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13.5.3角平分线的性质及判定

发布时间:2013-12-24 12:41:08  

初2015级(十)班
2013.11.22

知识回顾 1、角平分线的概念:

把一个角分成两个相等的角的射线, 叫做这个角的平分线。

A C

o

1 2

B

知识回顾 2、点到直线距离:

从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度, 叫做点到直线的距离。
P
垂线段长度

A

O

B

探索新知 活 动 一

观察两次折叠后形成的三条折痕, 你能得出什么结论?
猜想:角的平分线上的点到角 的两边的距离相等.

折纸活动

活 动 二 已知:如图,OC平分∠AOB,CD⊥OA于点 D,CE⊥OB于点E 求证: CD = CE 证明: ∵OC平分∠ AOB (已
知) ∴ ∠DOC = ∠ EOC(角平分线的定义) A ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) ∴ ∠CDO = ∠CEO=90°(垂直的定义) D 在△CDO和△CEO中 C ∠CDO = ∠CEO(已证) ∠DOC = ∠EOC(已证) O B E OC = OC (公共边) ∴ △CDO ≌ △CEO(AAS) ∴CD=CE(全等三角形的对应边相等)

获取新知

角平分线性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等。

用符号语言表示为:
∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA ,PE ⊥OB ∴PD=PE

推理的理由有三个 ,必须写完全,不 能少了任何一个。

A D
P

(角的平分线上的点到角的两边的距 O 离相等)

1 2 E

判断1:

∵ 如图,AD平分∠BAC(已知) ∴ BD = CD ,( 角平分线上的点到角两边 )
的距离相等。

×
A

B

D C

判断2:

∵ 如图, DC⊥AC,DB⊥AB (已知) ∴ BD = CD ,( 角平分线上的点到角两边 )
的距离相等。
B C A

×

D

判断3:

∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC,DB⊥AB (已知)


DB = DC ( 角平分线上的点到角两边的 )
距离相等
B



A D

C

A D

如图,

C

P B

O

∵ OC是∠AOB的平分线,

E

PD⊥OA,PE⊥OB 又 ________________

∴PD=PE ( 角平分线上的角的两边的距离相等 )

例题示范
例1: 已知:如图,E是∠AOB的平分线上一点, EC⊥OA于C点,ED⊥OB于D点, 求证:∠ECD =∠EDC 证明: ∵E是∠AOB的平分线上一点 EC⊥OA,ED⊥OB D ∴DE=CE(角平分线上的点到角两边距离相等) ∴∠ECD=∠EDC (等边对等角)
O
B

E

C

A

例题示范
例2: 已知:如图,在Rt△ABC中∠A=90°,∠ABC 的平分线BD交AC于点D,AD=3, BC=10, 求:△BCD的面积 解:过点D作DE⊥BC于点E ∵BD平分∠ABC DA⊥AB ,DE⊥BC B (角平分线上的点 ∴DA=DE= 3 ∴S△BCD= = ×10×3 = 15
A D

到角两边的距离相等) 1 2 BC · DE 1 2

E

C

角平分线上的点到角两边的距离相等。 那么反过来呢?
到角两边的距离相等的点,是否一定在这个角的平分线呢?

已知:如图,PC⊥OA,PD⊥OB,点C、D为垂足, PC=PD. 求证:点P在∠AOB的平分线上. A
证明:过点P作射线OP
∵PC⊥OA,PD⊥OB ∴∠PCO=∠PDO=90° 在Rt△PCO和Rt△PDO中 OP=OP(公共边)

C
P O D

PC=PD(已知)
∴Rt△PCO≌Rt△PDO(HL) ∴∠COP=∠DOP(

全等三角形对应角相等) 即OP是∠AOB的平分线

B

获取新知

角平分线判定定理: 角的内部,到角两边距离相等的点在角的平 分线上。 推理的理由有三个

符号语言: ∵QD⊥OA,QE⊥OB, 且QD=QE ∴OQ是∠AOB的平分线

,必须写完全,不 能少了任何一个。

例题示范
例3: 已知:如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E, BD与CE相交于F,BF=CF 求证:点F在∠BAC的平分线上 C 证明: ∵BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠FDC=∠FEB=90°(垂直的定 D 在△FDC和△FEB中 义) F ∠FDC=∠FEB(已证) ∠CFD=∠BFE(对顶角相等) A BF=CF(已知) B E ∴△FDC≌△FEB(AAS) ∴FD=FE(全等三角形对应边相等) 又∵BD⊥AC,CE⊥AB ∴点F在∠BAC的平分线上(到角两边距离相等 的点在角平分线上)

例题变形
变式训练: 已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点, DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F, A 且 BE=CF。 求证:AD是△ABC的角平分线。 证明: ∵DE⊥AB,DF⊥AC ∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义) ED = FD

在Rt△DEB和Rt△DFC中 BD=CD E F BE=CF △BDE≌△CDF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) C B D ∴DE=DF(全等三角形,对应边相等) ∴D点在∠BAC的平分线上(到角两边距离相等的点在角平分线上) ∴AD是△ABC的角平分线

角平分线性质定理: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A . 数学语言表示:

∵ CD⊥OA,CE⊥OB,OC平分∠AOB ∴ CD=CE 角平分线判定定理:
数学语言表示:
O

D C E B

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE. ∴ OC平分∠AOB.

常用方法:
得到

角平分线
得到

到角两边距离相等

例题示范 之扩展提高
例4: 已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证:点P也在∠A的平分线上。 证明: 过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F
∵点P在∠ABC的角平分线上 PD⊥AB,PE⊥BC ∴PD=PE(角平分线上的点 到角两边距离相等) 同理可得:PE=PF

A

D

N P
E

F

M
C

∴PD=PF

B ∴点P在∠A的角平分线上

又∵PD⊥AB,PF⊥AC

例题示范 之扩展提高
变式训练: 已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE相交 于点F。 求证:点F在∠DAE的平分线上。 证明: 作FM⊥CE于M,FN⊥BD于N,FQ⊥BC于Q
E M ∵CF平分∠BCE C FM⊥CE,FQ⊥BC ∴FM=FQ(角平分线上的点到 F Q 角两边距离相等) A 同理可得:FQ=FN B N D ∴FM=FN ∴点F在∠DAE的平分线上(到角两边距离相等 的点在角平分线上)


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