haihongyuan.com
海量文库 文档专家
全站搜索:
您现在的位置:首页 > 初中教育 > 初中数学初中数学

反比例函数的应用

发布时间:2013-12-25 10:48:05  

初中数学讲座

反比例函数及其应用

k(k为常数,x≠0)的形式,那x知识与方法 如果两个变量y与z的关系可以表示成y=

么称y是x的反比例函数.

k 反比例函数y=的图象是由两支曲线组成的,这两支曲线称为双曲线。 x

反比例函数有下列性质:

k 反比例函数y=的图象中两支曲线都与x轴、y轴不相交;并且当k>O时,x

在第一、第三象限内,函数值随自变量取值的增大而减小;当k<0时,在第二、第四象限内,函数值随自变量取值的增大而增大.

典型例题

例1.(2006年广东省初中数学竞赛)如果函数y?kx2k2?k?2的图象是双曲线,而且在第二、四象限,那么k等于( )

13(A) (B) -1 (C) ? (D) 1 22

解.由题意,得2k2+k-2 = -1,于是2k2+k-1=0,

1因式分解得(k+1)(2k-1)=0, 所以k??1或k? 2

又双曲线的两支在第二、四象限内,k<0,

所以 k??1,选(B).

例2.(2004年全国数学竞赛辽宁省预赛)如图,点P是x轴正半轴上的一

1个动点,过点P做x轴的垂线PQ交双曲线y?于点Q,连结OQ,当点P向x

右运动时,Rt△QOP的面积( )

A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.保持不变 D.无法确定

解 设Q点坐标为(x,y),则

PQ?|y|?y,PO?|x?|。 x

11 S?QOP?OP?PQ?xy。 22

1由于Q点在双曲线y?上,可得xy=1. x

1因此,S?QOP?.即Rt△QOP的面积不随P的运动而改变。故选C。 2

1

例3.(2000年黄石市初中数学应用能力测试试题)某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度,本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)元成反比例,又当x=0.65时,y=0.8。

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]

k0.2解 (1) 设y=.∵当x=0.65时,y=0.8,∴k=0.2. ∴y=. x?0.4x?0.4

0.2 (2) 根据题意,得(1+)·(x-0.3)=1·(0.8-0.3) ·(1+2%).解得x1=0.5,x2=0.6.x?0.4

经检验均是方程的解,但∵x的取值在0.55~0.75之间,∴只取x=0.6.

k例4.如图所示, 己知反比例函数y?(k<0)的图x

象经过点

A(过点A作AB⊥x 轴于点B, 且△

AOB

(1)求k和m的值;

(2)若一次函数y=ax+1和图象经过点A,并且与x轴相交于点C,求AO:AC的值.

解 (1)∵k<0,∴点A

(m)在第二象限内。∴

m>0, OB=|

AB=m.

∵S△AOB=11·OB·AB=

,∴m=2. ∴点A的坐标为A(

2)。 22

k中,

得2?,

∴k??

xa??3把A(

2)的坐标代入y?

x?1。 3。

∴y??

令y=0

,得?x?1=0,∴

∴点C的坐标为C

0)。 3

2∵AB⊥x轴于点B,∴△ABC为直角三角形。AC2=AB2+BC2=22+(

∴AC=4。在Rt△ABO中,由勾股定理,得

?? AO:

AC =

2 4

例5.(2006年第18届希望杯数学邀请赛试题)某医药研究所开发一种新药.成年人按规定的剂量服用,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系近似满足如图所示曲线.当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时,治疗有效.则服药一次治疗疾病有效的时间为( )

715(A) 16小时 (B) 15小时 (C) 15小时 (D) 17小时 816

解 函数y=kt经过(1,4)点,所以k=4,

于是y=kt,即 y=4t.

m又(1,4)点在反比例函数y?上,所以 m=4, t

m4于是y?,即y?? tt

依题意可知,当每毫升血液中的含药量达到0. 25毫克时,治疗才有效.

0.251由y=4t,得t?? 416

由此开始,到含药量少于0. 25毫克时,药效停止,含药量不少于0.25毫克,4即当?0.25时,得 t≤16. t

115所以服药一次治疗疾病有效的时间为16??15(小时)。故选(C). 1616

例6.某单位为响应政发出的全民健身的号召, 打算在长和宽分别为20米和11米和矩形大厅内修建一个60平方米的矩形健身房ABCD, 该健身房的四面墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁的费用为20元/平方米. 新建(含装修)墙壁的费用为80元/平方米, 设健身房的高为3米, 一面旧墙壁AB的长为x米, 修建健身房墙壁的总投入为y元.

(1)求y与x的函数关系式;

(2)为了合理利用大厅, 要求自变量x必须满足条件:8≤x≤12. 当投入的资金为4800元, 问利用旧墙壁的总长为多少米?

60解 (1)根据题意,AB=x, AB·BC=60, 所以BC?, x

60?60?60????y=20×3?x???80?3?x??.即y?300?x??. x?x?x????

60??(2)当y=4800时有4800=300?x??, x??

整理得x2-16x+60=0, 解得x1=6, x2=10. 经检验,x1=6, x2=10。都是原方程的根。由8≤x≤12,只取x=10.

60故可以利用旧墙壁的总长度为10+?16米。 10

3

例7.如图,正方形OABC,ADEF的顶点A、D、C在

1坐标轴上,点F在AB上,点B、E在函数y=(x>O)的图象x

上,则点E的坐标是( ).

(A)(?1?15?15?13?53?3?3?5 (C)( ,) (B)(,) (D)(,),)2222

解 显然,B点的坐标为(1,1), 设AD=DE=a,则E(1+a, a), (1+a)a=1, a2+a+515151=, 即 (a+)2=, a+=, 442422

?1?15?1?1,). 选A。 ,a+1=,点E的坐标是(2222

x?0)的图象上,于是 a=例8.(2007年全国初中数学竞赛试题) 如图, 点A,C

都在函数y?

点B,D都在x轴上,且使得△OAB,△BCD

都是等边三角形,则点D的坐标为 .

解 如图,分别过点A,C作x轴的垂线,

垂足分别为E,F.设OE=a,BF=b, 则AE

,CF

,所以,点A,C的坐标为

(a

),(2a+b

),所以

2??,?a?

解得? a?b?)3,?(2?b?

因此,点D

的坐标为(0).

课外练习题

一 选择题

1.如果两点P1(1,y1),P2(2,y2)都在反比例函数y?1的图象上,那么( ). x

(A) y2?y1?0 (B) y1?y2?0 (C) y2?y1?0 (D) y1?y2?0

2.(2007年全国初中数学联赛浙江省预赛试题) 函数y??1的图像大致形状是图中的( )

|x|

4

3.如图是三个反比例函数 y?的大小关系是(

) kk1k、那么k1,k2,k3y?2、y?3在x轴上方的图象,xxx

(A) k1>k2>k3 (B) k2>k3>k1 (C) k3>k2>k1 (D) k3>k1>k2

k4.函数y=kx+k与y= 在同一坐标系中的图象的大体位置是 ( ) x

5.(2007年四川省初中数学联赛初二初赛试题)

18函数y=2x与y?的图象交于A,B两点(其中,A在第一象限),过A作ACx

垂直于x轴,垂足为C, 则△ABC的面积等于( )

(A) 6 (B) 9 (C) 12 (D)18

二 填空题

m?26.如果函数 y?|m|?1是y关于x的反比例函数,那么m的值是 x

47.如图?OAP、?ABQ均是等腰直角三角形,点P、Q在函数y?(x?0)的图象x

上,直角顶点A、B均在x轴上,则点B的坐标为 .

5

8.(2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题)

k若反比例函数y= 的图像与一次函数y=ax +b的图像交于点A(一2,m)、 x

B(5,n),则3a+b的值等于.

9.在银行存款准备金不变的情况下, 银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系, 当存款准备金率为7.5%时, 某银行可贷款总量为400亿元, 如果存款准备金率上调到8%时, 该银行可贷款总量将减少 亿元。

10.(2004年全国初中竞赛湖北预赛试题)

3n?x1如果一次函数y=mx+n与反比例函数y?的图象相交于点(,2),那么该直x2

线与双曲线的另一个交点为 。

三 解答题

k11.如图,已知点(1,3)在函数y?(x?0)的图象上,矩x

形ABCD的边BC在x轴上,E是对角线BD的中点,函k数y?(x?0)又经过A,E两点,点E的横坐标为m. x(1)求k值;

(2)求点C的横坐标(用m表示);

(3)当∠ABD=45o时,求m的值。

12.如图所示, 己知直线y1=x+m与x轴、y轴分 别交于点

kA、B, 与双曲线y2?(x<0)分别交于点C、D且点C的坐标x

为(-1, 2)

(1)分别求出直线AB及双曲线的解析式;

(2)求出D点的坐标;

(3)利用图象直接写出当x在什么范围内取值时y1>y2.

13. 为了预防“非典”,其学校对教室采用药熏消毒法进

行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药

量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例,药物燃烧后,

y与x成反比例(如图所示)现测得药物8分钟燃毕,

此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题

中所提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时,y天于x的函数关系式为:____,自变量x的取值范围是: ;药物燃烧后,y关于x的函数关系式为:____;

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于16毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过 分钟后,学生才能回到教室;

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

6

m 在第一象限相交点 x

A,AB⊥x轴,垂足为B,S△AOB=3.

①求m的值 ;

②设直线y=x+m与x轴交于点C,求点C的坐标;

③求S△ABC.

15.“三等分角”是数学史上一个著名问题, 但仅用尺规不可能“三等分角”, 下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图所示):将给

1定的锐角∠AOB置于直角坐标系中, 边OB在x轴上、边OA与函数y?的图x

象交于点R, 分别过点P和R作x轴和y轴的平行线, 两直线相交于点M, 连结

1OM得到∠MOB, 则∠MOB=∠AOB, 要明白帕普斯方法, 请研究以下问题; 3

11(1)设P(a,),R(b,), 求直线OM对应的函数表达式(用含a, b的代数式表示. ) ab

(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线, 两直线相交于点Q, 请说明Q点在直

1线OM上, 并据此证明∠MOB=∠AOB. 3

(3)应用上述方法得到的结论, 你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)

14.直线y=x+m 与双曲线y=

课外练习题参考答案

1. D

2.D

当x>0时,y=-

3.C

4.D

k 在一、三象限,k>0,那么y=kx+k中,当k>0时,直线上升且在yx

轴上的截距为正. 所以选(D);

5.D y?2x,??联立方程组?18 解得A(3,6), B(-3,-6), 故C(3,0), 所以

y?.?x?11图像在第四象限;当x<0时,y=图像在第三象限 xx双曲线y=

7

1S△ABC=×6×[(3-(-3))=18 2

6.7. ?1

8.

k?m????2因为点A(一2,m)、B(5,n)在反比例函数的图像上,得?,又因为点A(一

?n?k

?5?

?m??2a?b2,m)、B(5,n)在正比例函数y=ax+b的图像上,得? n?5a?b?k??2a?b????2 得 ??5a?b?k

?5?k?a???10, 解得 b = -3a , 所以3a+b=0 ??b??3k

?10?

9.510.(?1,?). 2

1?2?m?n,?2?13n?x?1,解得 ∵ (,2)是y=mx+n与y?的图象的交点,∴ ?3n?2x.?2????2?m?3,??1 n?.??2

3?x1则两个函数的表达式为y?3x?,y?.再解方程组 2x1?y?3x?,?2?得 ?3?x?.?y?x?

1?x2??1,?5?x1?,? 即直线与双曲线的另一个交点是(?1,?). 2??52y2??.??y1?2,??2

311. (1) 3; (2)m;

2

8

12. (1)∵点C(-1,2)在直线y=x+m上,∴ 2=-1+m,m=3,则直线AB的解析式为y=x+3.

?2k又点C(-1,2)在双曲线 y2=上,∴k=-2.∴双曲线的解析式为y=. xx

2??x1??1,?y??,(2)由? x 解得?y??2,?1??y?x?3.?x2??2,∴D点的坐标为(-2,1)。 ?y?1.?2

(3)根据图象可得:当-2<x<-1时,y1>y2.

34813. (1) y?x,0?x?8,y?; 4

(2) 30;

348x、y?,求得x=4和16,而4x

16-4=12>10,即空气中的含药量不低于3毫克/m3的持续时间为12分钟,大于10分钟的有效消毒时间. (3)此次消毒有效,因把y=3分别代入y?

1?3?x(x?m)?1?214.①设A坐标为 (x, x+m). ∵ S△AOB=OB×BA. ∴? m2?x?m??x?

2??x?mx?6?0整理得?2 ∴m=6 ??x?mx?m

② ∵直线与x 轴交于点C.

把y=0 代入y=x+6 得x=-6,

∴点C的坐标是(-6,0)

m③∵直线y=x+m 与双曲线y= 在第一象限相交点A, x

?y?x?6???x??3?解方程组?,得 即点A的坐标是 (-3+,3+). 6?y????y?3?x?

1∴BC=?6??3?=3+ ∴S△ABC=(3+)(3+)=12+3. 2

?1??1??1?15.(1)设直线OM的函数关系式为y=kx, P?a,?,R?b,?,则M?b,?, ?a??a??b?

111∴k=÷b?。∴直线OM的函数关系式为y=x, aabab

1?1?(2)∵Q的坐标为?a,?,满足y=x,∴Q是直线OM上。 ab?b?

9

∵四边形PQRM是矩形,∴SP=SQ=SM=

∴∠SQR=∠PSO。 1PR。 2

1∵PR=2OP,∴PS=OP= PR,∴∠POS=∠PSO。 2

∠PSQ是△SQR的外角,∠POS=2∠SQR。

1∵QR∥OB,∴∠SOB=∠SQR,∴∠POS=2∠SOB。∴∠SOB=∠AOB。 3

(3)方法一:利用钝角的一半是锐角,然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可。

方法二:也可把钝角减去一个直角得一个锐角,然后利用上述结论把锐角三等分后,再将直角利用等边三角形(或其他方法)将其三等分即可。

10

网站首页网站地图 站长统计
All rights reserved Powered by 海文库
copyright ©right 2010-2011。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit326@126.com