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初二联赛班数学测试卷

发布时间:2013-12-25 10:48:05  

初二联赛班数学测试卷解答

一、如图,设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F, 求证:∠FDA= ∠

EDA.

证明:设△ABC的垂心为H. 显然F,H,D,B四点共圆;且E,H,D,C四点共圆. 于是, ∠FDA= ∠EBF,∠FCA= ∠EDA.

但∠FDA= 900-∠BAC=∠FCA, 故∠FDA= ∠EDA.

二、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14。求这个四

边形的面积。

如图,作⊙O, 使其直径为AB=221.

在圆上截取AC=14,AD=11,连接BC,BD.

则∠C=∠D=900.

于是BC=221?14=5, BD=221?11?10 22A 所以圆内接四边形CBDA是符合题目条件的四边形。

1111 S四边形CBDA=CA?

CB?DA?DB??14?5??11?10 = 90. 2222

延长AC,DB交于P, 设PC=x, PB=y. 显然△PCB∽△PDA, 故PCPBBC??, 即PDPAAD?11x?5y?50xy5?? ∴?y?10x?1411?11y?5x?70(1) (2) (1)+(2): 11(x+y)=5(x+y)+120, 即 x + y =20 (3) 5(2)-(1): 11(y-x)=5(x-y)+20, 即 y – x = (4) 4

(3)×(4): y2-x2=25, 即BP2-PC2=BC2 故

∠ACB=90 o

1111 S四边形CBDA=CA?CB

?DA?DB??14?5??11?10 = 90. 2222

利用圆内接四边形的面积公式(式中,a,b,c,d是四边长, p半周长,即

1

p?(a?b?c?d) ):S?(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)

2

1

在本题中,p?(5?10?11?14)?20

2

S?(20?5)(20?10)(20?11)(20?14)?90

三、如图,直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,求P到BC的距离,

解法一 作PD⊥BC, 连接PB,PC, 因为∠MBP=∠DPC, 故Rt△MBP∽Rt△DPC, PMPBPDPB

??同理

PNPCPDPC

PMPD

?于是 , PDPN

解法二 作PD⊥BC, 连接PB,PC, MD, ND 则 P,M,B,D四点共圆, P,N,C,D四点共圆. 于是 ∠PMD=∠PBC=∠PCN=∠PDN, 同理 ∠PDM=∠PND 所以 △MPD∽△DPN, PMPD

? , PD2=PM·PN=24 PDPN

∴P到BC

的距离PD?26

四、如图,P为⊙O外一点,过点P作⊙O 的两条切线,切点分别为A、B。过点A作PB的平行线交⊙O 于点C,连结PC交⊙O于E,连结AE,并延长AE交PB于点K。 求证:PE· AC = CE· KB

证明:∵ AC∥PB, ∴∠KPE=∠C, △KPE∽△CAE

PEPKPE??于是 PE· AC = CE· PK CEACCE

∵ PA是⊙O 的切线,∠PAK=∠C, 又∠PKA=∠EKP,

PKKA?于是 △AKP∽△PKE, , PK2=KE·KA KEPK

2又由切割线定理,KB=KE·KA, 所以PK=KE.

∴ PE· AC = CE· KB

五、如图,△ABC内接于⊙O ,AC> BC,点D为弧ACB的中点。

求证:AD2=AC·BC+ CD2.

[证明] 作DE⊥AC于C, DF⊥BC于F,连结BD.

∵D是弧ACB的中点,∴AD=BD,

∴∠DAB=∠DBA,

∵∠DAB=∠DCF,∠DBA=∠DCE,

∴∠DCF=∠DCE,

∴ Rt△DCF ≌Rt△DCE,

∴ DE=DF, CE=CF

AD2-CD2=BD2-CD2=(BF2+FD2)-(CF2+FD2) 22 = BF-CF=(BF+CF)(BF-CF)

= (BF+CE)·BC

在Rt△ADE和Rt△BDF中,AD=BD,DE=DF, ∴Rt△ADE≌Rt△BDF

∴AE=BF.

∴BF+CE=AE+CE=AC,

AD2-CD2= AC·BC

即AD2=AC·BC+ CD2.

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