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华师版 17 圆复习

发布时间:2013-12-25 11:37:48  

圆的复习

学习目标: 1、解圆及其有关概念,了解弧、弦、 圆心角的关系。 2、握圆周角与圆心角的关系,直 径所对圆周角的特征;会利用垂径定 理解题;会判定点与圆的位置关系。 3、深入理解“转化”、“分类讨 论”的数学思想,并培养自主探究积 极参与的学习习惯。

本章利用圆的对称性,探索得出了圆的一些 基本性质:在同圆或等圆的弧、弦与圆心角之间 的关系;同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系。 通过图形的运动,研究了点与圆、直线与圆、 圆与圆之间的位置关系,并得出这些位置关系与 圆的半径以及点与圆心、直线与圆心、圆心与圆 心之间的距离有关。 在了解了直线与圆的位置关系的基础上,进 一步认识了圆的切线垂直于经过过切点的半径; 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线;从圆外一点引圆的切线,它们的切线长相 等。

一、知识结构
圆的基 本性质 与圆有 关的位 置关系 弧、弦与圆心角 圆周角及其与同弧上圆心角 圆的对称性

点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系



圆与圆的位置关系
扇形面积,弧长,

圆 切线 的 切 切线长 线

圆中的计算

圆锥的侧面积和全面积

二、主要定理
(一)、相等的圆心角、等弧、等弦之间的关系 (二)、圆周角定理 (三)、与圆有关的位置关系的判别定理 (四)、切线的性质与判别 (五)、切线长定理

三、基本图形(重要结论)
(一)
A 1、垂直于弦的直径 平分弦及弦所对的弧 2、母子相似 3、直径所对的圆周角 是直角 D B

. O
P
C

(二)
O P

E

C

D

B

1、垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧 2、同弧所对的圆周角是圆心角的一半

已知ΔABC内接于⊙O,过点O分别作 OD⊥ BC,OE⊥AB, OF⊥AC,则 OD:OF: OE =( B ) A
E F

A.sinA:sinB:sinC B.cosA:cosB:cosC
C.tanA:tanB:tanC D.cotA:cotB:cotC

O B


C

2)在Rt ΔBOD中,

分析:1)找基本图形 ∠BOD=∠BAC, ∠COF=∠ABC, ∠AOE=∠ACB;

设半径为r , 则 cos∠BOD= cosA =OD:r cos∠COF= cosB=OF :r cos∠AOE=cosC=OE :r

(三)




E




切线长定理 母子相似 垂直于弦的直径平分弦

如图,若AB,AC与⊙O相切与点B,C两点,P为弧 BC上任意一点,过点P作⊙O的切线交AB,AC于 16cm 点D,E,若AB=8,则△ADE的周长为_______;
B D P A E C
M

M
O

①若∠A=70°,则∠BPC= 125° ___ ;

B O

P

②过点P作⊙O的切线MN, 1 90°- 2 ∠A ∠BPC=______________; (用∠A表示)
N

A C

A c B D.

.

.F

b C

.
a E

1 AD = AF = ( b+c-a) 2 1 BD = BE = ( a+c-b) 2 1 CE = CF = ( a+b-c) 2

1 S △ABC = 2

C △ABC ·r内

(四)、Rt△ABC的外接圆半径等于斜边的一半 Rt△ABC的内切圆半径等于两直角边的 和与斜边的差的一半 C
C

A

D

B

A

B

△ABC中,∠C=90°,AC=6cm

,BC=8cm,则它 A 的外心与顶点C的距离是_______; A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm

已知△ABC外切于⊙O, 1 (1)若AB=8,BC=6,AC=4,则AD= __;BE= __;CF= __; 3 5 1 (2)若C△ABC= 36, S△ABC=18,则r内=_____; 7 (3)若BE=3,CE=2, △ABC的周长为18,则AB=____;
A
D

D

A

8

F

o
B

4
C
B
C

6

E

1 S △ABC= C △ABC·内 r 2

AB+CD=AD+CB

(六)如图,设⊙O的半径为r,弦AB的长为a,弦 心距OD=d且OC⊥AB于D,弓形高CD为h,下面的说 法或等式: ①r=d+h, ②4r2=4d2+a2 ③已知:r、a、d、h中的任两个可求其他两个, 其中正确的结论的序号是( C ) A.① B.①② C.①②③ D.②③
h r d a

四、小试牛刀 1.根据下列条件,能且只能作一个圆的是( C ) A.经过点A且半径为R作圆; B.经过点A、B且半径为R作圆; C.经过△ABC的三个顶点作圆; D.过不在一条直线上的四点作圆; 2.能在同一个圆上的是( D ) A.平行四边形四个顶点; B.梯形四个顶点; C.矩形四边中点; D.菱形四边中点.

3.两圆的圆心都是点O,半径分别r1,r2,且 r1<OP<r2,那么点P在( D ) A.⊙O内 B.小⊙O内 C. ⊙O外 D.小⊙O外,大⊙O内 4.下列说法正确的是( B ) A.三点确定一个圆; B.一个三角形只有一个外接圆; C.和半径垂直的直线是圆的切线; D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等.

5.与三角形三个顶点距离相等的点,是这个三角 形的( D ) A.三条中线的交点; B.三条角平分线的交点; C.三条高线的交点; D.三边中垂线的交点; 6.圆的半径为5cm,圆心到一条直线的距离是7cm, 则直线与圆( C ) A.有两个交点; B.有一个交点; C.没有交点; D.交点个数不定

7.若两圆的半径分别为R,r,圆心距为d, 且满足R2+d2=r2+2Rd,则两圆的位置关 系为( ) A.内切 B.内切或外切 C.外切 D.相交
由题意: R2+d2-2Rd=r2 即:(R-d)2 =r2 ∴ R-d = ±r ∴ R±r = d 即两圆内切或外切

8.(苏州市)如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它 的一个外角∠DCE=70°,则∠BOD=( D ) A.35° C.110° B.70° D.140°

9、(广州市)如图,A是半径为5的⊙O内的 一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有 ( A ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条

过点A且弦长为整数的弦有( 4 )条

10、在等腰△ABC中,AB=AC=2cm,若以 A为圆心,1cm为半径的圆与BC相切,则 ∠ABC的度数为 (A ) A、30° B、60° C、90° D、120°

A 2 2 D C

B

11、定圆0的半径是4cm,动圆P的半径是 1cm,若⊙ P和⊙ 0相切,则符合条件的 圆的圆心P构成的图形是 ( )
解:(1)若⊙0和⊙P外切,则OP=R+r =5cm ∴P点在以O为圆心,5cm为半径的圆上;

(2)若⊙0和⊙P内切,则OP=R-r=3cm ∴P点在以O为圆心,3cm为半径的圆上。

12、两个圆的半径的比为2:3 ,内切时圆 心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距 d的取值 范围是( ) 解:设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x 依题意得:3x-2x=8,解得:x=8 ∴ R=24 cm,r=16cm ∵ 两圆

相交,∴R-r<d<R+r ∴ 8cm <d< 40cm

13.△ABC中, ∠A=70°,⊙O截△ABC三条边所 D 得的弦长相等.则 ∠BOC=____. A.140° B.135° C.130° A D F D.125°

1 ∠BOC=90°+ ∠A 2
B

R

E M

O

Q

G
P

N C

14、一只狸猫观察到一老鼠洞的全部三个出 口,它们不在一条直线上,这只狸猫应蹲在 何处,才能最省力地顾及到三个洞口? 【解析】在农村、城镇上这是一个狸猫捉老 鼠会遇到的一个问题,我们可以为这个小动 物设计或计算出来.这个问题应考虑两种情况: 设三个洞口分别为A、B、C三点,又设A、C相 距最远 ①当△ABC为钝角三角形或直角三角形时,AC 的中点即为所求. ②当△ABC为锐角三角形时,△ABC的外心即 为所求.

15.梯形ABCD外切于⊙O,AD∥BC,AB=CD, 8 (1)若AD=4,BC=16,则⊙O的直径为_______;
576 π 25 (2)若AO=6,BO=8,则S⊙O=_______

;

A

D

10
O

B

M

N

C

16、如图,AB是半⊙O的直径,AB=5,BC = 4, ∠ABC的角平分线交半圆于点D,AD,BC 的延长线相交于点E,则四边形ABCD的 面积是△DCE的面积的 ( ) A.9倍 B.8倍 C.7倍 D.6倍
E E

1 C 4
D

C

10 D

3
A

5

.

O B

A

B

17、如图,AB是半圆O的直径,CD是半圆O的直 CD 径,AC和BD相交于点P,则 =( B ) AB A.sin∠BPC B.cos∠BPC C.tan∠BPC D.tan∠BPC
C D P A

O

.

B

18、如图,以O为圆心的两同心圆的半径分别是 11cm和9cm,若⊙P与这两个圆都相切,则下列 说法正确的有( ) ①⊙P的半径可以是2cm; ②⊙P的半径可以是10cm; ③符合条件的⊙P有无数个, 且点P的路线是曲线; ④符合条件的⊙P有无数个, 且点P的路线是直线; A.1个 B.2个 C.3个 D.0个

19.如图Rt△ABC中,AB=10,BC=8,以点为圆心, 4.8为半径的圆与线段AB的位置关系 相切 是___________;
设⊙O的半径为r,则
0<r<4.8 或r>8 当 ______________ 时,

⊙O与线段AB没交点; 4.8<r≤6 当______________时, ⊙O与线段AB有两个交点; =4.8 或6<r≤8 当 r______________ 时, ⊙O与线段AB仅有一交点;

C
6 8

A

D

B

四、综合应用

能力提升

1、在直径为400mm的圆柱形油槽内,装入一部

分油,油面宽320mm,求油的深度.
【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题,没 有给出图形,直径长是已知的,油面宽可理解为截面圆 的弦长,也是已知的,但由于圆的对称性,弦的位置有 两种不同的情况,如图(1)和(2) 图(1)中 OC=120∴CD=80(mm) 图(2)中 OC=120∴CD=OC+OD=320(mm)

2、已知AB是⊙O的直径,AC是弦,AB=2,AC= 2 , 在图中画出弦AD,使得AD=1,求∠CAD的度数.
C

D
15°
45° 60°

∴∠CAD=105°或15°

A

说明:圆中的计算问题常会 B 出现有两解的情况,在涉及 自己作图解题时,同学们要 仔细分析,以防漏解.

D

5.半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为1 ,那 么这条弦所对的圆周角为( 30°或 135° )

3、在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,以CD 为直

径的圆与AB相切于点E,S梯形ABCD=21cm2, 周长为20cm,则半圆的半径为( A ) A.3cm; B.7cm; C.3cm或7cm; D.2cm
分析:基本图形:切线长定理, 切线的性质与判定,直角梯形. 找等量关系: O. 2x+2y+2r=20 (x+y)×2r÷2=21 C
∴x+y=7,r=3或x+y=3,r=7(不符合,舍去)

D x

A
x .E y

y

B

4、已知⊙O1和⊙O2外切与点A,PA与两个 圆都相切,过点P分别作PB,PC与 ⊙O1 ⊙O2相切,则( A ) A.∠1= 2∠3; B B.∠2=∠3; C.∠1=2∠2; O A D.∠1=∠2+∠3;
1

P 1 2

3

C

O2

连结AB,若∠PAB=70°,∠PBC=55° 则∠PAC=____° 75

4.(临汾)张师傅要用铁皮做成一个高为40cm,底 面半径为15cm的圆柱形无盖水桶,需要铁皮 1425π cm2(接缝与边沿折叠部分不计,结果 保留π ) 5.如图,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形, 使之恰好围成一个圆锥模型,设底圆的半 径为 r,扇形半径为R,则r与 R之间的关系为 ( D ) 9 A.R=2r B. R ? r 4 C.R=3r D.R=4r

6.已知如图(1),圆锥的母线长为4,底面圆半 径为1,若一小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行 一圈到SA的中点C,求小虫爬行的最短距离.

(1)

(2)

解:侧面展开图如图(2) 2π×1= , n=90° o 180 SA=4,SC=2 ∴AC=2 5 .即小虫爬行的最短距离为25.
n? ? 4

7、在一服装厂里有大量形状为等腰直角三 角形的边角布料(如图)现找出其中一种, 测得∠C=90°,AC=BC=4,今要从这种三角 形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具, 使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上, 且扇形的弧与△ ABC的其他边相切,请设 计出所有可能符合题意的方案示意图,并 求出扇形的半径。 A

(只要画出图形,并
直接写出扇形半径)
C B

分析:扇形要求弧线与三角形的边相切,半径都在三角 形边上相切的情况有两种
(1)与其中一边相切(直角边相切、斜边相切)

(2)与其中两边相切(两直角边相切、一直角边和一 斜边相切)
并且尽量能使用边角料(即找最大的扇形) (1)与一直角边相切可如图所示 (2)与一斜边相切如图所示 (3)与两直角边相切如图所示 (4)与一直角边和一斜边相切如图所示

解:可以设计如下图四种方案:

r1=4

r2=2 2

r3=2

r4=4 2 -4

8、已知,ΔABC内接于⊙O,
AD⊥BC于D,AC=4,AB=6, AD=3,求⊙O的直径。 分析:证明ΔABE∽ΔADC .O

A

B


D F

C

引申:(1)求证:AB· AC=AD· AE;

(2)若F为弧BC的中点,求证:∠FAE=∠FAD ;

9、如图,在△ABC中,∠A=60°,AB=10,AC=8, ⊙O与 AB,AC相切,设⊙O与AB的切点为E,且圆的半径为R, 若⊙O 在变化过程中,都是落在△ABC内,(含相切), 0<R<9- 21 则x的取值范围是 _____________.
A
A

x
E
E

5
O

10

10 8

5 3

D

O

3
B C
B



1 1 LR内= ×8 ×5 2 2

2 21

C

3

∴R=9- 21

10、一圆弧形桥拱,水面AB宽32米, 当水面上升4米后水面CD宽24米, 此时上游洪水以每小时0

.25米的速度 上升,再通过几小时,洪水将会漫 过桥面?

解: 过圆心 O作 OE⊥AB于E,延长 后交 CD于F,交CD于H,设OE=x,连结OB, OD,由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 ∴ X2+162=(x+4)2+122 ∴X=12 ∴OB=20 ∴FH=4 4÷0.25=16(小时) 答:再过16小时,洪水将会漫过桥面。

11、已知⊙01和⊙02的半径分别为R和 r(R>r),圆心距为d,若两圆相交,试 判定关于x的方程x2-2(d-R)x+r2=0 的根的情况。 解 ∵两圆相交 ∴R- r<d<R+r △ =[-2(d-R)]2-4r2 =4(d-R)2-4r2 =4(d-R+r)(d-R-r) =4[d-(R-r)][d-(R+r)] ∵ d-(R-r)>0 d-(R+r)<0 ∴ 4[d-(R-r)][d-(R+r)]<0 ∴ 方程没有实数根

M





12、 两同心圆如图所 示,若大圆的弦AB与小 圆相切,求证:AC=BC B 引申:





N 1)若作大圆的弦AD=AB,求证:AD也与小圆相切; 2)若过C、E作大圆的弦MN, 求证:点A为弧MN的中点; 3)连接AN,求证AN2=AC· ΔACN∽ΔANB AB

13、(甘肃省)已知:如图,四边 形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直 径,CE切⊙O于C,AE⊥CE,交⊙O 于D. (1)求证:DC=BC; (2)若DC:AB=3:5, 求sin∠CAD的值. 证明: 连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°. 又∠AEC=90° ∴BD//EC. ∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD 又∠CAD=∠CAB ∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB=3/5.

14、已知,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,且与⊙O2 ⌒ B上的一动点(不 相交于A、B两点,点C为AO2 运动至A、B)连结AC,并延长交⊙O2于点P, 连结BP、BC . (1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图 1供操作观察用,操作时可使用量角器与刻度 ⌒B 上运动时,图中有哪些角的 尺.当点C在AO2 大小没有变化; (2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想(图2 供证明用)

14、已知,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,且与⊙O2相交 ⌒ 于A、B两点,点C为AO2B上的一动点(不运动至A、 B)连结AC,并延长交⊙O2于点P,连结BP、BC . (1)先按题意将图1补完整,然后操作,观察.图1供操 作观察用,操作时可使用量角器与刻度尺.当点C在 ⌒ AO2B 上运动时,图中有哪些角的大小没有变化;

(2)请猜想△BCP的形状,并证明你的猜想 (图2供证明用)

(2)证明:连结O2A、O2B,


∠BO2A=∠ACB
∠ BO2A=2∠P

∴∠ACB=2∠P
∵∠ACB=∠P+∠PBC

∴∠P=∠PBC
∴△BCP为等腰三角形.

15、(湖北省黄冈市)已知:如图Z4-3,C为半 圆上一点,AC=CE,过点C作直径AB的垂线CP, P为垂足,弦AE分别交PC,CB于点D,F。(1) 求证:AD=CD;(2)若DF=5/4,tan∠ECB=3/4, 求PB的长.

【分析】 (1)在圆中证线段相等通常转 化为证明角相等。 (2)先证明 CD=AD=FD,在 Rt△ADP中再利用勾股定理及 tan∠DAP=tan∠ECB=3/4,求出DP、PA、 CP,最后利用△APC∽△CPB求PB的长 .

16、(连云港)已知,如图,⊙O过等边ΔABC 的顶点B、C,且分别与BA、CA的延长线交于D、 E点,DF∥AC。 (1)求证ΔBEF是等

边三角形 (2)若CG=2,BC=4,求BE的长。 分析: 1)由DF∥AC证明∠3=∠4
3

E A

D

2
5 4

F G

2)①设法证明ΔBFG∽ΔFDE ②设法证明BC=DF=4.

1

B

C

③ BG:BF =EF:DF, 则x:6=x:4

17.如图直径为13的⊙O1经过原点O, 并且与x轴、y轴分别交于A、B两点, 线段OA、OB(OA>OB)的长分别 是 方程x2+kx+60=0的两个根. (1)求线段OA、OB的长

(2)已知点C在劣弧OA上,连结BC 交OA于D,当OC2=CD×CB时, 求C点的坐标
(3)在⊙O1上是否存在点P, 使 S△POD=S△ABD?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由

(1)解:∵OA、OB是方程 x2+kx+60=0的两个根, ∴OA+OB=-k, OA×OB=60

∵OB⊥OA,

∴AB是⊙O1的直径
∴OA2+OB2=132, 又OA2+OB2=(OA+OB)2-2OA×OB, ∴132=(-k)2-2×60 解 之得: k=±17 ∵OA+OB>0,∴k<0故k=-17, 于是方程为x2-17x+60=0, 解方程得OA=12,OB=5.

(2)已知点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D, 当OC2=CD×CB时,求C点的坐标

解:连结O1C交OA于点E, OC2=CD×CB,即 OC/CB=CD/OC,又 ∠OCB=∠DCO, ∴△OCD∽△BCO, ∴∠COD=∠CBO,∴, = ∴O1C⊥OA且平分OA, ∴OE=1/2OA=6, O1E=1/2AB=5/2, ∴CE=O1C-O1E=4, ∴C的坐标为(6,-4)

(3)在⊙O1上是否存在点P, 使S△POD=S△ABD? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由 分析:假设这样的点P是存在的, 不妨设P(m,n),则P到x轴的距 离可表示为|n|,从已知中得知P 到x轴的最大距离为9,所以 |n|≤9。又S△POD=1/2OD×|n|

S△ABD=1/2AD×OB,∴OD|n|=A D×OB=(OA-OD)OB,即 OD|n|=(12-OD)×5若能求出OD 的长,就可得知|n|。从而知P点 是否在⊙O1上由(2)知 OD OC ? △OCD∽△BCO,则 OB BC 从中可求出OD的长

因此得知|n|=13>9, 所以假设错误,故这 样的点P是不存在的

(3)在⊙O1上不存在这样的P 点,使S△POD=S△ABD。 理由:假设在⊙O1上存在点 P,使S△POD=S△ABD,不妨 设P(m,n),则P到x轴的距 离|n|≤9。由 △OCD∽△BCO,得

将OB=5, ? 2 OC

13

BC ? 9 13

代入计算得OD=10/3

∴|n|=13>9,∴P点不在
⊙O1上 故在⊙O1上不存在 这样的点P。

S△ABD=

1 65 S△POD=65/3,即 OD? | n |? 2 3

1 1 10 65 AD ? OB ? (6 ? ) ? 2 2 3 3

五、归纳总结
圆这一章涉及的知识点很多,之前学习的三角 形、四边形、相似形、一元二次方程等知识都可 以与圆的知识联系起来,综合运用。因此,同学 们要通过学习本章内容锻炼自己分析问题的能力 和综合运用的能力。 与旧教材相比,华师版的教材删减了一些内 容,中考中,将会更多地考查用运动的观点解题 的能力、分类讨论数学思想等。 关于几何证明,则关键是能从复杂的几何图形 中发现、构造基本图形,善于将题目与题目之间 建立联系,以融会贯通,举一反三。

作业:P67、16、 17。

P68、 20.


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