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反比列函数复习教案

发布时间:2013-12-25 15:47:47  

第十七章反比例函数

一、基本知识和概念 1.定义:形如y=

k

(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数。 x

1?1

其他形式xy=k, y?kx,y?k

x

2.图像:

反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴:直线y=x和 y=-x。对称中心是:原点 3.性质:

当k>0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内y值随x值的增大而减小;

当k<0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

5.反比例函数双曲线,待定只需一个点,正k落在一三象限,x增大y在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

6、反比例函数的性质

反比例函数 k的符号

k>0

k

y?(k?0)

x

图像

性质

①x的取值范围是x?0, y的取值范围是y?0;

②当k>0时,函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内,y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x?0, y的取值范围是y?0;

②当k<0时,函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内,y 随x 的增大而增大。

7、反比例函数解析式的确定

1

确定解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?k中,只有一个待定系数,因此x

只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。

8、反比例函数中反比例系数的几何意义 k(k?0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PA,PB,则所得x

的矩形PAOB的面积S=PA?PB=??。 如下图,过反比例函数y?

k?y,?xy?k,S。 x

二、典型例题

2k?k?2【例1】如果函数y?kx的图像是双曲线,且在第二,四象限内,那么的值2

是多少?

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数y?k,(k?0)即y?kx?1

x

(k?0)又在第二,四象限内,则k?0可以求出的值

【答案】由反比例函数的定义,得:

1??2k2?k?2??1?k??1或k?解得??2 k?0??k?0?

?k??1

12k2?k?2?k??1时函数y?kx为y?? x

1【例2】在反比例函数y??的图像上有三点?x1,y1?,?x2,y2?,?x3,y3? 。x

若x则下列各式正确的是( ) x0?x1?2?3

A.y3?y1?y2 B.y3?y2?y1 C.y1?y2?y3 D.y1?y3?y2

【解析】可直接以数的角度比较大小,也可用图像法,还可取特殊值法。 解法一:由题意得y1??111,y2??,y3?? x1x2x3

?x?x?0?xyyy,?1233?1?2所以选A 解法二:用图像法,在直角坐标系中作出y??1的图像 x

x0?x描出三个点,满足x观察图像直接得到y1?2?33?y1?y2选A

解法三:用特殊值法

2

1 ?x?x?0?x,?令x?2,x?1,x??1y??1,y?1,?y?y?y1231231,233122

3n?m【例3】如果一次函数y相交于点???mx?nm?0y的图像x

1(,,那么该直线与双曲线的另一个交点为( ) 2)2

【解析】

1?m?23n?m?1?m?n?2??直线y?mx?nx2解得??? 2n?1x2???3n?m?1??

y?2x?1?1??直线为y?2x?1,双曲线为y?解方程组?y?1x?x?

?x??1得?1 ?y1??1

1??x2??2??y2?2

?? ?另一个点为?1,?1

【例4】 如图,在Rt中,点A是直线y?x?与双曲线y??AOBm

的交点,且S?AOB?2,则m的值是

_____. m在第一象限x

解:因为直线y?x?与双曲线y?m

m,y 则有yA?xA?Am过点A,设A点的坐标为?. x,yAA?xm.所以m?xAyA. xA

?x,?y 又点A在第一象限,所以. AA

111OB?xym 所以S.而已知S?AOB?2. ?AA222

所以m?4.

三、巩固练习

3

2的图像位于( ) x

A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 1.反比例函数y??

2.若y与x成反比例,x与z成正比例,则y是z的( )

A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm2,那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为( )

A

B C D

4.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 )

的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气压大于120 kPa时,气球将爆炸.为了安全起见,气球的体积应( )

333A、不小于m B、小于m C、不小于m D

15.如图 ,A、C是函数y?的图象上的任意两点,过A作xx

轴的垂线,垂足为B,过C作y轴的垂线,垂足为D,记Rt

ΔAOB的面积为S1,RtΔCOD的面积为S2则 ( )

A. S1 >S2 B. S1 <S2 C. S1=S2 D. S1与S2的大小关系不能确定

n?16.关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A(-2,1). x

求:(1)一次函数和反比例函数的解析式;(2)两函数图象的另一个交点B的坐标;

(3)△AOB的面积.

4

7. 如图所示,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两

1点,与x轴交于点C.已知点A的坐标为(-2,1),点B的坐标为(m). 2

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

kx

8.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6小时可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积是多少?

(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空 所需的时间t(h)将如何变化?

(3)写出t与Q的关系式.

(4)如果准备在5小时内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?

(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少需多长时间可将满 池水全部排空?

9.某商场出售一批名牌衬衣,衬衣进价为60元,在营销中发现,该衬衣的日销售量y(件)是日销售价x元的反比例函数,且当售价定为100元/件时,每日可售出30件.

(1)请写出y关于x的函数关系式;

(2)该商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800元,则其售价应为多少元?

5

10.如图,在直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y?

的图象交于A(-2,1)、B(1,n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式;

(2)求△AOB的面积。

本章作业

一、选择题(每小题3分,共24分) mx

1.对与反比例函数y?2,下列说法不正确的是( ) x

A.点(?2,?1)在它的图像上 B.它的图像在第一、三象限

C.当x?0时,y随x的增大而增大 D.当x?0时,y随x的增大而减小

2.已知反比例函数y?

经过( )

A、(2,1) B、(2,-1) C、(2,4) D、(-1,-2)

k3.在同一直角坐标平面内,如果直线y?k1x与双曲线y?2没有交点,那么k1x

和k2的关系一定是( )

A. k1+k2=0 B. k1·k2<0 C. k1·k2>0 D.k1=k2 k,则这个函数的图象一定?k?0?的图象经过点(1,-2)x

4.下列函数中,y是x的反比例函数的是( )

(A)y=-1

2x (B)y=-1

x2 (C)y=11 (D)y=1- xx?1

5.已知y与x成正比例,z与y成反比例,那么z与x之间的关系是( )

(A)成正比例 (B)成反比例 (C)有可能成正比例,也有可能成反比例 (D)无法确定

6

(A)

(B) (C)

(D)

7.已知反比例函数y=k(k﹤0)的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1﹤x2,则x

y1-y2的值是( )

(A)正数 (B)负数 (C)非正数 (D)不能确定

8.三角形的面积为4c㎡,底边上的高y(㎝)与底边x(㎝)之间的函数关系图象大致应为

( )

.

9.已知反比例函数y=k的图象经过点(1,2),则函数y=-kx可为( ) x

11 (A)y=-2x (B)y=-x (C)y=x (D)y=2x 22

210.对于反比例函数y=,下列说法不正确的是( ) x

(A)点(-2,-1)在它的图象上 (B)它的图象在弟一、三象限

(C)当x﹥0时,y随x的增大而增大 (D)当x﹤0时,y随x的增大而减少

11.已知(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)在反比例函数y=-

是( )

(A)y1﹤y2﹤y3(B) y3﹤y1﹤y2(C) y1﹥y2﹥y3(D) y1﹤y3﹤y2

二、填空题(每小题4分,共24分)

7

1的图象上,则下列结论正确的x

12.某奶粉生产厂要制造一种容积为2升(1升=1立方分米)的圆柱形桶,桶的底面积s与桶高h有怎样的函数关系式

13.一水桶的下底面积是盖面积的2倍,如果将其底朝下放在桌上,它对桌面的压强是600Pa,翻过来放,对桌面的压强是

14.设有反比例函数y=k?1,(x1,y1)、(x2,y2)为其图象上两点,若 x1﹤0﹤x2,y1x

﹥y2,则k的取值范围15.直线y=kx+b过一、三、四象限,则函数y=

限内y随x 的增大而

16.如图所示是三个反比例函数y=b

kxk1k,y=2, xx y=k

x3的图象,由此观察k1、k2、k3的大小关系 是 (用“﹤”连接)

17.若反比例函数的图象经过点(2,-2),(m,1),

m= k18. 反比例函数y=P(-1.5,2x

119. 19. 点P(2m-3,1)在反比例函数y=m=__________. x

20. 已知反比例函数的图象经过点(m,2)和(-2,3)则m的值为__________.

三、解答下列问题

21. 已知反比例函数y?1?2m????的图象上两点A,当x0?xx,y,Bx,y1?21122x

时,有y1?y2,则m的取值范围是?

22.已知y与x-1成反比例,并且x=-2时y=7,求:

8

(1)求y和x之间的函数关系式; (2)当x=8时,求y的值;

(3)y=-2时,x的值。

1?b的图象在每个象限内,y随x的增大而增x

1?b大,如果点?a,3?在双曲线上y?,求a是多少? x23. 已知b?3,且反比例函数y?

24.已知变量y与(x+1)成反比例,且当x=2时,y=-1,求y和x之间的函数关系。(满分10分)

25.如图,正比例函数y=kx(k﹥0)与反比例函数y=1 x 的图象相交于A、C两点,过A作x轴的垂线交x于

B点,连BC,求△ABC的面积。(满分12分)

26.某空调厂的装备车间计划组装9000台空调:

9

(1)从组装空调开始,每天组装的台数m(单位:台/天)与生产的时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?

(2)原计划用2个月时间(每月以30天计算)完成,由于气温提前升高,厂家决定这批空调提前十天上市,那么装配车间每天至少要组装多少空调?(满分14分)

27.如图,正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点B在函数y=

上,点P(m,n)是函数 y=k(k﹥0,x﹥0)的图象xk(k﹥0,x﹥0)的图象上任意一点,过点P分别作x轴、y轴的x

垂线,垂足分别E、F,并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S.(提示:考虑点P在点B的左侧或右侧两种情况)

(1)求B点坐标和k的值。 (2)当S=9时,求点P的坐标。 2

(3)写出S关于m的函数关系式。(满分16分)

10

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