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二次函数集备

发布时间:2013-12-24 12:41:11  

第二章 二次函数
九年级数学备课组

本章主要内容
? 二次函数的基本概念 ?二次函数与一元二次方程、一 元二次不等式 ?二次函数的应用

Δ >0
对称轴在y 轴的位置 左同右异

Δ =0 Δ <0

与y轴交点位置 c>0.在正半轴 c=0.在原点 c<0.在负半轴
1.开口方向 2.顶点坐标 3.对称轴 4.增减性 5.极值

有一交点 b (x1,0)( x2,0 ) ( ? 2a ,0) 无交点
有两交点

解方程与求交点
建坐标系 确定函数关系 求最值

y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?

?a ? 0?

图象特征 图象 定义

y ? a?x ? h ? ? k
2

性质

二次函数与 一元二次方 程(难点)

(a ? 0)
y=ax2+bx+c (a≠0)

基本概念 (重难点)

应 用

利润问题 面积问题 拱桥问题




函 数
数形结合思想 方程思想 函数思想 转化思想 待定系数法 配方法

分类讨论思想

课标要求
1.经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系 的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间 的数量关系. 2.用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关 系,并能根据集体问题,选取适当的方法表示之间的 二次函数关系. 3.会作二次函数的图象,并能根据图象对二次函数的 性质进行分析,逐步积累研究函数性质的经验. 4.能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、 对称轴和顶点坐标. 5.理解一元二次方程与二次函数的关系,并能利用图 象法求一元二次方程的近似根,提高学生的估算能力

教学重、难点
1.重点:
? ? ? ? ? 了解二次函数的含义 理解二次函数的图象及其性质, 抛物线图象的平移问题. 体会一元二次方程与二次函数的关系 能用二次函数解决实际问题

2.难点:

? 二次函数图象特征及其性质. ? 对二次函数与一元二次方程的关系理解与应用. ? 应用二次函数解决实际问题.能解决与其他函数结合的问 题

考试链接
1. 二次函数的定义 2. 二次函数三种解析式。 3、二次函数的图象及性质

4、二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象特征 与a、b、 c 、Δ的关系 5、二次函数图象的平移 6、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 7、二次函数与实际问题

主要知识点归纳及
典型例题

一、二次函数的定义: +bx+c(abc是常数,且a≠0) 一般地如果Y=ax2 那么Y叫做x的二次函数.
重点题型 1.m为何值时,y 次函数?

? (m ? 1) x

m 2 ?3 m ? 2

是二

二、二次函数三种解析式:
一般式 顶点式 类 型y=ax2 +k(a≠0) +bx+c(a≠0) y=a(x-h)2 对 x ? ? 2ba x ? h 配方 称 轴 顶 b 4ac ? b 2 点 (? , (h, k ) ) 2a 4a 坐 标 b 最 x?? 当 时, 当 x ? h 时, 2a 大 4ac ? b 2 小 最值 y ? 最值y=k 4a 值 交点式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

x1 ? x2 x? 2
化成

一般式求

韦达 因式分解

x1 ? x2 代入 x ? 2
化成一般式求

x1 ? x2 代入 x ? 2

( )

重点题型 用待定系数法确定二次函数解析式
1. 已知一抛物线与x轴的交点是 A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8). (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标. y 2.在体育测试时,初三的一名高个子男生 6 B(6,5) 推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次 4 函数图像的一部分(如图),若这个男生 出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线 2 A(0,2) C 的最高处B点的坐标为B(6,5). 0 2 4 6 8 10 12 14 (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到 0.01米).

x

三、二次函数的图象及性质
a的符号 图象
开口方向 对称轴

a>0

a<0

x
开口向上
b 2a 4ac ? b 2 b (? , ) 4a 2a x??

开口向下
b 2a 4ac ? b 2 b (? , ) 4a 2a x??

性 顶点坐标 质
增减性

当 随x的增大而减小; b x ? ? 时,y随x的 当 2a 增大而增大. 当 时, 4ac ? b 2 y有最小值为
4a
x?? b 2a

b x?? 2a 时,y

时,y 随x的增大而增大; b x ? ? 时,y随x的 当 2a 增大而减小. 时, 4ac ? b 2 y最大值为
4a

当x??

b 2a

最值

当x??

b 2a

重点题型

二次函数的性质

1.二次函数y=2(x-3)2 +7的图象顶点坐标是——, 对称轴是——— 2.已知二次函数y=x2-6x+m的最小值是1, 那么m的值 是 . 3.请你写出一个二次函数y=ax2+bx+c,使它同时 具有如下性质:①图象关于直线x=1对称;②当x=2

时,y>0;③当x=-2时,y<0。答:____________
4.已知抛物线y=4x2-11x-3 (1)求它的对称轴; (2)求它与x轴、y轴的交点坐标。

四、二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象特征
与a、b、c 、Δ的关系 项目 字母的符号 图象的位置(特征) a>0 开口向上 a a<0 开口向下 对称轴是y轴 b=0 b ab>0 对称轴在y轴左侧 ab<0 对称轴在y轴右侧 c=0 经过原点 c c>0 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 c<0 Δ=0 与x轴有唯一交点(顶点) Δ 与x轴有两个交点 Δ>0 Δ<0 与x轴没有交点

重点题型 二次函数的图象信息题 1.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致 B) 图象是(
y y y y

0

x B
D y

0

x

0

x

0

x

A

2. 的大致图象是(
y x

函数y=ax2+a与y=



a x
x

C

D

(a≠0)在同一坐标系中
y x y 0 0 x

0

0

A

B

C

D

五、二次函数图象的平移:
抛物线 y=ax2 y=ax2 +k 对称轴 y轴 y轴 顶点 坐标 (0,0) (0,k) 结论
抛物线y=a(x-h)2+k与 y=ax2 的形状相同,位置 不同,经过平移后可以 互相重合。

平移 规律 左 加 右 减 , 上 加 下 减

y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k

抛物线y=ax2向左 直线X=h (h,0) (h<0)、向右(h>0) 平移|h|个单位, 向上 (k>0)、向下(k<0) 直线X=h (h,k) 平移|k|个单位后,可以得 到抛物线y=a(x-h)2+k 。

a 越大

,开口越小.

a 越小,开口越大.

重点题型 平移( 轴对称)变换与二次函数 1.把抛物线

y ? 2x 向上平移5个单位,
2

所得抛物线的解析式为( ) 2 y ? 2x 2 ? 5 A. y ? 2 x ? 5 B. C.

y ? 2( x ? 5)

2

D. y ? 2( x ? 5)

2

y ? x2 ? 2x ? 2 2.已知抛物线 ,若点P(-2,5)

与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐 标 是 .

六、二次函数与一元二次方程的关系:


与y轴交点的求法:令x=0,得y=c 即(0,c)
与y轴始终有一个交点(0,c)
y C

?与x轴交点求法:
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴
有交点时,交点的横坐标就是当y=0时 自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.

x1 o

x2 x

b 2 ? 4ac ? 0
一元二次方程

b 2 ? 4ac ? 0
有两个相等 实根 x0

b 2 ? 4ac ? 0
没有实根
图象与x轴没有交点

ax ? bx ? c ? 0
2

有两个不等 实根 x1 ,x2

二次函数

图象与x轴有两个交点 图象与x轴有一个交点

y ? ax ? bx ? c
2

?x1 ,0? ?x2 ,0?
y

?x0 ,0?
y

y

二 次 函 数 的 图 象

a?0
O x1
x2

x

O
x0

x0

x x

O

x

y

y
O

y
O

x

a?0
x1

O

x2

x

七、二次函数与一元二次不等式
从数的角度看:
求ax2+bx+c > 0(a≠0)的解集 x为何值时,y=ax2+bx+c (a≠0)的值大于0?

从形的角度看:
求ax2+bx+c > 0(a≠0)的解集

确定抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)在x轴上方的图象 所对应x的取值 范围

重点题型

. 抛物线y=-x2+bx+c部分图象如图所示,若y>0,
则x的取值范围是( )

(A)-4 <x <1
(B) -3 <x <1 -3

(C)x<-4 或x>1
(D) x<-3 或x>1

. 作函数y=x2-4x+3的图象,根据图象回答
① 不等式x2-4x+3>0的解集.

② x取何值时,函数y=x2-4x+3的值大于0.
③ x取何值时,函数y=x2-4x的值大于-3.

八、 二次函数与实际问题 (一)、利润问题
(2013年中考)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20 元,试营销阶段发现:当销售单价是25元时,每天的销售量 为250件,销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件 (1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润(元)与 销售单价(元)之间的函数关系式; (2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大; (3)商场的营销部结合上述情况,提出了A、B两种营销方 案 方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元; 方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为 25元 请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由

(二)、面积问题
? 已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出 一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分 别在边AB、AC上. ? 问矩形DEFG的最大面积是多少?
A D G

B

E

F

C

(三)、拱桥问题
? 有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状, MN=4dm,抛物线顶点到M

N的距离是4dm.要 在铁皮上截下一矩形ABCD,使矩形顶点B、 C落在MN上,A、D落在抛物线上,试问这样 截下的矩形铁皮周长能否等于8dm?

(四)、 二次函数综合题
24、(2013年中考)已知,如图,□ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°, 点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方 向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作 MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题: (1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形? (2)设四边形ANPM的面积为(cm2 ),求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是□ABCD面积的一半,若存 在,求出相应的t值,若不存在,说明理由 (4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分? 若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
M A O Q B N C P D

小结:
“二次函数”这一章是初中阶段所学的有关函 数知识的重点内容之一,也是中考考察的重点,在 中考中占的分值大约22分。在教学中,我们尽量通 过丰富有趣的教学情境,通过学生感兴趣的问题, 让学生感受二次函数的意义,感受数学的广泛联系 和应用价值。再者,通过大量的探究活动,应用分 组联动,互助高效的教学模式,加强学生之间的合 作交流提高课堂学习效率。

谢谢大家


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