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分式 考点 难点 典型例题

发布时间:2013-12-24 12:41:05  

分 式

一、考点、热点回顾

知识点一:分式的定义

一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子

B为分母。

知识点二:与分式有关的条件

①分式有意义:分母不为0(B?0)

②分式无意义:分母为0(B?0) A叫做分式,A为分子,B

?A?0③分式值为0:分子为0且分母不为0(?) B?0?

④分式值为正或大于0:分子分母同号(??A?0?A?0或?)

?B?0?B?0

?A?0?A?0或?) B?0B?0??⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(?

⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B)

⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)

知识点三:分式的基本性质

分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。 字母表示:AA?CAA?C,?,其中A、B、C是整式,C?0。 ?BB?CBB?C

拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即

A?A?AA ?????B?BB?B

注意:在应用分式的基本性质时,要注意C?0这个限制条件和隐含条件B?0。 知识点四:分式的约分

定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。 步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。

注意:①分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分。 知识点四:最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。

知识点五:分式的通分

① 分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义:取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最

简公分母。

确定最简公分母的一般步骤:

Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数;

Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式; Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。

注意:分式的分母为多项式时,一般应先因式分解。

知识点六:分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则:

分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。式子表示为: aca?c ??bdb?d

分式除以分式:把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。式子表示为

acada?d ????bdbcb?c

② 分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子

an?a????n b?b?

③ 分式的加减法则:

同分母分式加减法:分母不变,把分子相加减。式子表示为 n

aba?b ??ccc

异分母分式加减法:先通分,化为同分母的分式,然后再加减。式子表示为

acad?bc ??bdbd

整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。

注意:在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便

跳步,以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。

知识点七:整指数幂和科学记数法

① 引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法

则对对负整数指数幂一样适用。即

★a?a?a

nnmnm?n ★a??mn?amn mnm?n★?ab??ab ★a?a?a (a?0) n

nan1?a??n★???n ★a?n (a?0) ba?b?

★a?1 (a?0) (任何不等于零的数的零次幂都等于1)

其中m,n均为整数,即可以是正数、负数、0。

科学记数法

n若一个数x是0<x<1的数,则可以表示为a?10(1?a?10,即a的整数部分只有一位,0

n为整数)的形式,n的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如1.25?10

7个0

n若一个数x是x>10的数则可以表示为a?10(1?a?10,即a的整数部分只有一位,n-7

为整数)的形式,n的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如1.2?10 8

二、典型例题

考点一、分式定义及有关题型

题型一:考查分式的定义

1

x1a?bx2?y2x?y【例1】下列代数式中:,x?y,,是分式的有: ,,?2a?bx?yx?y .

题型二:考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时,下列分式有意义

(1)1x?43x26?x (2)2 (3)2 (4) (5) 1|x|?3x?4x?2x?1x?x

题型三:考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时,下列分式的值为0.

x?1(1) x?3(2)|x|?2

x?42 (3)x2?2x?3x?5x?62

题型四:考查分式的值为正、负的条件

【例4】(1)当x为何值时,分式

(2)当x为何值时,分式

(3)当x为何值时,分式

考点二、分式的基本性质及有关题型

1.分式的基本性质:4为正; 8?x5?x3?(x?1)2为负; x?2为非负数. x?3AA?CAA?C,?,其中A、B、C是整式,C?0。 ?BB?CBB?C

2.分式的变号法则:A?A?AA ?????B?BB?B

题型一:化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.

12x?y3 (1)2

11x?y34 (2)0.2a?0.03b 0.04a?b

题型二:分数的系数变号

【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

?x?y?a?a(1) (2)? (3)? ?x?ya?b?b

题型三:化简求值题

【例3】已知:

【例4】已知:x?

【例5】若|x?y?1|?(2x?3)2?0,求

考点三、分式的运算

确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; ②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一:通分

【例1】将下列各式分别通分.

(1)

cbaab; (2); ,,2,a?b2b?2a?2ab3ac?5b2c1的值. 4x?2y112x?3xy?2y的值. ??5,求xyx?2xy?y11?2,求x2?2的值. xx

(3)

题型二:约分

【例2】约分:

(1)?16x2y

20xy31x2?x1?2x?x2x2?x?2,x,2; (4)a?2,1 2?an2?m2x2?x?2; (2); (3)2. m?nx?x?6

题型三:分式的混合运算

【例3】计算:

a2b3c22bc4(1)()?()?(); ?c?aba 3a33y?x2(2)()?(x2?y2)?(); x?yy?x

m?2nn2m(3); ??n?mm?nn?m a2

(4)?a?1; a?1

112x4x38x7

(5); ????1?x1?x1?x21?x41?x8

(6)

1x2?2x(7)(2?)?() x?2x?1x?4x?4x2?4111; ??(x?1)(x?1)(x?1)(x?3)(x?3)(x?5)

题型四:化简求值题

【例4】先化简后求值

x2?4118(1)已知:x??1,求分子1?x2?4[(4x?1)?(2?x)]的值;

(2)已知:a2?3a?1?0,试求(a2?11

a2)(a?a)的值.

题型五:求待定字母的值

【例5】若1?3xMN

x2?1?x?1?x?1,试求M,N的值.

考点四、整数指数幂与科学记数法

题型一:运用整数指数幂计算

【例1】计算:(1)(a?2)?3?(bc?1)3 (2(3x3y2z?1)?2?(5xy?2z3)2

(3)[(a?b)?3(a?b)5

(a?b)?2(a?b)4]2 (4

[(x?y)3?(x?y)?2]2?(x?y)?6

题型二:化简求值题

【例2】已知x?x?1?5,求(1)x2?x?2的值;(2)求x4?x?4的值.

))

题型三:科学记数法的计算

【例3】计算:(1)(3?10?3)?(8.2?10?2)2;(2)(4?10?3)2?(2?10?2)3.

三、 课堂练习

1.当x取何值时,下列分式有意义:

(1)1 6|x|?3 (2)3?x

(x?1)2?1 (3)1

11?x

2.当x为何值时,下列分式的值为零:

5?|x?1|(1) x?4

(2)25?x2x2?6x?5

3.解下列不等式

|x|?2(1)?0 x?1(2)x?5

x?2x?32?0

4.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

(1)0.03x?0.2y 0.08x?0.5y3b (2) 11a?b4100.4a?

x215.已知:x??3,求4的值. 2xx?x?1

6.已知:

7.若a2?2a?b2?6b?10?0,求

8.如果1?x?2,试化简x?1|x||x?2|. ??|x?1|x2?x112a?3ab?2b的值. ??3,求abb?ab?a2a?b的值. 3a?5b

9.计算

2a?5a?12a?3(1); ??2(a?1)2(a?1)2(a?1)a2b2?2ab(2); ?a?bb?a

a?b?ca?2b?3cb?2c(3); ??a?b?cb?c?ac?a?b2b2(4)a?b?; a?b

(5)(a?b?

(7)

10.先化简后求值

a?1a2?41(1),其中a满足a2?a?0. ?2?2a?2a?2a?1a?14ab4ab)(a?b?); a?ba?b (6)112; ??1?x1?x1?x2121. ??(x?2)(x?3)(x?1)(x?3)(x?1)(x?2)

x2?y2x?y3x)?[(x?y)?()]?2的值. (2)已知x:y?2:3,求(xyxy

11.已知:

5x?4AB,试求A、B的值. ??(x?1)(2x?1)x?12x?1

1111 12. 计算:(1)(?)?()?2?|?|?(1?3)0?(?0.25)2007?42008 3553

(2)(3?1m3n?2)?2?(m?2n)?3

(3)

(4)[4(x?y)2(x?y)?2]2

[2(x?y)(x?y)]?1?2(2ab2)?2?(a2b)2(3a3b2)?(ab3)?2

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