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八年级十七章知识总结归纳

发布时间:2013-12-25 15:47:44  

知识总结归纳:

(-)等腰三角形的性质

1. 有关定理及其推论

定理:等腰三角形有两边相等;

定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;

2. 定理及其推论的作用

等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系,由两边相等推出两角相等,是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等,两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

(二)等腰三角形的判定

1. 有关的定理及其推论

定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。

1.勾股定理

内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a?b?c

勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理

常见方法如下:

方法一:4S??S正方形EFGH?S正方形ABCD,4?2221ab?(b?a)2?c2,化简可证. 2

D

E

b

AcCB

方法二:

b

acabbcc

ba

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S?4?

大正方形面积为S?(a?b)?a?2ab?b

所以a?b?c

方法三:S梯形?2222221ab?c2?2ab?c2 2111(a?b)?(a?b),S梯形?2S?ADE?S?ABE?2?ab?c2,化简得证 222

D

bAaBbEaC

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4.勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长,求第三边

在?ABC中,?C?90?

,则c

b

a?

②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系

③可运用勾股定理解决一些实际问题

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a,b,c满足a?b?c,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和a?b与较长边的平方c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若a?b?c,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若a?b?c,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;

②定理中a,b,c及a?b?c只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,222222222222222

c满足a2?c2?b2,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边

6.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即a?b?c中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

③用含字母的代数式表示n组勾股数:

n?1,2n,n?1(n?2,n为正整数); 2n?1,2n?2n,2n?2n?1(n为正整数) 2222222

m2?n2,2mn,m2?n2(m?n,m,n为正整数)

7.勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解. 8..勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.

9.勾股定理及其逆定理的应用

C

C

CABADBBDA

C

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