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二次函数y=ax2+k

发布时间:2013-12-26 10:52:00  

y=ax2+c的函数图象

二次函数y=ax2的图象性质
y=ax2 (a≠0) 图 象 a>0 y
O

a<0 y x

O

x

开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值

向上 向下 a的绝对值越大,开口越小 (0 ,0) (0 ,0) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。

y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=0

x=0时,y最大=0

复习巩固
1、抛物线y=x2的开口____,对称轴是_____, 顶点坐标_____,当x=___时,有最___值, 是____。当x____时,y随x的增大而增大。 2、抛物线y=-5x2的开口____,对称轴_____, 顶点坐标_____,当x=___时,有最___值, 是____。当x____时,y随x的增大而增大。

例2 在同一坐标系中,画出二次函
数y

? x ? 1 , y ? x ? 1 的图象.
2
2

讨论:
(1)抛物线 y ? x ? 1, y ? x ? 1
2 2

的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线 y ? x ? 1, y ? x ? 1
2 2

与抛物线 y ? x 2 有什么关系?

结论:把抛物线 y ? x 向上平移1个单位, 2 y ? x ;把抛物线向___ ?1 就得到抛物线 2 y ? x ?1 平移___个单位,就得到抛物线 1 下
2

思考:把抛物线 y ? 2 x 向上平移5
2

个单位,会得到哪条抛物线?向下 平移3.4 个单位呢?

二次函数y=ax2与y=ax2+k
顶点(0,0) 形状和开口方向一样 对称轴是y轴(直线x=0) 顶点坐标是(0,k) 当k>0时,抛物线 y=ax2向上平移k个 单位,得y=ax2+k 当k<0时,抛物线 y=ax2向下平移 k 个 单位,得y=ax2+k
-4 -2

(0,k)
y 6 4

y=ax2

2


上 下 平 移
x

0

● ●

2

4

-2

练习
1.画出下列二次函数的图象:
1 2 1 2 1 2 y ? x , y ? x ? 2, y ? x ? 2 2 2 2

观察三条抛物线的相互关系,并指出它们 的开口方向、对称轴及顶点坐标。
1 2 y ? x ?k 2.说出抛物线 的开口方向、 2

对称轴、及顶点,它与抛物线 y ? 1 x 2 2 有什么关系?

二次函数y=ax2+k的性质
a>0 图 象 a<0

开口方向 开口大小 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值

向下 向上 a的绝对值越大,开口越小 (0,k) (0,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。

y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=k

x=0时,y最大=k

一般地,抛物线y=ax2有如下特点: 把抛物线y=ax2向上平移k个单位,就得到 y=ax2+k 抛物线______;把抛物线y=ax2向下平移k y=ax2-k 个单位,就得到抛物线_______
当k>0,向上平移; 当k<0,向下平移 y=ax2+k
y 6

4

y=ax2-k
2


-4

-2

● 0 ● -2

2

4

自我检测
1、 (1)y=-0.5x2向_ _平 移____个单位,就得到抛 物线y=-0.5x2+2
(2)y=-0.5x2向___平移___ 个单位,就得到抛物线 y=-0.5x2-2
2 1

y

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 y=0.5x2+2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 y=

0.5x2 -10

y=0.5x2-2

2、抛物线y=-x2+4的开口方向 向下 ,对
称轴是 y轴 ,顶点坐标是(0,4) ,抛

物线与x轴的交点坐标 , (-2,0) (2,0)

与y轴的交点坐标 (0,4)



3、若将抛物线y=-2x2-2的图象的顶点 移到原点,则下列平移方法正确的是 ( A ) A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位

1 2 4.把抛物线 y ? x 向下平移2个单位,可以得 2 1 2 到抛物线 y ? x ? 2 ,再向上平移5个单位, 2 1 2 可以得到抛物线 y ? x ? 3 ; 2 5.对于函数y= –x2+1,当x <0 时,函数值y随

x的增大而增大;当x >0 时,函数值y随x的 增大而减小;当x =0 时,函数取得最 大 值, 为 0 。

提高题
1、将二次函数y= -3x2 +2的图像向上平移3个单位 后得到函数 的图像,其顶点坐标 是 ,对称轴是 ,当x=___ 时,y有最 值,是 .

2、将二次函数y= 2x2 +1的图像向下平移4个单位 后得到函数 的图像,其顶点坐标 是 ,对称轴是 ,当x=___ 时,y有最 值,是 .

3、将二次函数y= -3x2 +2的图像向

平移

个单位后得到函数y= -3x2 -2 的图像
4、将二次函数y= 4x2 -5的图像向 平移 个单位后得到函数y= 4x2 -1的图像

1 2 6、抛物线 y ? x ? 9 的开口 4
顶点坐标是 向 平移

,对称轴是



1 2 ,它可以看作是由抛物线 y ? x 4

个单位得到的。

7、函数y=-3x2+3,当x 而减小。当x=

时,函数y随x的增大 值,是_____

时,函数y有最

8.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( C ) A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状

9.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1,y1 ) ,(x2,y2 ) 且x1<x2<0,则y1 y2(填“<”或“>”)

10、要从抛物线y= - 2x2的图象得到y= - 2x2-1的图象, 则抛物线y=-2x2必须( ). B A.向上平移1个单位; C.向左平移1个单位; B.向下平移1个单位; D.向右平移1个单位.

11、按下列要求求出二次函数的解析式: (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2) (0,-1)求该抛物线线的解析式。

(2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同, 但开口方向不同,顶点坐标是(0,1) 的抛物线解析式。
(3)对称轴是y轴,顶点纵坐标是-3, 且经过(1,2)的点的解析式,

y
x o
y=0.5x2+2

y=0.5x2 y=0.5x2-2

开口 对称 有最高 顶点 方向 轴 (低)点

最值 当x=___时, y有____值, 是______. 当x=___时, y有最___值, 是______. 当x=___时, y有最___值, 是______.

y=-0.5x2

在对 称轴 左侧 y随x 增大 而___

y=-0.5x2+2

y随x 增大 而___
y随x 增大 而___

y=-0.5x2-2


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