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24.1.4圆周角(1)(讲课用)(公开课)

发布时间:2013-12-25 16:50:41  

24.1.4 圆周角(一)

制作:北京市剑桥中学 田放

1.什么叫圆心角? 顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间

O

.

关系定理是什么?

B A 在同圆(或等圆)中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、

两条弦的弦心距有一组量相等,那么它们所对应的其余各
组量都分别相等。

3、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?

在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。

4.如图,在⊙O中,弦AB的长 为8cm,圆心O到AB的距离为 3cm,则⊙O的半径= 5cm .

A

E

B

O

5、如图,已知∠AOB=80°,
①求弧AB的度数; 80° ②延长AO交⊙O于点C,连结CB,

C
O A B

则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢?

学习目标
1. 理解什么是圆周角; 2. 理解掌握圆周角定理及其推论,并通过证明过 程,理解分类讨论思想。 3. 运用圆周角定理及其推论解决有关圆的问题。

重点: 理解掌握圆周角的定理及推论,体验用
分类讨论思想解决数学问题。

难点: 灵活运用圆周角定理及推论

阅读课本P84-85,完成以下问题: 1、什么圆周角? 2、圆心与圆周角的位置有几种情况?

探 究
问题:将圆心角顶点向上移,直至与⊙O相交于点C? 观察得到的∠ACB有什么特征?
C

圆周角的概念



O A B

.

顶点在圆上,两边与圆相交 的角,叫圆周角。
圆周角的概念 要注意哪两点?

①顶点在圆上

②两边都与圆相交

?

这样的角叫圆周角。

缺一 不可!

问题探讨:
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角?并说明理由。
P P

P

P

不是 虽然两边 都与圆相 交,但顶 点不在圆 上。

是 顶点在圆上, 两边和圆相 交。

不是

不是 虽然顶点在 圆上,有一 边和圆相交, 但有一边和 圆不相交。

虽然顶点在 圆上,但是 两边不和圆 相交。

找一找:
请找出图中所有的圆周角
D A

图中的圆周角有:

O C

∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA B ∠DAC

想一想;
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种 关系?请大家在练习本上画一画.
A O B
A

A

.
C

O

.
C

O
D B

.
C

B
D

在这三个图中,哪个图形最特殊?其余两个可以 转化成这个图形吗?

猜想:圆周角∠BAC和圆心角∠BOC是
什么关系?

(1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时

证明:∵OA=OC ∴∠BAC=∠C
O B

A

∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠C+∠A =2∠A
1 ∴∠A= 2 ∠BOC

C

A A O B B O C B O C A

C

猜想:圆周角∠BAC等于圆心角∠BOC
的一半。 ⌒ 已知:如图,∠BOC和∠BAC分别是BC 所对的圆心角和圆周角
1 求证:∠BAC= ∠BOC 2

如何证明其它两种情况?

提示:第一种情况的结论在证 明第二、三种情况时可以利用。

⌒ 已知:如图,∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆

心角 和圆周角

1 求证:∠BAC= 2 ∠BOC

(1)当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时

证明:∵OA=OC ∴∠BAC=∠C ∵∠BOC是△OAC的外角 ∴∠BOC=∠C+∠A =2∠A
1 ∴∠A= 2 ∠BOC
B O A

⌒ 已知:如图,∠BOC和∠BAC分别是BC所对的圆心角 和圆周角

1 求证:∠BAC= 2 ∠BOC

(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时,
证明:过点A作直径AD
1 由(1)得∠BAD= ∠BOD 2 1 ∠DAC= 2 ∠DOC

A

O B D C

1 ∴ ∠BAC =∠BAD+ ∠DAC= 2 (∠BOD + ∠DOC) 1 即: ∠BAC= ∠BOC 2

已知:如图,∠BOC和∠BAC分别是BC所对的



圆心角和圆周角

1 求证:∠BAC= 2 ∠BOC

(3)当圆心O在∠BAC的外部时,
证明:过点A作直径AD, 1 ∠DAC= 2 ∠DOC, 由(1)得:
O

A

1 ∠DAB= ∠DOB 2 1

D B

C

∴ ∠BAC= ∠DAC-∠DAB= 2 (∠DOC -∠DOB)

1 即:∠BAC= ∠BOC 2

综上你可得出什么结论? 结论:一条弧所对的圆周角等于它
所对的圆心角的一半。
⌒ ∵∠BAC和∠BOC都对BC
1 ∴∠BAC= ∠BOC 2
O B C

A

也可以说:圆周角的度数等于它 所对弧的度数的一半。

思考:如图1:?C,?D,?E与?AOB的关系?
如图2:AB = EF, ∠C和∠G什么关系? C
∠C=∠D= ∠E =1/2 ∠AOB

G

∠C和∠G

A
图1

O B F 图2 E

圆周角定理:

用于找相等 的角

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。

练习: 如图,点A、B、C、D在同一个圆上 ,四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个 角,这些角中哪些是相等的角?
D
8 7

解: ∠1=∠4
∠3=∠6

∠2=∠7 ∠5=∠8

A

1 2 3 4 6 5

B

C

新知探究2
AB EF 如图,圆中∠C=∠G,那么 ⌒ 和⌒的大小 有什么关系?为什么? C

G

AB = EF,

A B

O F E

由此你又能得出什么结论?

圆周角定理的推论1:
同圆或等圆中,

相等的圆周角所对的弧也相等.
用于找相 等的弧

探究与思考:
问题1:如图,AB是⊙O的直径,请问: ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1 A C2 C3 B

问题2: 若∠C1、∠C2、∠C3是 直角,那么∠AOB是 180° 。

O

圆周角定理的推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的 圆周角所对的弦是直径。

总结一下
圆周角定理:

圆周角定理

在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1:

同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:

半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角 所对的弦是直径。

口答:抢答!

1、一条弧所对的圆心角的度数为96°, 求这条弧的度数 96°,它所对的圆周 A 角的度数是 48° 。 O 2、一个圆周角对着半圆,则此圆 周角的度数是 90° ? C B

3、一个圆周角对着圆的一条直径,这个圆 周角多少度 90° ?

仔细选一选
1、如图,在⊙O中,∠B=50°, 则

∠AOC等于( D ) A、50°; B、80°; C、90°; D、100°
A B O C

2、如图,△ABC是等边三角形, 动点P在圆周的劣弧AB上,且不 与A、B重合,则∠BPC等于( B ) A、30°; B、60°; C、90°; D、45°

C

A P

B

仔细选一选
3、如图,△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2, 则⊙O的半径是 2 。
A 解:连接OA、OB ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2,即半径为2。 C O

B

这节课我们都有什么收获?
1、圆周角的定义: 顶点在圆上,两边都与圆相交的角。 2、圆周角定理:
同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条 弧所对的圆心角的一半。

3、圆周角定理的推论:
推论1.同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;900的 圆周角所对的弦是直径。

能力提高

课下思考

1、【2010北京中考】已知:∠AOB=100°, D 则∠ACB= 130° . 解:∵∠ AOB=100 ° O
∴AB=100 ° ∴ADB=260 ° ∴ ∠ACB=130°
A C B

2、若圆中一条弦把圆周分成1︰5两部分,则这 条弦所对的圆周角为多少度? C
解:设⊙O中弦AB把⊙O分成1:5两部分 连接OA、OB,作圆周角∠ ACB 和∠ ADB

O

ADB=1:5 ∵AB:
∴ AB=60 ° ACB=300 °
A

·
B

∴ ∠ACB=30° ∠ ADB=150 °

D

作业

习题24.1 第3、4、11、12题

再见!

口答:抢答!
1、如图,已知在⊙ O 中,∠BOC =150°, 75° 。 则∠A=
2、已知一条弧所对的圆周角等于500, 则这条弧所对的圆心角是 100° 度?
O B A

C

3、已知一条弧的度数为400,求这条弧所对 的圆心角的度数是 40° ,圆周角的度数 是 2 0° 。

仔细选一选 1、如图,在⊙O中,∠B=50°, 则∠AOC等于(D ) A、50°; B、80°; C、90°; D、100°
A B O C

2、如图,△ABC是等边三角形, 动点P在圆周的劣弧AB上,且不 与A、B重合,则∠BPC等于( B ) A A、30°; B、60°; C、90°; D、45°

C

B

P

仔细选一选
3、如图,∠BAC=50°, ∠AOC=120 ° BD是⊙O的直径,则∠AEB等于( B ) A、70°; B、110°; C、90°; D、120°
A E D O B C

4、如图,△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2, 则⊙O的半径是 2 。
解:连接OA、OB ∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2,即半径为2。 A

C O

B

练一练
5、如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到 点C,使DC=BD,连接AC交⊙O于点F,点F不与点A 重合。 (1)AB与AC的大小有什么关系?为什么? (2)按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三 角形,并说明理由。 A
解:(1)AB=AC。 证明:连接AD ∵AB是直径,∴∠ADB=90°,
O

·
D

F C

又∵DC=BD,∴AB=AC。 (2)△ABC是锐角三角形。

B

由(1)知,∠B=

∠C<90 °
连接BF,则∠AFB=90 °,∴∠A<90 ° ∴△ABC是锐角三角形

给你一把直尺和一把圆 规,你能画出公共边为斜边 的一对直角三角形么?

思考:
的圆心.

给你一把直尺,你能确定下列哪一个圆

例1: 已知,如图,四边形
ABCD的四个顶点都在⊙O上。 求证:∠B+∠D=1800
A D C O

B E

若∠D=1200,则∠CBE是多少度?

你能解决它吗?
B

A

如图, △ABC是⊙O的内 接三角形,AD是 ⊙O的直 径,∠ABC=500,

O D C

求∠CAD的度数.

如图,⊙C经过原点且与两条坐标轴交于点 A和点B,点A坐标为(0,4),M为劣弧上 一点,∠BMO=1200, 求⊙C的半径和圆心C的坐标。
A C E O M

B

探索研究:
如果圆周角和圆心角对着同一条弧, 那么这两个角存在怎样的关系?请告诉 大家你的数学猜想。
A

O
B

.
C

命题:一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。

补充知识点
在同圆或等圆中, 圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时,每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等,所以整个圆也被 等分成360份。我们把1°的圆 心角所对的弧叫做1°的弧。
1°的圆心角 O

.

B

DC 1°的弧

在同圆或等圆中,圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。


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