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6.4二次函数的应用2---面积最值问题

发布时间:2013-12-24 16:40:15  

6.4二次函数的应用(2) ----面积最大问题

问题探究一:如图:在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设宽AB为x米,面积为S平 方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (1) 解: ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ BC为(24-4x)米

A B

D C

∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)
4ac ? b 2 b (2)当x= ? ? 3 时,S最大值= 4a =36(平方米) 2a

问题探究一:如图:在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,
围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设宽AB为x米,面积为S 平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。 (1) 解: ∵ AB为x米、篱笆长为24米 A ∴ BC为(24-4x)米 D ∴ S=x(24-4x)
b (2)当x= ? ? 3 2a

=-4x2+24 x (0<x<6) B 2
4ac ? b 时,S最大值=4a

C

=36(平方米)

(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24-4x ≤8即4≤x<6 ∴当x=4米时,S最大值=32 平方米

问题探究二:室内通风和采光主要取决于门窗的个数
和每个门窗的透光面积,如果计划用一段长12m的铝合金 型材,制作一个上部是半圆,下部是矩形的窗框,那么当 矩形的长宽分、别是多少时,才能使该窗户的透光面积最 大?(精确到0.1m)

窗户的透光面积= 半圆的面积+ 矩形的面积 x 解:设半圆形窗框的半径为___m, 2x 则矩形窗框的宽为___m, (6-2x-0.5πx) 矩形窗框的高为____________m. 2x

窗户的透光面积= 半圆的面积+ 矩形的面积 解: 设矩形窗框的宽为___m, x 则半圆形窗框的半径为_____m, 2x (6-2x-0.5πx) 矩形窗框的高为____________m. 设窗户的透光面积为Sm2,则
1 2 S= πx +2x(6-2x-0.5πx) 2 1 =-( 2 π+4)x2+12x

2x

12 12 ? 当 x?? ≈1.1时,s的值最大. 1 π? 8 ?2( π? 4) 2
即当矩形窗框宽约2.2m,高约2.1m时,……

反馈练习:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半
圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的 长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果 精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 解 : ?1?. 4 y ? 7 x ? ?x ? 15. 得, y ? 15 ? 7 x ? ?x . 由
? 15 ? 7 x ? ?x ? ?x x x ?2?.窗户面积S ? 2 xy ? ? 2 x? ?? 2 4 ? ? 2 2 7 2 15 7 ? 15 ? 225 ?? x ? x y ? ? ?x? ? ? . 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ? b 2 225 或用公式 : 当x ? ? ? ? 1.07时, y最大值 ? ? ? 4.02. 2a 14 4a 56
2 2

?x

4

“二次函数应用”的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“最大 面积”解决问题的过程,你能总结一下解

决此类问题的基本思路吗?与同伴交流. 1.理解问题;分析问题中的变量和常量,以 及它们之间的关系; 2.用二次函数表示出它们之间的关系;以 及自变量的取值范围 3.利用顶点式或顶点公式求最值.

4.若顶点不在范围内,注意最值的求取.

拓展延伸:

如图1,在一个直角三角形的内部作矩形

ABCD,其中AB和AD在两直角边上,设AB=xcm,矩形 ABCD的面积为ycm2,当x取何值时,y的值最大,最大值是 多少?如果按图2使矩形的一边BC在斜边EF上,如何解 答此时求出来的最大值仍是300cm2吗?


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