O

x

o

A

C

D

k 1.已知k<0,则函数 y1=kx, y2= ? x 在同一坐标系中的图象大致是 ( D )
y y

(A)

0

x

(B)

0

x

y

y

(C)

0

(D)
x

0

x

k 2. 已知k>0,则函数 y1=kx+k与y2= x

在同一坐标系中的图象大致是
y y

( C )

(A)

(B)
0

x

0

x

y

y

(C)

0

(D)
x

0

x

3.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y1> y2
4 y? x

的图象上,

则y1与y2的大小关系(从大到小)
.

4.已知点A(-2,y11),B(-1,y2),C(4,y3) A(-2,y ),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y3 >y1>y2
4 y? x

的图象上,

则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
.
-2

y
-1 y3

A

B

o y1 y2

C 4

x

y1 ? y 2 ? y3
y

y1
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1

y2
0
1 2 3
4

x
5 6

y3

5.

如图所示,已知直线y1=x+m与x轴、y? 分 轴 k 别交于点A、B,与双曲线y2= (k<0)分别交 x 于点C、D,且C点坐标为(-1,2).
(1)分别求直线AB与双曲线的解析式; (2)求出点D的坐标; (3)利用图象直接写出当x在什 么范围内取何值时,y1>y2.

活动五
根据下表请同学们回顾本节课所学的知识。
函数 解析式 图象形状 k>0 正比例函数 反比例函数
y? k (k为常数, k ? 0) x

y=kx ( k≠0 ) 直线
位 置 一、三象限 增 减 性

双曲线 一、三象限 每个象限内,y随x的 增大而减小 二、四象限 每个象限内,y随x 的增大而增大。

y随x的增大而增大 二、四象限 y随x的增大而减小

k<0

位 置 增 减 性

1、双曲线越来越接近两坐标轴,但永远不会与坐 标轴相交。 k y ? 与 y ? ? k (k为常数, k ? 0) 2、在同一坐标系内,反比例函数 x x 的图象

既关于x轴对称,又关于y轴对称。


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