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三角形复习课件

发布时间:2013-12-24 12:41:06  

1. 三角形的三边关系:
(1) 三角形两边的和大于第三边 (2) 三角形两边的差小于第三边

2. 判断三条已知线段a、b、c能否 组成三角形.
当a最长,且有b+c>a时,就可构成三角形.

3. 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.

知识应用
1、已知两条线段的长分别是3cm、8cm , 要想拼成一个三角形,且第三条线段a的

长为奇数,问第三条线段应取多少长?
解: 由三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边得:

8-3<a<8+3,
又∵第三边长为奇数,

∴ 5 <a<11

∴ 第三条边长为 7cm、9cm。

2、有三两边相等的三角形一边的长是5 cm,另一边的长是8cm,求它的周长
解:当腰长为5cm时,它的周长为: 5+5+8=18(cm)

当腰长为8cm时,它的周长为:
8+8+5=21(cm) ∴这个三角形的周长为18cm或21cm

4. 三角形的三条高线(或高线所在直线) 交于一点
锐角三角形三条高线交于三角形内部一点, 直角三角形三条高线交于直角顶点, 钝角三角形三条高线所在直线交于三角形 外部一点。

5.三角形的三条中线交于三角形内部一点。

6. 三角形的三条角平分线交于三角形 内部一点。

7. 三角形的分类
(1) 按角分 斜三角形 三角形 直角三角形 (2) 按边分

锐角三角形
钝角三角形

不等边三角形
三角形 等腰三角形
腰和底不等的等腰三角形

等边三角形

8. 三角形的主要线段 三角形的高线定义:

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间 _______________的线段叫做三角形的高线.

三角形角平分线的定义:
三角形一个角的平分线与它的对边相交,这 个角的 顶点与交点 之间的线段叫做三角形的 角平分线。

三角形的中线定义
连结三角形一个 顶点与它对边中点 的线段 叫做三角形的中线。

9. 三角形木架的形状不会改变,而四边形木 架的形状会改变.这就是说,三角形具有稳定 性,而四边形没有稳定性。 10. 三角形内角和定理 三角形的内角和等于1800 直角三角形的两个锐角互余。

11. 三角形外角和定理 三角形的外角和等于3600

12. 三角形的外角与内角的关系

三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角。

一、全等三角形的概念及其性质 全等三角形的定义: 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 , 重合的点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边, 重合的角叫做对应角。

注意:“全等”的记法“≌”,全等变换:平移、旋转、翻

全等三角形性质: (1) 对应边相等 (2)对应角相等 (3)周长相等 (4)面积相等

例1、已知如图(1),⊿ABC ≌⊿DCB , 对应边:____与____,____与____,____与____, 对应角:____与____,____

与____,____与____.

1.请指出图中全等三角形的对应边和对应角
AB与CD、AD与CB、BD与DB ∠ABD与∠CDB、 ∠ADB与∠CBD、∠A与∠C

2、图中△ ABD ≌ △CDB, 则AB= CD;AD= CB ;BD= BD ; ∠CBD ∠CDB ; ∠ADB=______ ; ∠ABD=__ ∠A=__ ; ∠C

在找全等三角形的对应元素时一般有什 么规律? 有公共边的,公共边是对应边.

有公共角的,公共角是对应角.
有对顶角的,对顶角是对应角.

一对最长的边是对应边,
一对最短的边是对应边.

一对最大的角是对应角,
一对最小的角是对应角.

3、如图△ABD≌ △EBC, AB=3cm,BC=5cm,求DE的长
解: ∵△ABD≌ △EBC ∴AB=EB、BD=BC ∵BD=DE+EB ∴DE=BD-EB =BC-AB =5-3=2cm

知识回顾:

包括直角三角形

一般三角形 全等的条件:
解题 中常 用的 4种 方法

1.定义(重合)法; 2.SSS; 3.SAS; 不包括其它形 状的三角形 4.ASA; 5.AAS. 直角三角形 全等特有的条件: HL.

练习1:如图,AB=AD,CB=CD.

求证: AC 平分∠BAD
A

证明:在△ABC和△ADC中 AC=AC AB=AD CB=CD

∴ △ABC≌△ADC (SSS)
B C D

∴ ∠BAC= ∠DAC ∴ AC平分∠BAD

2、如图,D在AB上,E在AC上, AB=AC ,∠B=∠C, 试问AD=AE吗? 为什么?
A

解: AD=AE
理由: 在△ACD和△ABE中
∠B=∠C AB=AC ∠A=∠A C ∴ △ACD≌△ABE (ASA) ∴ AD=AE

D

E

B

3、如图,OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC
AO平分∠BAC吗?为什么? 答: AO平分∠BAC
理由:∵ OB⊥AB,OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 A O B

OB=OC
AO=AO ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL) C

∴ ∠BAO=∠CAO
∴ AO平分∠BAC

4、如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证:DC∥AB
D
O A B

C

证明:在△ABO和△CDO中
OA=OC ∠AOB= ∠COD OB=OD ∴ △ABO≌△CDO (SAS)

∴ ∠A= ∠C
∴ DC∥AB

练习5: 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为 两块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去, 就能配一块与原来一样的三角形模具呢?如果可以, 带那块去合适?为什么?

A B

6、如图,已知AC∥EF,DE∥BA,若使△ABC≌△EDF,还需要补
充的条件可以是
或 DC=BF

AB=ED

或 AC=EF

或 BC=DF

D C

A

E

F B

7:已知 AC=DB, ∠1=∠2.

求证: ∠A=∠D
A D

证明:在△ABC和△DCB中
AC=DB B

1

2

∠1=∠2 C BC=CB ∴ △ABC≌△DCB (SAS) ∴ ∠A=∠D

8、如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。

请问图中有那几对全等三角形?请任选一对 给予证明。
E F C B

答:
D

△ABF≌△DEC △ABC≌△DEF △CBF≌△FEC

A

9、如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

10、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一 条直

线上求证:BE=AD E 证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A

在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA

变式:以上条件不变,将
△ABC绕点C旋转一定角度 (大于零度而小于六十度), 以上的结论还成立吗?

DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

例题精析:

连接例题

分析:由于两个三角形完全重合,故面积、周长 相等。至于D,因为AD和BC是对应边,因此AD =BC。C符合题意。 说明:本题的解题关键是要知道中两个全等三角形 中,对应顶点定在对应的位置上,易错点是容易找 错对应角 。

例2 如图2,AE=CF,AD∥BC, AD=CB, 求证:⊿ADF≌⊿CBE

例3已知:如图3, △ABC≌△A1B1C1,AD、 A1D1分别是△ABC和 △A1B1C1的高. 求证:AD=A1D1
图3

分析:已知△ABC≌△ A1B1C1 ,相当于已 知它们的对应边相等.在证明过程中,可根据需 要,选取其中一部分相等关系.

例4:求证:有一条直角边和斜边上的高 对应相等的两个直角三角形全等。
分析:首先要分清题设和结论,然后按要求画出图形, 根据题意写出已知求证后,再写出证明过程。 说明:文字证明题的 书写格式要标准。

例5、如图6,已知:∠A=90°, AB=BD,ED⊥BC于 D. 求证:AE=ED

图6

提示:找两个全等三角形,需连结BE.

例6、如图:AB=AC,BD=CD,若∠B=28° 则∠C= ;

如图:将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点F处, 已知∠1+∠2=100°,则∠A= 度;

练习题:
1.如图1:△ABF≌ △CDE, ∠B=30°, ∠BAE= ∠DCF=20 °. 求∠EFC的度数. (800) 2 、如图2,已知:AD平分∠BAC, AB=AC,连接BD,CD,并延长相 交AC、AB于F、E点.则图形中有 ( C )对全等三角形. A、2 B、3 C4 D、5

图1

图2

3、如图3,已知:△ABC中,DF=FE,BD=CE, AF⊥BC于F,则此图中全等三角形共有( B ) A、5对 B、4对 C、3对 D2对

4、如图4,已知:在△ABC中,AD是BC边上的高, AD=BD,DE=DC,延长BE交AC于F, 求证:BF是△ABC中边上的高. 提示:关键证明△ADC≌△BFC

5、如图5,已知:AB=CD, AD=CB,O为AC任一点,过O作直线 分别交AB、CD的延长线于F、E,求 证:∠E=∠F.

提示:由条件易证△ABC≌△CDA 从而得知 ∠BAC=∠DCA ,即:AB∥CD.

知识梳理:
1:什么是全等三角形?一个三角形经过 哪些变化可以得到它的全等形? 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到 它的全等形。 2:全等三角形有哪些性质?
(1):全等三角形的对应边相等、对应角相等。

(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(3):全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、 高线分别相等。 3:

三角形全等的判定方法有哪些? SSS、SAS、ASA、AAS、HL(RT△)

总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应 角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上; (3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”


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