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二次函数经典习题

发布时间:2013-12-26 09:47:17  

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 二次函数练习题

1、二次函数y=-x2

+6x+3的图象顶点为_________对称轴为________。 2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________。

3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_______个,交点坐标为_____________。 4、y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是________,与y轴交点坐标是_________。

5、由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向__________平移________个单位,再向_______平移______个单位得到。 6、求y=2x2

+x-1与x轴、y轴交点的坐标。。

7、求y=

13x2?1

2

x?2的顶点坐标。 8、已知二次函数图象顶点坐标(-3,111

2)且图象过点(2,2

),求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

9、已知二次函数图象与x轴交点(2,0)(-1,0)与y轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。 10、分析若二次函数y=ax2+bx+c经过(1,0)且图象关于直线x=1

2

,对称,那么图象还必定经过哪一点? 11.二次函数y=-3x2

-2x+1,∵a=_________ ∴图象开口向________ 12.二次函数y=2x2-1 ∵a=_________∴函数有最_________值。

13.二次函数y=x2

+x+1 ∵b2

-4ac=_______∴函数图象与x轴______交点。

14.二次函数y=x2-2x-3的图象是开口向_________的抛物线,抛物线的对称轴是直线______,抛物线的顶点坐标是____________。

15.已知y=ax2+bx+c的图象如下,则:0,a+b+c_______0,a-b+c__________0。2a+b________0 , b20.

本试卷共50页,第1页

17.求y=x2-5x+6与x轴交点的坐标

18.求抛物线y=x2+x+2与直线x=1的交点坐标。 19.根据下列条件求关于x的二次函数的解析式 (1) 当x=3时,y最小值=-1,且图象过(0,7) (2) 图象过点(0,-2)(1,2)且对称轴为直线x=3

2

(3) 图象经过(0,1)(1,0)(3,0) (4) 当x=1时,y=0;x=0时,y= -2,x=2 时,y=3 (5) 抛物线顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)

20.用一个长充为

6分米的铁比丝做成一个一条边长为x分米的矩形,设矩形面积是y平方分米,求①y关于x的函数关系式 ②当边长为多少时这个矩表面积最大?

21.在一边靠墙的空地上,用砖墙围成三格的矩形场地(如下图)已知砖墙在地面上占地总长度160m,问分隔墙在地面上的长度x为多少小时所围场地总面积最大?并求这个最大面积。

22.将10cm长的线段分成两部分,一部分作为正方形的一边,另一部分作为一个等腰直角三角的斜边,求这个正方形和等腰直角三角形之和的最小值。

23.y=ax2+bx+c中,a<0,抛物线与x轴有两个交点A(2,0)B(-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________

24.当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x1= -3,x2=1时,且与y轴交点为(0,-2),求这个二次函数的

解析式

25.抛物线y=3x-x2+4与x轴交点为A,B,顶点为C,求△ABC的面积。

26.一男生推铅球,铅球出手后运动的高度y(m),与水平距离x(m)之间的函数关系是

y=?

12212x?3x?5

3

, 求该生能推几米? 27.已知二次函数y=x2+mx+m-5,求证①不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点;②当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短。

本试卷共50页,第2页

28.二次函数y=ax2+bx+c (a≠0),若b=0,c=0则y=ax2; b=0 , c=≠0 ,则y= ________。

29.矩形周长为16cm, 它的一边长为xcm,面积为ycm2,则y与x之间函数关系为______。

30.抛物线y=12x2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为__________。

31.一个二次函数的图象顶点坐标为(2,1),形状与抛物线y= - 2x2相同,这个函数解析式为_____。

32.二次函数y=2x2-x ,当x_______时y随x增大而增大,当x _________时,y随x增大而减小。

33.y=mxm2+3m+2是二次函数,则m的值为( )

A、0,-3 B、0,3 C、0 D、-3

34.关于二次函数y=ax2+b,命题正确的是( )

A、若a>0,则y随x增大而增大 B、x>0时y随x增大而增大。

C、若x>0时,y随x增大而增大 D、若a>0则y有最大值。

35.已知二次函数的图象顶点是(-1,2),且经过(1,-3),求这个二次函数。

36.求抛物线y=2x2+4x+1的对称轴方程和最大值(或最小值),然后画出函数图象。

37.二次函数y=x2-5x+6,则图象顶点坐标为_______,当x______时,y>0。

38.抛物线y=ax2+bx+c的顶点在y轴上则a、b、c中39.抛物线y=x2-kx+k-1,过(-1,-2),则k=_______

40.当m__________时,y=x2-(m+2)x+14m2与x轴有交点

41.如图是y=ax2+bx+c的图象,则a___0 b____0 c___0 a+b+c______0

b2-4ac____0,b+c_____0 , 2a+b____0

42.y=x2-1可由下列( )的图象向右平移1个单位,下平移2个单位得到

A、y=(x-1)2+1 B、y=(x+1)2+1 C、y=(x-1)2-3 D、y=(x+1)2+3

43.y= -x2+2(k-1)x+2k-k2,它的图象经过原点,求①解析式 ②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

44.y= ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C,OA=2,OB=1 ,OC=1,求函数解析式(求出所有可能的情况)

45.二次函数y=ax2+bx+c,当x= -1时y=10; x=1时 y=4 ,x=2 时 y=7则函数解析式为_________.

46.二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,其开口方向由_________来确定。

本试卷共50页,第3页 47.方程ax2+bx+c=0的两根为-3,1则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线____________ 48.已知y=(k2-k) x2+kx 是二次函数,则k必须满足的条件是________________ 49.已知直线y=2x-1 与两个坐标轴的交点是A、B,把y=2x2平移后经过A、B两点,则平移后的二次函数解析式为_______________ 50.与抛物线y= -x2+2x+3,关于x轴对称的抛物线的解析式为______________ 51..线y= (k2-2)x2+m-4kx的对称轴是直线x=2,且它的最低点在直线y= -12+2上,求函数解析式。 52.次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)(0,3),对称轴x= -1。①求函数解析式②若图象与x轴交于A、B(A在B左)与y轴交于C,顶点D,求四边形ABCD的面积。 53.二次函数y=-x2+kx+12的图象与x轴交点都位于(6,0)左侧,求k的取值范围。 54.当x=1时,二次函数y=3x2-x+c的值是4,则C=_________ 55..二次函数y=x2+c经过点(2,0),则当x= -2时,y=____________ 56.抛物线y=(k-1)x2+(2-2k)x+1,那么此抛物线的对称轴是直线_________,它必定经过________和___________ 57.一个正方形的面积为16cm2,当把边长增加x cm时,正方形面积为y cm2,则y关于x的函数为____________。 58.如果抛物线y=12x2-mx+5m2与x轴有交点,则m___________ 59.下列变量之间是二次函数关系的有( )个.A、1 B、2 C、3 D、4 60.已知二次函数y=(k2-1)x2+2kx-4与x轴的一个交点A(-2,0),则k值为( ) A、2 B、-1 C、2或-1 D、任何实数 61.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( ) A、一二三象限 B、一二四象限 C、一三四象限 D、一三四象限 62.已知y=ax2+bx+c中a<0,b>0,c<0 ,Δ<0,画出函数的大致图象。 63.已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12,求证,不论m取何实数图象总与x轴有两个交点。 64.甲乙两船航行于海上,甲船的位置在乙船北方125km,以15km/h的速度向东行驶,乙船以20km/h的速度向北行驶,则多久两船相距最近?最近距离多少? 65.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B、C两点,问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形,如果存在求m;若不存在说明理由。

本试卷共50页,第4页

?

? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 2009年中考试题专题之13.3-二次函数试题 60、(2009年福州)如图9,等边?ABC边长为4,E是边BC上动点,EH?AC于H,过E58、(2009年福州)已知直线l:y=-x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点,点C、M分别在 线段OA、AB上,且OC=2CA,AM=2MB,连接MC,将△ACM绕点M旋转180°,得到△作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE?EB。设EC?x(0?x?2)。 FEM,则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿(1) 请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线); MN所在直线翻折,得到△PMG,其中P与A为对称点.记:过点F的(2) Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求□EFPQ的面积(用含双曲线为C1,过点M且以B为顶点的抛物线为C2,过点P且以M为x的代数式表示); 顶点的抛物线为C(3) 当(2)中 的□EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此3. 时□EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围。 (1) 如图10,当m=6时,①直接写出点M、F的坐标,②求C1、C2的函数解析式; (2)当m发生变化时, ①在C1的每一支上,y随x的增大如何变化?图10 请说明理由。 ②若C2、C3中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。 59、(2009年宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x的正半 轴上,BC∥OA,OC=AB,tan∠BAO=4 3,点B的坐标为(7,4)。 61、(2009年重庆)某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y(元)与月份(1)求A、C的坐标; (2)求经过点O、B、C的抛物线的解析式; x之间满足函数关系y??50x?2600,去年的月销售量p(万台)与月份x之间成一次函数关(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的系,其中两个月的销售情况如下表: 直线将该梯形分成面积相等的两个部分?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理月份 1月 5月 由.

销售量 3.9万台 4.3万台 (1)求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大?最大是多少? (2)由于受国际金融危机的影响,今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%,且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%.国家实施“家电下乡”政策,即对农村家庭购买新的家电产品,国家按该产品售价的13%给予财政补贴.受此政策的影响,今年3至5月份,该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下,平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台.若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元,求m的值(保留一位小数). 5.8315.9166.0836.164)

本试卷共50页,第5页 本试卷共50页,第6页

62、(2009年重庆)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DE⊥DC,交OA于点E.

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式;

(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为6

5,那么EF=2GO

是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;

(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线CQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

63、(2009年广西钦州)如图,已知抛物线y=3

4x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三

点, A点的坐标为(-1,0),过点C的直线y=3

4tx-3与x轴交于点Q,点P是线段BC

上的一个动点,过P作PH⊥OB于点H.若PB=5t,且0<t<1.

(1)填空:点C的坐标是_▲_,b=_▲_,c=_▲_;

(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);

(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P、H、Q为顶点的

三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.

本试卷共50页,第7页 64、(2009年广西梧州)如图(9)-1,抛物线y?ax2?3ax?b经过A(?1,0),C(3,?2)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B. (1)求此抛物线的解析式; (2)若直线y?kx?1(k?0)将四边形ABCD面积二等分,求k的值; (3)如图(9)-2,过点E(1,1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°得△MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应),使点M、N在抛物线上,作MG⊥x轴于点G,若线段MG︰AG=1︰2,求点M,N的坐标. 65. (2009年甘肃定西)如图14(1),抛物线y?x2?2x?k与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,?3).[图14(2)、图14(3)为解答备用图] (1)k? ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ; (2)设抛物线y?x2?2x?k的顶点为M,求四边形ABMC的面积; (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积最大?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线y?x2?2x?k上求点Q,使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形.

本试卷共50页,第8页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学

66、2009年包头)某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数

y?kx?b,且x?65时,y?55;x?75时,y?45.

(1)求一次函数y?kx?b的表达式;

(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?

(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.

67、(2009年包头)已知二次函数y?ax2

?bx?c(a?0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),

C(0,?2),直线x?m(m?2)与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式;

(2)在直线x?m(m?2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);

(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.

68、(2009年长沙)如图,二次函数y?ax2

?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A、B两点,

与y轴相交于点C.连结AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(?3,

0)、

C(0,且当x??4本试卷共50页,第9页

和x?2时二次函数的函数值y相等.

(1)求实数a,b,c的值;

(2)若点M、N同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将△BMN沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B,N,Q为项点的

三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

(3)点P是抛物线y

?

14

x2

对称轴右侧图象上的一动点,过点P作

PQ⊥PO交x轴于点Q,

是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 70、(2009宁夏)如图,抛物线y??

12x2?2

x?2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点. (1)求A、B、C三点的坐标;

(2)证明△ABC为直角三角形;

(3)在抛物线上除C点外,是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

本试卷共50页,第10页

71、(2009肇庆)已知一元二次方程x2

? px?q?1?0的一根为 2. (1)求q关于p的关系式;

(2)求证:抛物线 y?x2

?px?q与x轴有两个交点;

(3)设抛物线y?x2

?px?q的顶点为 M,且与 x 轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,求使△AMB 面积最小时的抛物线的解析式.

72、1.(2009年中山)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,

(1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;

(2)设BM?x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积; (3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求x的值. 2.(2009年漳州)阅读材料,解答问题. 例:用图象法解一元二次不等式:x2

?2x?3?0. 解:设y?x2

?2x?3,则y是x的二次函数.

?a?1?0, ∴抛物线开口向上.

本试卷共50页,第11页

又?当y?0时,x2

?2x?3?0,

解得x1??1

,x2?3. ?由此得抛物线y?x2?2x?3的大致图象如图所示.

观察函数图象可知:当x??1或x?3时,y?0.

?x2?2x?3?0的解集是:x??1或x?3.

(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x2

?2x?3?0的解集是 (2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:x2?1?0.(大致图象画在答题卡...上)

75、(2009年漳州)如图1,已知:抛物线y?12

x2

?bx?c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,经过B、C两点的直线是y?

1

2

x?2,连结AC. (1)B、C两点坐标分别为B(_____,_____)、C(_____,_____),抛物线的函数关系式为

(2)判断△ABC的形状,并说明理由; (3)若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC(顶点D、E、F、G在△ABC各边上)?若能,求出在AB边上的矩形顶点的坐标;若不能,请说明理由.

[抛物线y?ax2

?bx?c的顶点坐标是??b??2a

,4ac?b2?

4a??]

图1 图2(备用)

本试卷共50页,第12页

?

? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 76、(2009年哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x米.矩形ABCD的面积为S平方米.

(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).

(2)当x为何值时,S有最大值?并求出最大值.

(参考公式:二次函数y?ax2

?bx?c(a?0),当x??b

4ac?b22a

时,y最大(小)值?4a)

77、(2009年牡丹江)如图二次函数y?x2

?bx?c的图象经过A??1

,0?和B?3,0?两点,且交y轴于点C.

(1)试确定b、c的值;

(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点,试确定△MCD的形状.

?b4ac?b2参考公式:顶点坐标??

??2a4a? ?

78、(2009年兰州)如图17,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米. 现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标; (2)求这条抛物线的解析式;

(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB, 使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上, 则这个“支撑架”总长的最大值是多少?

77、(2009年遂宁)25.如图,二次函数的图象经过点D(0,7),且顶点C的横坐标为4,该

9

本试卷共50页,第13页

图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式;

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标;

⑶在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

x??1,

8、(2009年济南)已知:抛物线的对称轴为与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中

A??3,0?、C?0,?2?.

(1)求这条抛物线的函数表达式.

(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标. (3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.

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9、(2009年凉山州)如图,已知抛物线y?x?bx?c经过A(1 ,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;

2

若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。

4.(2009年衡阳市)已知二次函数的图象过坐标原点,它的顶点坐标是(1,-2),求这个二次函数的关系式.

5.(2009年益阳市)阅读材料:

A 如图12-1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直

(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式;

(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标. (第26

题)

83、(2009年广州市)如图13,二次函数y?x2?px?q(p?0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),ΔABC的面积为5

4

。 (1)求该二次函数的关系式;

(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴上午垂线,若该垂线与ΔABC的

外接圆有公共点,求m的取值范围;

(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ABCD为直角梯形?

本试卷共50页,第15页 线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出

一种计算三角形面积的新方法:S1

?ABC?ah,即三角形面积等于水2

平宽与铅垂高乘积的一半. 图12-1

解答下列问题:

如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式;

(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,

求△CAB的铅垂高CD及S?CAB; (3)是否存在一点P,使S9

△PAB=

8

S△CAB,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

y B

1

x

O

1

A

图12-2

89、(2009年济宁市)某体育用品商店购进一批滑板,每件进价为100元,售价为130元,每星期可卖出80件.商家决定降价促销,根据市场调查,每降价5元,每星期可多卖出20件.

(1)求商家降价前每星期的销售利润为多少元?

本试卷共50页,第16页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 (2)降价后,商家要使每星期的销售利润最大,应将售价定为多少元?最大销售利润是多少?

90、(2009年株洲市)如图1,Rt?ABC中,?A?90?,tanB?

3

4

,点P在线段AB上运动,点Q、R分别在线段BC、AC上,且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为x,矩形APQR的面积为y,已知y是x的函数,其图象是过点(12,36)的抛物线的一部分(如图2所示). (1)求AB的长;

(2)当AP为何值时,矩形APQR的面积最大,并求出最大值. 为了解决这个问题,孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论: 张明:图2中的抛物线过点(12,36)在图1中表示什么呢?

李明:因为抛物线上的点(x,y)是表示图1中AP的长与矩形APQR面积的对应关系,那么,(12,36)表示当AP?12时,AP的长与矩形APQR面积的对应关系. 赵明:对,我知道纵坐标36是什么意思了!

孔明:哦,这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了. 请根据上述对话,帮他们解答这个问题. C

RQ

A

P

B

图1

图2

3.(2009年株洲市)已知?ABC为直角三角形,?ACB?90?,AC?BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m?0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.

(1)求点A的坐标(用m表示); (2)求抛物线的解析式;

本试卷共50页,第17页

(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结 BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC?EC)

93. (2009年重庆市江津区)某商场在销售旺季临近时 ,某品牌的童装销售价格呈上升趋势,假如这种童装开始时的售价为每件20元,并且每周(7天)涨价2元,从第6周开始,保持每件30元的稳定价格销售,直到11周结束,该童装不再销售。 (1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系;

(2)若该品牌童装于进货当周售完,且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为

z??1

8

(x?8)2?12, 1≤ x ≤11,且x为整数,那么该品牌童装在第几周售出后,每件获

得利润最大?并求最大利润为多少?

94、 (2009年重庆市江津区)如图,抛物线y??x2

?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)

两点,

(1)求该抛物线的解析式;

(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题

本试卷共50页,第

第26题图

解:(1)由抛物线C1:y?a?x?2??5得

顶点P的为(-2,-5)

∵点B(1,0)在抛物线C1上

∴0?a?1?2?2?5

5

解得,a 9

(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G ∵点P、M关于点B成中心对称 ∴PM过点B,且PB=MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG=PH=5,BG=BH=3

∴顶点M的坐标为(4,5)

抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到

2

∴抛物线C3的表达式为y??

95、(2009年宁德市)如图,已知抛物线C1:y?a?x?2??5的顶点为P,与x轴相交于

2

A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.

(1)求P点坐标及a的值;(4分)

(2)如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;(4分)

(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.(5分)

【关键词】二次函数,勾股定理的运用

(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称 由(2)得点N的纵坐标为5

设点N坐标为(m,5) 作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G 作PK⊥NG于K

∵旋转中心Q在x轴上

∴EF=AB=2BH=6

∴FG=3,点F坐标为(m+3,0) H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),

根据勾股定理得

PN2=NK2+PK2=m2+4m+104 PF2=PH2+HF2=m2+10m+50 NF2=52+32=34

4419

①当∠PNF=90o时,PN2+ NF2=PF2,解得m=,∴Q点坐标为(,0)

33102

=90o时,PF2+ NF2=PN2,解得mQ点坐标为(,0)

33

NK=10>NF,∴∠NPF≠90o

192

Q点坐标为(,0,033 y?ax2?bx经过点A(?3,?3)和点P A,如图12, y的最小值,

并写出t的值; (2)若t??4,求a、b的值,并指出此时抛

物线的开口方向;

5

?x?4?2?5 9

本试卷共50页,第19页 本试卷共50页,第20页

图12

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 (3)直.接.写出使该抛物线开口向下的t的一个值.

98、(2009年潍坊)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为1的圆的圆心O在坐标原点,且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点.抛物线y?ax2

?bx?c与y轴交于点D,与直线y?x交于点M、N,且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C. (1)求抛物线的解析式;

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆O于F,求EF的长.

P,判断点P是否在抛物线上,说明理由.

99、(09湖北宜昌)已知:直角梯形OABC的四个顶点是O(0,0),A(

32

,1), B(s,t),C(

72

0),抛物线y=x2+mx-m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点,m为常数. (1)求s与t的值,并在直角坐标系中画出..直角梯形OABC; (2)当抛物线y=x2+mx-m与直角梯形OABC的边AB相交时,求m的取值范围.

(第24题)

本试卷共50页,第21页

100、(09湖南怀化)如图11,已知二次函数y?(x?m)2

?k?m2

的图象与x轴相交于两个不

同的点A(x1,

0)、B(x2,0),与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.

(1)求⊙P与y轴的另一个交点D的坐标;

(2)如果AB恰好为⊙P的直径,且△ABC的面积等于,求m和k的值.

S△ABC?

12AB?OC?1

2

?1?解得m??2.

101、(09湖南邵阳)如图(十二),直线l的解析式为y??x?4,它与x轴、y轴分别相交于A、B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发,沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动,它与x轴、y轴分别相交于M、N两点,设运动时间为t秒(0?t≤4). (1)求A、B两点的坐标;

(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1;

)以MN为对角线作矩形

(3OMPN,记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2,

①当2?t≤4时,试探究S2与t之间的函数关系式;

②在直线m的运动过程中,当t为何值时,S2为△OAB面积的5

16

本试卷共50页,第22页

102、(2009安徽年)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义. 【解】

(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的

函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果. 【解】

(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函

数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果, 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大. 【解】

(2009年湖北荆州)已知:点P(a?1,a?1)关于x轴的对称点在反比例函数y??8

x

(x?0)的图像上,

本试卷共50页,第23页

y关于x的函数y?k2x2?(2k?1)x?1的图像与坐标轴只有两个不同的交点A﹑B,求P点坐

标和△PAB的面积.

(2009年湖北荆州)由于国家重点扶持节能环保产业,某种节能产品的销售市场逐渐回暖.某经销商销售这种产品,年初与生产厂家签订了一份进货合同,约定一年内进价为0.1万元/台,并预付了5万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量,且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元,但不高于40万元.若一年内该产品的售价y(万元/台)与

??0.05x?0.25(1?x?4)月次x(1?x?12且为整数)满足关系是式:y??

?0.1(4?x?6),一年后发现

??

0.015x?0.01(6?x?12)实际..

每月的销售量p(台)与月次x之间存在如图所示的变化趋势. ⑴ 直接写出实际......每月的销售量p(台)与月次x之间 的函数关系式;

⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润w(万元)与月 次x之间的函数关系式;

⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高,并指出最高售价; ⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量.

x

(2009年茂名市)如图,把抛物线y?x2

与直线y?1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后,再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1,则下列结论错误..的是( ) A.点O1的坐标是(1,0) B.点C1的坐标是(2,

?1) C.四边形O1BA1B1是矩形 D.若连接OC,则梯形OCA1B1的面积是3

本试卷共50页,第24页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学

103、(2009年茂名市)茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表,请你解

(1)设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨,利润分别为y1元和y2元,分别求y1和y2 与

x的函数关系式(注:利润=总收入-总支出)

;(6分) (2)已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨,若某月要生产甲、乙两种塑料

共700吨,求该月生产甲、乙塑料各多少吨,获得的总利润最大?最大利润是多少?(4分)

104、(2009年茂名市)如图,在Rt△ABC中,?BAC?90°,?C?60°,BC?24,点P是BC边上的动点(点P与点B、C不重合),过动点P作PD∥BA交AC于点D. (1)若△ABC与△DAP相似,则?APD是多少度? (2分) (2)试问:当PC等于多少时,△APD的面积最大?最大面积是多少? (4分) (3)若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切,求线段BP的长.(4分)

本试卷共50页,第25页

A

D

60B

P C

105、1.(2009年湖北十堰市)如图①, 已知抛物线y?ax2?bx?3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y轴交于点C. (1) 求抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.

y2107、(2009年山东青岛市)某水产品养殖企业为指导该企 本试卷共50页,第26页

业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水

3

产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y??x?36,而其每千克成本y2

8

(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示. (1)试确定b、c的值;

(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;

(3)“五2一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

108、(2009年新疆乌鲁木齐市)如图9,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为. A(4,、0)C(0,2),D为OA的中点.设点P是?AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;

(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的

抛物线的解析式;

(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;

(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使

?CPN?90°?若存在,请直接写出点P的坐标. 109、19.(2009 年佛山市)(1)请在坐标系中画出二次函数

(2)设BM?x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出最大面积;

(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时x的值. A

D

N

B

M

C

9

111、(2009年山西省)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系

y甲?0.3x;乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y乙?ax2?bx(其中a?0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万

元;进货量x为2吨时,销售利润y乙为2.6万元.

y??x2?2x的大致图象;

(2)在同一个坐标系中画出y??x?2x的图象向上平移两个单位后的图象;

(3)直接写出平移后的图象的解析式.

注:图中小正方形网格的边长为1.

第19题图

110、(2009年广东省)正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直, (1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN;

(1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式.

(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少? 112、(2009年黄石市)已知关于x的函数y?ax?x?1(a为常数)

(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;

(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.

113.(2009年黄石市)为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着补贴款额x的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益Z(元)会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系.

2

2

本试卷共50页,第27页 本试卷共50页,第28页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学

)

(1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元? (2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式;

(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大,政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益w的最大值.

113、(2009年黄石市)正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中,A在x轴正半轴上,D在y轴的负半轴上,AB交y轴正半轴于E,BC交x轴负半轴于F,OE?1,抛物线

y?ax2?bx?4过A、D、F三点.

(1)求抛物线的解析式;(3分)

(2)Q是抛物线上D、F间的一点,过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M,交BC所在

直线于N,若S3

四边形AFQM?

2

S△FQN,则判断四边形AFQM的形状;

(3分) (3)在射线DB上是否存在动点P,在射线CB上是否存在动点H,使得AP⊥PH且

AP?PH,若存在,请给予严格证明,若不存在,请说明理由.

(4分)

114、(2009年云南省)如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,4)

和B(?2,0),连结AB.

本试卷共50页,第29页

(1)现将△AOB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AO1B1,请画出△AO1B1,并直接写

出点B1、O1的坐标(注:不要求证明);

(2)求经过B、A、O1三点的抛物线对应的函数关系式,并画出抛物线的略图.

115、(2009年枣庄市)如图,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与x轴的另一个交点为B.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在抛物线上求点M,使△MOB的面积是△AOB面积的3倍;

(3)连结OA,AB,在x轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN与△OAB相似?若存在,求出N点的坐标;若不存在,说明理由.

一选择题:

1、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数,则m=( )

A -1 B 2 C -1或2 D m不存在

2、下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( ) A 在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间的关系

本试卷共50页,第30页

B

我国人中自然增长率为1%,这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D

圆的周长与半径之间的关系

3、在Rt△ABC中,∠C=90。

,

AB=5,AC=3.则sinB的值是( ) A

35 B45 C 34

4 D3

4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2)2+2 B y=—( x+2)2+2 C y=— ( x+2)2+2 D y=—( x-2)2—2 5、抛物线y=

12

x2

-6x+24的顶点坐标是( ) A (—6,—6) B (—6,6) C (6,6) D(6,—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,

①abc〈0 ②a+c〈b ③ a+b+c 〉0 ④ A 1 B 2 C 3 D 4

7、函数y=ax2-bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),则 ab?c =ba?c

=c

a?b

的值是( )

A -1 B 1 C 11

2 D -2

8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系内的大致图象是图中的( ) 9、如图所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B积为( )

A 6 B 4 C 3 D1

10、如图所示,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且cosα= 3

5

, AB=4,则AD的长为( ) C

本试卷共50页,第31

B

A 3 B

163 C 20163 D 5

11 某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面,如图所示,其拱形图形为抛物线的一部分,

栅栏的路径A B间,按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高OC为0.6米,以O为原点, OC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,确到0.1米)为( )米

A 1.5 B 1.9 C 2.3 D 2.5

12、如图所示,已知△ABC中,BC=8,BC上的高h=4,B与点E,交AC于点F(EF不过A、B),设E到BC的距离为x,则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )

二填空题:

13、无论m为任何实数,总在抛物线y=x2+2mx+m上的点的坐标是———————————————。 14、函数y=

11?2?x

中的自变量的取值范围是———————————————。

15、已知α为等边三角形的一个内角,则sinα等于———————————————。

16、若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2,最小值为-2,则关于方程ax2+bx+c

=-2的根为———————————————。 17、抛物线y=(k+1)x2+k2-9开口向下,且经过原点,则k=—————————

18、如图,在直角坐标系中,将矩形OABC沿OB对折,使点A落

在点A1处,已知OA=3,AB=1,则点A1的坐标是———————

解答题: 19 计算:2cos60°+sin60°-3tan45°

本试卷共50页,第32页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学

20、 如图,河对岸有古塔AB,小敏在C处测得塔顶A的仰角α,向塔前进s米到达D点,

在D处测得A的仰角为β,则塔高是多少米?

A

C D B

21 已知抛物线y=x2+(n-3)x+n+1经过坐标原点O。

⑴ 求这条抛物线的顶点P的坐标

⑵设这条抛物线与x轴的另外一个交点为A,求以直线PA为图象的一次函数解析式

22 已知:在△ABC中,BC=20,高AD=16,内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上,G、H 分

别在AC、AB上,求内接矩形EFGH的最大面积。

第二十六章 二次函数

一、填空题

1.抛物线y=-x2+2的顶点坐标是________,对称轴是________,开口向________. 2.把抛物线y=3x2

沿x轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=3(x-1)2

本试卷共50页,第33页

把抛物线y=3x2 沿y轴向________平移________个单位即可得到抛物线y=3x2+2.

3.抛物线y=x2-3x与x轴的交点坐标是________________________.抛物线y= -x2+3x-5与y轴的交点坐标是____________.

4.抛物线y=2(x-3)2+5,当x <________时,y的值随x值的增大而________,当x>________时,y的值随 x 值的增大而________;当x=________时,y取得最________值,最________值=________.

5.已知二次函数y=-4x2-2mx+m2与反比例函数y=2m?4

x

的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2,则m的值是 .

6.函数y=kx2

-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是 . 7.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过第二,三,四象限,则a 0,b 0,c 0. 8.顶点为(-2,-5)且过点(1,-14)的抛物线的解析式为 9.对称轴是y轴且过点A(1,3),点B(-2,-6)的抛物线的解析式为顶点坐标为______________.

10.已知二次函数y=(m-

1)x2

+2mx+3m-2,则当m= 时,其最大值为0. 11.若二次函数y=mx2

-3x+2m-m2

的图象经过原点,则m=_________. 12.已知二次函数y=mx2

+(m2

-m)x+2的图象关于y轴对称,则m=________. 13.抛物线y=3x2-6x+5化成顶点式是______________,当x_____时,y随x的增大而减少;当x_____时,y随x的增大而增大.

14.一男生推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y=-

112

x2

+23

x+5

3,则铅球推出的水平距离为______________m.

二、选择题

1.二次函数y=x2-(12-k)x+12,当x>1时,y随着x的增大而增大,当x<1时,y随

本试卷共50页,第34页

着x的增大而减小,则k的值应取( ).

A.12

B.11

C.10

D.9

2.下列四个函数中,y的值随着x值的增大而减小的是( ).

3.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于( ). A.8

B.14

C.8或14

D.-8或-14

4.当a>0,b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+

bx+c的是( ).

5.不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( ). A.a>0,Δ>0

B.a>0,Δ<0

C.a<0,Δ<0

D.a<0,Δ<0

6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2-4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,值为正数的有( ).

A.4个 B.3个 C.2个

D.1个

三、解答题

1.根据条件求二次函数的解析式:

(第6题)

(1)抛物线过(-1,0),(3,0),(1,-5)三点,并求出x在2≤x≤4范围内的最大或最小值.

本试卷共50页,第35页

(2)抛物线在x轴上截得的线段长为4,且顶点坐标是(3,-2).

(3)二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0),且最大值是3.

2.已知点A(-2,-c)向右平移8个单位得到点A?,A与A?两点均在抛物线y= ax2+bx+c上,且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为-6,求这条抛物线的顶点坐标.

3.如图有一座抛物线形拱桥,桥下面的正常水位时AB宽20 m,水位上升3 m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10 m.

(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式.

(2)若洪水到来时,水位以每小时0.2 m的速度上升,从警戒线开始,再持续多少小时水

本试卷共50页,第36页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 到拱桥顶?

4.已知抛物线y=-x2+5x+n经过点A(1,0),与y轴交于B点, (1)求抛物线解析式;

(2)P是y轴正半轴上一点,且△PAB是以AB为腰的等腰三角形,求P点坐标.

(第4题)

5.已知,如图二次函数的图象与x轴两交点A,B间的距离为8,顶点为C,此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为6,且△ABC的面积为32,求此二次函数的解析式.

本试卷共50页,第37页 (第5题)

6.如图,对称轴为直线x=的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形.求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

①当平行四边形OEAF的面积为24时,请判断平行四边形OEAF是否为菱形?

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(第6题)

第二十六章 二次函数

本试卷共50页,第38页

参考答案

一、填空题:

1.(0,2),y轴,下. 解析:顶点坐标x=-0

2?(?1)

=0,y=4?(?1)?24?(?1)=2,a=-1<0,开口向下.

2.右,1,上,2.

解析:由y=3(x-1)2可知将y=3x2

的图像右移1个单位即可得到;y=3x2+2可由

y=3x2的图像向上平移2个单位即得.

3.(0,0),(3,0),(0,-5).

解析:令y=0,x2-3x=0,x1=0,x2=3;与x轴的交点(0,0),(3,0);当x=0时,y=-5,与y轴的交点(0,-5).

4.3,减小,3,增大,3,小,小,5.

解析:该抛物线的开口向上,对称轴为x=3,当x<3时y随x的增大而减小;当x>3时y随x的增大而增大;x=3时,y有最小值5.

5.-7.

解析:y=2m+4

?2

,y=-4×(-2) 2-2m(-2)+m2,∵ y1=y2,化简得m2+5m-14=0,

∴ m1=-7,m2=2,反比例函数在第二,四象限,2m+4 <0,∴ m=2舍去.

6.k≤3.

解析:Δ=36-12k ≥0. 7.<,<,<.

解析:抛物线开口向下,则a<0,而-b

2a

<0,则b<0,c<0. 8.y=-(x+2)2-5=-x2-4x-9.

解析:y=a(x+2)2-5,当x=1时,y=-14,-14=9a-5,a=-1. 9.y=-3x2+6,(0,6).

本试卷共50页,第39页

解析:设y=ax2+k,a+k=3,4a+k=-6可解得a=-3,k=6,y=-3x2+6. 10.

1

2

. 解析:4(m?1)(3m?2)?(2m)24(m?1)=0,m1=1

2

,m2=2,又m-1<0, ∴ m<1,

∴ m=

12

. 11.2.

解析:当x=0时,y=0,2m-m2=0,m1=0(舍去),m2=2. 12.1.

解析:抛物线关于y轴对称,则b=0. 令m2-m=0得m=1或m=0(舍去). 13.y=3(x-1)2+2, <1,>1.

解析:y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2 ,对称轴:直线x=1. 14.10.

解析:当y=0时,-

12512x+2

3x+3

=0,x1=10,x2=-2(舍去).

二、选择题 1.C 解析:∵ ?b

?(2a=-12?k)2=12?k2

=1,∴ k=10. 2.B

解析:参考4个函数的图象,y=1

x

(x>0)满足要求. 3.C

解析:y=(x-3)2+c-11,∴ c?=3,∴ c1=14或c2=8. 4.A

解析:∵ a>0,b<0, ∴ -b

2a

>0,抛物线的顶点可能在第一或第四象限, 而c>0,则A图满足条件.

本试卷共50页,第40页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 5.B

解析:图象开口向上,且与x轴无交点,所以a>0且Δ<0. 6.B

解析:∵ a>0,?b2a>0,c<0.∴ a>0,b<0,c<0,∴ abc>0,又∵ ?b2a

<1, ∴

b

2a

>-1,b>-2a,即2 a+b>0. 又图像与x轴有两个交点,∴Δ>0.当x=1时,y=a+b+c<0. 四个式子中,值为正数的有3个.

三、解答题

1.(1)解:设抛物线解析式为y=a(x+1)(x+3). ∵ 当x=1时,y=-5, ∴(1+1)(1-3)a=-5, ∴ a=54

∴ y=54(x+1)(x-3)=55

1554x2-2x-4

=4(x-1) 2-5.

当x>1时,y随x增大而增大. ∴ 当x=2时,y15

最小=-4

; 当x=4时,y最大=

254

. ∴ 当2≤x≤4时,函数最小值为-15

254,最大值为4

(2)解:设抛物线与x轴交于点A(x1,0)B(x2,0),x1<x2. ∵ 顶点(3,-2),AB=4, ∴ A(1,0),B(5,0). 设抛物线y=a(x-1)(x-5) . 当x=3时,y=-2.

本试卷共50页,第41页

∴ a(3-1)(3-5)=-2. ∴ a=1

2

. ∴ y=

1152(x-1)(x-5)=2x2-3x+2

. (3)解:∵ 二次函数图像经过点(-1,0),(3,0), ∴ 对称轴是直线 x=

?1?3

2

=1. ∴ 顶点坐标是(1,3).

设抛物线解析式为y=a(x-1) 2+3. ∵ 当 x=-1时,y=0, ∴ (-1-1) 2a+3=0. ∴ a=-3

4

, ∴ y=-

3

4

(x-1) 2+3. 2.解:由题意:A′(-2+8,-c)即A′(6,-c). ∴ 4a-2b+c=-c,36a+6b+c=-c,c=-6, 解得a=1,b=-4,c=-6. ∴ y=x2-4x-6=(x-2) 2-10. ∴ 顶点坐标是(2,-10).

3.解:(1)设AB,CD分别交y轴于点E,F. 则DF=

12CD=5,EB=1

2

AB=10. 设D(5,m),则B(10,m-3). 设抛物线解析式为y=ax 2(a≠0). ∴ 25a=m,100a=m-3. ∴ a=-

1

25

,m=-1. 本试卷共50页,第42页

∴ y=-

1 2

25

x. (2)由(1)得m=-1,∴ OF=1,

1

0.2

=5(小时). 答:从警戒线开始,再持续5小时水到拱桥顶. 4.解:(1)∵ 抛物线过线A(1,0), ∴ -1+5+n=0.

∴ n=-4. ∴ y=-x2

+5x-4.

(2)由(1)得:B(0,-4),∵ P是y轴正半轴上一点, ①若AP=AB,则OP=OB=4,∴ P1(0,4).

②若BA=BP,则BP=2?42=,∴ OP=-4,∴ P2(0,-4).

∴ P1(0,4),P2(0,-4)为所求P点. 5.解:设顶点C(h,k). ∵ S△ABC=32, ∴ 1

2

AB3EC=32.

∴ 1

2

383(-k)=32,k=-8.

∵ A,B间的距离是8, ∴ A(h-4,0),B(h+4,0).

设抛物线为y=a(x-h) 2

+k. 则y=a(x-h) 2-8. ∵ 点A在抛物线上, ∴ a(h-4-h) 2-8=0.

本试卷共50页,第43页

∴ a=1

2

∴ y=1

(x-h) 22

-8.

又∵ D(0,6)是抛物线与y轴的交点, ∴ 1

2

h2-8=6,∴ h=±27.

∵ h>0,∴ h=27.

∴ y=1

2

(x-2)2-8.

6.解:(1)设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 -b

2a=72

,36a+6b+c=0,c=4. ∴ a=23,b=-14

3

,c=4.

∴ y=

23x2-143x+4=27253

(x-2)2-6.

∴ 顶点坐标(

72,-256

). (2)∵点E(x,y)在抛物线上,位于第四象限,且坐标适合y=23(x-725

2

)2-6,

∴ y<0,即-y>0,-y表示点E到OA的距离.

∵ OA是平行四边形OEAF的对角线, ∴ S=2S△OAE=23

12OA3y=-6y=-4(x-7

2

)2+25. ∵ 抛物线与x轴交于(1,0),(6,0), ∴ 0<x<6. 当S=24时,-4(x-72

)2

+25=24. 解得x1=3,x2=4.

∴ E1(3,-4),E2(4,-4).

①当E1(3,-4)时,OE=AE,∴平行四边形OEAF是菱形.

本试卷共50页,第44页

? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 当E2(4,-4)时,OE≠AE,∴平行四边形OEAF不是菱形. ②不存在.

当OA⊥EF且OA=EF时,平行四边形OEAF是正方形. 此时点E的坐标只能是(3,-3), 但点(3,-3)不在抛物线上,

∴ 不存在这样的点,使平行四边形OEAF是正方形.

【模拟试题】(答题时间:40分钟)

一、选择题

1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,下列结论中,正确的结论的个数有 ( ) ① a + b + c>0 ② a - b + c<0 ③ abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0 A. 5个 B. 4个 C .3个 D. 2个

2. 抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点的个数有( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 3. 下列过原点的抛物线是 ( )

A. y=2x2-1 B. y=2x2+1 C. y=2(x+1)2 D. y=2x2+x

4.已知抛物线过A(-1, 0)和B (3, 0)两点,与y轴交于点C,且

BC=抛物线的解析式为( )

A. y=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3

C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3 D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-3 5. 二次数y= a (x+m)2-m(a≠0),无论m为什么实数,图象的顶点必在 ( ) A. 直线y= -x上 B. 直线y=x上 C. y轴上 D. x轴上

6. 如图,在直角三角形AOB中,AB=OB,且OB=AB=3,设直线l:x?t,截此三角形所得

本试卷共50页,第45页

阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系的图象为 ( )

7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题:

①当c=0时,函数的图象经过原点;

②当c>0且函数的图象开口向下时,方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根;

③函数图象最高点的纵坐标是4ac?b2

4a

;

④当b=0时,函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题的个数有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1,x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点,则a的取值范围是 。

9. 抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是.

10. 将y=2x2的函数图象向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得到二次函数解析式为 .

11. 抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点,则k的取值范围是 .

12. 已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后,经过原点,则k的值是 13. 写出一个二次函数的解析式,使它的顶点恰好在直线y=x+2上,且开口向下,则这个二次函数解析式可写为 .

14. 二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数),当x取值x1,x2时(x1≠x2),函数值相等,则当x取值x1+x2时,函数值为 .

三、解答题

本试卷共50页,第46页

15. 根据下列不同条件,求二次函数的解析式:

(l)二次函数的图象经过A (1, l),B(-l, 7), C(2,4)三点;

(2)已知当x=2时,y有最小值3,且经过点(l,5 );

(3)图象经过(-3,0),(l,0), (-l,4)三点.

16. 画出函数y=x2-2x-3的图象,利用图象回答下列问题:

(l)x取何值时,y随x的增大而减小?

(2)当x取何值时,y=0,y>0,y<0?

(3)若x1>x2>x3>1时,比较yl,y2,y3的大小

17. 已知二次函数y=-2x2,怎样平移这个函数图象,才能使它经过(0,0)和(1,6 )两点?

18. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌,广告设计费为每平方米1000元,设矩形-边长为x(m),面积为S(m2).

(l)求出S与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;

(2)请你设计一个方案,使获得的设计费最多,并求出这个费用.

19. 某跳水运动员进行10m跳台跳水的训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).在跳某个规定动作时,正确情况下,该运动员在空中的最高处距水面102

3m,入水处与池边的距离为4m, 同时,运

动员在距水面高度为5m以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.

(l)求这条抛物线的解析式;

(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为33

5m,问:此次跳水会不会失误?通过计算说明理由.

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? ? ? ? ? ? ? ? :?号?考? ? 线 ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?名?姓? 封 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? :?级?班? ? 密 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?:?校?学 【试题答案】 一、选择题 1、D 2、B 3、D 4、D 5、B 6、D 7、D 二、填空题 1 8、4≤a≤2 9、(-1,1) 10、y?2(x?3)2?2 11、k<2且k≠1 12、k=1 13、y??x2?2x?1 14、c 三、解答题 15、(1)y?2x2?3x?2 (2)y?2x2?4x?11 (3)y??x2?2x?3 16、图略 (1)x<1时,y随x值的增大而减小 (2)当x=-1或x=3时,y=0,当-1<x<3时,y<0,当x>3或x<-1时,y>0 (3)y1?y2?y3 17、向右平移2个单位向上平移8个单位 18、(1)S=(6-x)x (0<x<12) (2)y?1000(6?x)x??1000(x?3)2?9000 当x=3时 y最多?9000 19、略

本试卷共50页,第49页 本试卷共50页,第50页

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