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2014圆的切线

发布时间:2013-12-23 14:48:30  

知识要点:
1、垂径定理及推论:

(1)垂直于弦;(2)过圆心(或直径);(3) 平分弦; (4)平分弦所对的劣弧;(5)平 分弦所对的优弧.

“五”取”二”有”三”

2、求有关弦长a、半径r、弦心距d、弓形高h等 问题时,常需要作“垂直于弦的直径”为辅助线, a 2 构造直角三角形,利用勾股定理 ( ) ? d 2 ? r 2 及 h ? r ? d 计算有关线段长

2



3、相交弦定理 弦AB, CD相交于P PA?PB=PC?PD ?


P A D

4、割线定理 PBA、PCD是⊙O的两条割线
A B
O

? PB· PA=PC· PD

P
C

D

5、切割线定理
PC切⊙O于点C, PBA是⊙O的割线
P

A B
O

C C (D)
A (B)
1 2

?

D

PC2=PB· PA

6、切线长定理

? ?

PA、PC分别切⊙O P 于点A、C PA=PC ∠1=∠2

O

C (D)

垂心 交 点 性 质 位 置
三条高线 的交点

重心
三条中线 的交点

外心

内心

三边垂直 三条角平 平分线的 分线的交 交点 点

把中线分 到三角形 到三角形 成了2:1 各顶点距 三边距离 离相等 相等 两部分 在三角形内、 在三角形内、 在三角形 形外或斜边 在三角形 形外或直角 形内 形内 中点 顶点

特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法: B 直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法 c O a+b-c c

R= — 2

r = ————
2

a

等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法
A

I A b C

基本思路:
构造三角形BOD,BO为外接 圆半径,DO为内切圆半径。
C

R B

O r

D

? 如图,PA与⊙O相切于A点,弦AB⊥OP, 垂足为C,OP与⊙O相交于D点,已知 OA=2,OP=4. (1)求∠POA的度数; (2)计算弦AB的长.

? 如图,AB是⊙O的直径,C是AB延长线上一点,且 BC=OB, CE是⊙O的切线,D为切点,过点A作 AE⊥CE,垂足为E.则CD∶DE的值是 1 ? A. B.1 C.2 D.3
2

直角坐标系中直线AB交x轴,y轴于点 A(4,0)与 B(0,-3),现有一半径为1的 动圆的圆心位于原点处,以每秒1个单位的 速度向右作平移运动,则经过 ______ 秒后动圆与直线AB相切。 y

o

( 4 ,0 ) A

x

B(0,-3)
( 第 17 题 图)

? 在平面直角坐标系中,正方形ABCO的顶点 A、C分别在轴、轴上,以AB为弦的⊙M与 轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心 M的坐标为 A、(﹣4,5) B、(﹣5,4) C、(5,﹣4) D、(4,﹣5)

? 如图,在平面直角坐标系中,⊙P的圆心是 (2,a)(a>2),⊙P半径为2,函数 y=x 的图象被⊙P的弦AB的长为 2 3 ,则a的 值是

? 在平行四边形ABCD中,E为BC边上的一点, 且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC. 求证:AE⊥DE; 设以AD为直径的半圆交AB于F,连接DF交AE 于G,已知CD=5,AE=8,求的值.

? 如图,已知点E在直角△ABC的斜边AB上, 以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点 D. (1)求证:AD平分∠BAC; (2)若BE=2,BD=4,求⊙

O的半径.

如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点, 点B在⊙O上,且AB=AD=AO. (1)求证:BD是⊙O的切线. (2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交 于点F,且△BEF的面积为8, 2 cos∠BFA= ,求△ACF的面积.
3

? 如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直 径BC=2,AD⊥BC,垂足为D,连接BE交 AD于F,过A作AG∥BE交BC于G. (1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明 理由. (2)求线段AF的长.

? 如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的 两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D, 交BN于点C, (1)求证:OD∥BE; (2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长

? 如图,点A.B.C分别是⊙O上的点, ∠B=60°,AC=3,CD是⊙O的直径,P是 CD延长线上的一点,且AP=AC. (1)求证:AP是⊙O的切线; (2)求PD的长.

如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足 为点E,CF⊥AF,且CF=CE. (1)求证:CF是⊙O的切线; S?CBD 2 (2)若sin∠BAC= ,求 S 的值.
5
?ABC

? 如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在 ⊙O上,点E在⊙O外, ∠EAC=∠D=60°. (1)求∠ABC的度数; (2)求证:AE是⊙O的切线; (3)当BC=4时,求劣弧AC的长.

? 如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, AD垂直于过点C的切线,垂足为D. (1)求证:AC平分BAD; (2)若AC=2,CD=2,求⊙O的直径.

? 如图,AB是半圆O的直径,AD为弦, ∠DBC=∠A. ⑴求证:BC是半圆O的切线. ⑵若OC∥AD,OC交BD于E,BD=6, CE=4,求AD的长.
C

D
E B A

O

已知点C是以AB为直径的⊙O上一点, CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线 AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长 交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:AE?FD=AF?EC; (2)求证:FC=FB; (3)若FB=FE=2,求⊙O的半径r的长.


如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点, AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D, AD交⊙O于点E. (1) 求证:AC平分∠DAB; (2) 若∠B=60o ,CD=2,求AE的长.
D
E A

C

O

B

第20题图

? 如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC 为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点 P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
1.求证:直线CP是⊙O的切线. 2.若BC=2 ,sin∠BCP= ,求点B到AC的距离. 3.在第(2)的条件下,求△ACP的周长.

? 如图,AB是⊙O的直径,AC和BD是它的两 条切线,CO平分∠ACD. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)若AC=2,BC=3,求AB的长.

? 如图,已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A,点 P是直径AB左侧半圆上的动点,过点P作直线l的 垂线,垂足为C,PC与⊙O交于点D,连接PA、 PB,设PC的长为x(2<x<4). (1)当x= 时,求弦PA、PB的长度; (2)当x为何值时,PD?CD的值最大?最大值是多 少?

已知直线交⊙O于A、B两

点,AE是⊙O的直 径,点C为⊙O上一点,且AC平分∠PAE, 过C作 CD ? PA ,垂足为D. (1) 求证:CD为⊙O的切线; (2) 若DC+DA=6,⊙O的直径为10,求AB的 长度.

? 如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC 于点E,AE=2,ED=4, (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长; (3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA,试判 断直线FA与⊙O的位置关系,并说明理由.
F B O A E C

D

? 如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O,交 ⊙O于点C,∠DAB=∠B=30°. (1)直线BD是否与⊙O相切?为什么? (2)连接CD,若CD=5,求AB的长.
D

A

O

C

B

? D为⊙ O上一点,点C在直径BA的延长线上, 且∠CDA=∠CBD. (1)求证:CD是⊙O的切线; (2)过点B作⊙ O的切线交CD的延长线于点E, 2 若BC=6,tan∠CDA= 3 ,求BE的长

? 如图,在△ABC中,∠C= 90°,以AB上 一点O为圆心,OA长为半径的圆与BC相切 于点D,分别交AC、AB于点E、F.
(1)若AC=6,AB= 10,求⊙O的半径; (2)连接OE、ED、DF、EF.若四边形BDEF是 平行四边形,试判断四边形OFDE的形状,并说 明理由. C
E D

A

O

F

B

? 已知:如图,在△ABC中,BC=AC,以BC 为直径的⊙O与边AB相交于点D,DE⊥AC, 垂足为点E. ⑴求证:点D是AB的中点; ⑵判断DE与⊙O的位置关系,证明你的结论; 1 ⑶⊙O的直径为18,cosB = 3 ,求DE的长.

? 如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC, 1 OE⊥BC, OE= 2 BC.

(1)求∠BAC的度数. (2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿 AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H.求 证:四边形AFHG是正方形. (3)若BD=6,CD=4,求AD的长.
A O F B ED H

G

C

如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E, 点P在⊙O上,∠1=∠C. (1)求证:CB∥PD; (2)若BC=3,sinP= 0.6 ,求⊙O的直径.

? 等腰三角形ABC中,AC=BC=10,AB=12。 以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G, DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E。 (1)求证:直线EF是⊙O的切线; A (2)求sin∠E的值。
F D G C

E

B

O

? 如图,⊙O经过点B、D、E,BD是⊙O的 直径,∠C=90°,BE平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙O的切线; (2)当AE=4,AD=2时,求⊙O的半径及BC 的长.

? 在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°, O是AB的中点,⊙O与AC、BC分别相切于 点D、E,点F是⊙O与AB的一个交点, 连接DF并延长交CB的延长线于点G,则BG 的长是_ ▲ .

? 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直 径的⊙O交BC于点D,过点D作EF⊥AC于 点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线; (2)当∠BAC=60o 时,DE与DF有何数量关系?请 说明理由; (3)当AB=5,BC=6时,求tan∠BAC的值.

? 如图,已知CD是⊙O的直径,AC⊥CD, 垂足为C,弦DE∥OA,直线AE、CD相交 于点B. (1)求证:直线AB是⊙O的切线. (2)当AC=1,BE=2

,求tan∠OAC的值.

? 如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的切线,切 点为C.延长AB交CD于点E.连接AC,作 ∠DAC=∠ACD,作AF⊥ED于点F,交⊙O于 点G. 求证:AD是⊙O的切线; 如果⊙O的半径是6cm,EC=8cm,求GF的长.

? 如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交 BC于点E,AE=2,ED=4, (1)求证:△ABE∽△ADB; (2)求AB的长; (3)延长DB到F,使得BF=BO,连接FA, 试判断直线FA与⊙O的位置关系,并说明 理由.

? 如图,AB 是⊙O 的直径,弦DE垂直平分半径 OA,C为垂足,DE=3,连结DB,过点E作 EM∥BD ,交BA的延长线于点M.。

(1)求⊙O的半径; (2)求证:EM是⊙O 的切线; (3)若弦DF与直径AB 相交于点P,当∠DPA=450时, 求图中阴影部分的面积。

? 已知:△ABC是边长为4的等边三角形,点 O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB, BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F. (1)求证:直线EF是⊙O的切线; (2)当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.


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