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2013年初二升初三数学培优教材

发布时间:2013-09-21 20:52:05  

2013年初二升初三

2013年07月

(数学)

风帆教育 暑期培优专用教材 1 页 共75页,第

第一讲 一元二次方程

【学习目标】

1、学会根据具体问题列出一元二次方程,培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。

【知识要点】

1、一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为ax2?bx?c?0(a、b、

c、为常数,a?0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。

(1)定义解释:①一元二次方程是一个整式方程;②只含有一个未知数;③并且未知数的最高次数

是2。这三个条件必须同时满足,缺一不可。

(2)ax2?bx?c?0(a、b、c、为常数,a?0)叫一元二次方程的一般形式,也叫标准形式。

(3)在ax2?bx?c?0(a?0)中,a,b,c通常表示已知数。

2、一元二次方程的解:当某一x的取值使得这个方程中的ax2?bx?c的值为0,x的值即是一元二

次方程ax2?bx?c?0的解。

3、一元二次方程解的估算:当某一x的取值使得这个方程中的ax2?bx?c的值无限接近0时,x

的值即可看做一元二次方程ax2?bx?c?0的解。

【经典例题】

例1、下列方程中,是一元二次方程的是 y21①?y?0; ②2x2?x?3?0; ③2?3; ④ax2?bx;⑤x2?2?3x; 4x

3⑥x3?x?4?0; ⑦t2?2; ⑧x2?3x??0;⑨x2?x?2;⑩ax2?bx(a?0) x

例2、(1)关于x的方程(m-4)x2+(m+4)x+2m+3=0,当m__________时,是一元二次方程,当m__________时,是一元一次方程.

(2)如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.

(3)关于x的方程(2m2?m?3)xm?1?5x?13是一元二次方程吗?为什么?

例3、把下列方程先化为一般式,再指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。

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风帆教育 暑期培优专用教材

222(1)2x―x+1=0 (2)-5x+1=6x (3)(x+1)=2x (4)?x2?4x??8 2 页 共75页,第

例4、(1)某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元,设每年利润的平均增长率为x,可以列方程得( )

A.5(1+x)=9 B.5(1+x)2=9

C.5(1+x)+5(1+x)2=9 D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9

(2)某商品成本价为300元,两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为_____________.

例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如下图所示,它的长为8 m,宽为5 m,如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2,那么花边有多宽?(列出方程并估算解得值)

例6、如图,一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m,如果梯子的顶端下滑1 m,那么梯子的底端滑动多少米

?

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风帆教育 暑期培优专用教材 3 页 共75页,第

【经典练习】

一、选择题

11、下列关于x的方程:①1.5x2+1=0;②2.3x2++1=0;③3.4x2=ax(其中a为常数);④2x2+3x=0;x

3x2?1⑤ =2x;⑥(x2?x)2 =2x中,一元二次方程的个数是( ) 5

A、1 B、2 C、3 D、4

2、方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是

A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0

3、一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是

A.7x2,2x,0

C.7x2,0,2x B.7x2,-2x,无常数项 D.7x2,-2x,0

4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则

A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b-c=0

二、填空题

1、将x(4x?3)?3x?1化为一般形式为__________,此时它的二次项系数是. __________,一次项

系数是__________,常数项是__________。

2、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程,那么a所满足的条件为___________.

3、已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为_____________.

4、某高新技术产生生产总值,两年内由50万元增加到75万元,若每年产值的增长率设为x,则方

程为___________.

5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化

工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_____________.

三、解答题

1、某商场销售商品收入款:3月份为25万元,5月份为36万元,该商场4、5月份销售商品收入款

平均每月增长的百分率是多少?

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风帆教育 暑期培优专用教材 4 页 共75页,第

【课后作业】

一、填空题

1、方程5(x2-2x+1)=-32x+2的一般形式是__________,其二次项是__________,一次项是

__________,常数项是__________.

2、若关于x的方程(a?1)x2?3ax?5?0是一元二次方程,这时a的取值范围是________

3、某地开展植树造林活动,两年内植树面积由30万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率

为x,根据题意列方程_________.

二、选择题

1、下列方程中,不是一元二次方程的是 ( )

1A.2x2+7=0 B.2x2+2x+1=0 C.5x2++4=0 D.3x2+(1+x) 2+1=0 x

2、方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )

A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0

3、一元二次方程7x2?2x?1?5的二次项、一次项、常数项依次是 ( )

A.7x2,2x,1 B.7x2,-2x,无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,-4

4、方程x2-=(-2)x化为一般形式,它的各项系数之和可能是 ( ) A.2 B.-2 C.2? D.1?2?23

5、若关于x的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac,则常数项为 ( )

A.m B.-bd C.bd-m D.-(bd-m)

6、若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是 ( )

A.2 B.-2 C.0 D.不等于2

7、若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解,则 ( )

A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.-a+b+c=0

人教课标版2数学2初二升初三 编辑 数学项目组 邮箱 352176877@qq.com D.a-b-c=0

风帆教育 暑期培优专用教材 5 页 共75页,第

第二讲 一元二次方程(配方法)

【学习目标】

2(x?m)?n(n?0)的方程。 1、会用开平方法解形如

2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

3、经历列解方程解决实际问题的过程,体会转化的数学思想,增强数学应用意识和能力。

【知识要点】

1、直接开平方法解一元二次方程:

(1) 把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式,另一边是非负数的形式,即化成

(x?b)2?a(a?0)的形式

(2) 直接开平方,解得x1??b?a,x2??b?a

2、配方法的定义:通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方

法称为配方法。

3、用配方法解一元二次方程的步骤:

(1)利用配方法解一元二次方程时,如果ax2?bx?c?0中a不等于1,必须两边同时除以a,使

得二次项系数为1.

(2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

(4)用直接开平方法求出方程的根。

【经典例题】

例1、解下列方程:

(1)x2=4

例2、配方:填上适当的数,使下列等式成立:

(1)x2+12x+ =(x+6)2 (2)x2+8x+ =(x+ )2(3)x2―12x+ =(x― )2 (2)(x+3)2=9 例3、用配方法解方程

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风帆教育 暑期培优专用教材 6 页 共75页,第

(1)3x+8x―3=0

2 (2)6x2?x?12?0

155(3)?x2?x??0 (4)x2?x?2?0 224

例4、请你尝试证明关于x的方程(m2?8m?20)x2?2mx?1?0,不论m取何值,该方程都是一元

二次方程。

例5、 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: h=15

t―5t2,小球何时能达到10m高?

【经典练习】

一、填空题

1、若x2=225,则x1=__________,x2=__________.

2、若9x2-25=0,则x1=__________,x2=__________.

3、填写适当的数使下式成立.

①x2+6x+______=(x+3)2 ②x2-______x+1=(x-1)2 ③x2+4x+______=(x+______)2

4、为了利用配方法解方程x2-6x-6=0,我们可移项得___________,方程两边都加上_________,

得_____________,化为___________.解此方程得x1=_________,x2=_________.

5、将长为5,宽为4的矩形,沿四个边剪去宽为x的4个小矩形,剩余部分的面积为12,则剪去小

矩形的宽x为_________.

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风帆教育 暑期培优专用教材 7 页 共75页,第

6、如图1,在正方形ABCD中,AB是4 cm,△BCE的面积是△DEF面积的4倍,则DE的长为_________.

7、如图2,梯形的上底AD=3 cm,下底BC=6 cm,对角线AC=9 cm,设OA=x,

x=_________ cm.

图1

二、选择题

1、方程5x2+75=0的根是 ( )

A.5 B.-5 C .±5 D.无实根

2、方程3x2-1=0的解是 ( )

1A.x=± 3 图2 B.x=±3 C.x=± D.x=± 3

3、一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为( )

A.(x-1)2=m2+1

C.(x-1)2=1-m B.(x-1)2=m-1 D.(x-1)2=m+1

4、用配方法解方程x2+x=2,应把方程的两边同时( )

1A.加 4 1B.加 2 1C.减 4 1D.减 2

5、已知xy=9,x-y=-3,则x2+3xy+y2的值为( )

A.27 B.9 C.54 D.18

三、计算题(用配方法解下列方程)

(1)x2?16 (2)(x?2)2?4

(3)x2+5x-1=0 (4)2x2-4x-1=0

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风帆教育 暑期培优专用教材 8 页 共75页,第

1(5) x2-6x+3=0 (6)x2-x+6=0 4

(7)x2?4x?3?0 (8)x2?12x?25?0

(9)3x2?1?6x (10)2x2?22x?1?0

四、解答题

两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4 cm,大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米,求大小两个正方形的边长.

【课后作业】

1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数,然后再写成(x+m)2=n的形式

1(1)2x2+3x-2=0 (2)x2+x-2=0 4

2、用配方法解下列方程

(1)x2+5x-5=0 (2)2x2-4x-3=0

(3) x2-3x-3=0 (4)2x2?7x?14?0

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第三讲 一元二次方程(公式法)

【学习目标】

1、学会一元二次方程求根公式的推导。

2、理解公式法,会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。

3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程,体会公式法和配方法的内在联系。

【知识要点】

1、复习用配方法接一元二次方程的步骤,推导出一元二次方程的求根公式:对于一元二次方程

b2b2?4acax?bx?c?0其中a?0,由配方法有(x?)?。 2a4a22

?b?b2?4ac(1)当b?4ac?0时,得x?; 2a2

(2)当b2?4ac?0时,一元二次方程无实数解。

2、公式法的定义:利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。

3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤:

(1)必须把一元二次方程化成一般式ax2?bx?c?0,以明确a、b、c的值;

(2)再计算b2?4ac的值:

?b?b2?4ac①当b?4ac?0时,方程有实数解,其解为:x?; 2a2

②当b2?4ac?0时,方程无实数解。

【经典例题】

例1、推导求根公式:ax2?bx?c?0(a?0)

例2、利用公式解方程:

(1) x2?2x?2?0 (2) 2x2?7x?4

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风帆教育 暑期培优专用教材 10 页 共75页,第

(3)?x2?4x?1?0 (4)x2?43x?10?0

例3、已知a,b,c均为实数,且a2?2a?1+|b+1|+(c+3)2=0,解方程ax2?bx?c?0

例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x2+2x-1与B=3x2-2相等吗?

例5、一元二次方程(m-1)x+3mx+(m+3m-4)=0有一根为零,求m的值及另一根.

222

【经典练习】

1、用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是 ( )

12?2?3?4?12?2?3?4A.x1、2= B.x1、2= 22

?(?12)?(?12)2?4?3?412?2?3?4C.x1、2= D.x1、2= 2?32

2、方程x2+3x=14的解是 ( ) A.x=3?65 2B.x=3?23?3?65?3?23 C.x= D.x= 222

3、下列各数中,是方程x2-(1+)x+=0的解的有 ( )

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风帆教育 暑期培优专用教材 11 页 共75页,第

①1+ ②1-5 ③1 ④-

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

5、若代数式x2-6x+5的值等于12,那么x的值为( )

A.1或5 B.7或-1 C.-1或-5 D.-7或1

6、关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2,则m的值等于( )

A.2 B.- 1

2 C.-2 D. 1

2

7、当x为何值时,代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?

9、用公式法解下列各方程

(1)x2+6x+9=7 (2)12x2?7x?1?0

(3)x2?42x?8?0 (4)2x2?3x?5?0

(5)x2?x?1?0 (6)3x2?5x?1?0

(7)(2x?1)(x?3)?4 (8)4y2?(2?8)y?2?0

(9)2x2?x?2?0 (10)?y?2??y?1??y?y?1??0

(11) 5x2?8x??1 (12)x2?2mx?3nx?3m2?mn?2n2?0

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风帆教育 暑期培优专用教材 12 页 共75页,第

【课后作业】

1、方程(x-5)2=6的两个根是( )

A.x1=x2=5+6 B.x1=x2=-5+6

D.x1=5+6,x2=5-6 C.x1=-5+6,x2=-5-6

2、利用求根公式解一元二次方程时,首先要把方程化为__________,确定__________的值,当__________时,把a,b,c的值代入公式,x1,2=____________求得方程的解.

3、当x为何值时,代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?

4、用公式法解下列方程:

(1)x2?7x?1?0 (2)x(x?8)?0

(3)x2?x?2 (4)0.8x2?x?0.3

(5)3x2?1?2 (6)x2?7x

第四讲 一元二次方程(分解因式法)

【学习目标】

1、能根据具体一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。

2、会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。

3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。

【知识要点】

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风帆教育 暑期培优专用教材 13 页 共75页,第

1、 分解因式法解一元二次方程:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的

积时,可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解,这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。

2、分解因式法的理论依据是:若a?b?0,则a?0或b?0

3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤:

①将方程的右边化为零;

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;

④解这两个一元一次方程,他们的解就是一元一次方程的解。

【典型例题】

例1、(1)方程(x?1)(x?2)?2(x?2)的根是__________

(2)方程(x?1)(x?2)(x?3)?0的根是__________

例2、 用分解因式法解下列方程

(1)3x2?6x?0 (2)3(x?5)2?2(5?x)

(3) x2?2x?1?0 (4)4x2?8x??4

(5) (3x?2)2?(x?3)2?0 (6)49(x?3)2?16(x?6)2

15(7)x2?x?6?0 (8)(x-1)2-4(x-1)-21=0. 42

例3、2-3是方程x2+bx-1=0的一个根,则b=_________,另一个根是_________.

ab例4、已知a2-5ab+6b2=0,则?等于 ( ) ba

111111A.2 B.3 C.2或3 D.2或3 232332

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风帆教育 暑期培优专用教材 14 页 共75页,第

例5、解关于x的方程:(a-b)x+4abx=a-b.

例6、x为何值时,等式x2?x?2?2x2?3x?2?0

22222

【经典练习】

一、填空题.

1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1

(1)移项得 ;

(2)方程左边化为两个数的平方差,右边为0得 ;

(3)将方程左边分解成两个一次因式之积得 ;

(4)分别解这两个一次方程得x1 = , x2= 。

2、(1)方程t(t+3)=28的解为_______.

(2)方程(2x+1)2+3(2x+1)=0的解为__________.

3、(1)用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程 和

求解。

(2)方程x2-16=0,可将方程左边因式分解得方程__________,则有两个一元一次方程

____________或____________,分别解得:x1=__________,x2=__________.

4、如果方程x2-3x+c=0有一个根为1,那么c= ,该方程的另一根为 , 该方程可化为

(x -1)(x )=0

5、已知x2-7xy+12y2=0,那么x与y的关系是_________.

6、小英、小华一起分苹果,小华说:“我分得苹果数是你的3倍。”小英说:“如果将我的苹果数平

方恰好等于你所得的苹果数。”则小英、小华分得的苹果个数分别是 。

二、选择题

1、方程3x2=1的解为( )

1A.± 3B.± 1C. 3 D.± 3

2、2x(5x-4)=0的解是( )

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4A.x1=2,x2= 55414B.x1=0,x2= C.x1=0,x2= D.x1=,x2= 4525

3、下列方程中适合用因式分解法解的是( )

A.x2+x+1=0

B.2x2-3x+5=0 D.x2+6x+7=0 C.x2+(1+2)x+2=0

4、若代数式x2+5x+6与-x+1的值相等,则x的值为( )

A.x1=-1,x2=-5

C.x1=-2,x2=-3 B.x1=-6,x2=1 D.x=-1

5、已知y=6x2-5x+1,若y≠0,则x的取值情况是( )

1A.x≠且x≠1 611B.x≠ C.x≠ 3211D.x≠且x≠ 32

6、方程2x(x+3)=5(x+3)的根是( ) 5A.x= 255 B.x=-3或x= C.x=-3 D.x=-或x=3 22

7、用因式分解法解方程,下列方法中正确的是

A.(2x-2)(3x-4)=0 ∴2-2x=0或3x-4=0

B.(x+3)(x-1)=1 ∴x+3=0或x-1=1

C.(x-2)(x-3)=233 ∴x-2=2或x-3=3

D.x(x+2)=0 ∴x+2=0

8、方程ax(x-b)+(b-x)=0的根是

A.x1=b,x2=a 11B.x1=b,x2= C.x1=a,x2= abD.x1=a2,x2=b2

9、若一元二次方程(m-2)x2+3(m2+15)x+m2-4=0的常数项是0,则m为( )

A.2 B.±2 C.-2 D.-10

三、解下列关于x的方程

(1)x2+12x=0;

(3)(x-1)(x+3)=12; (4)x-4x-21=0;

人教课标版2数学2初二升初三 编辑 数学项目组 邮箱 352176877@qq.com 2 2)4x2-1=0;

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(5)3x2+2x-1=0; (6)10x2-x-3=0;

(7)4(3x+1)2-9=0 (8) 5(2x-1)=(1-2x)(x+3)

【课后作业】

一、选择题

1、已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是( )

3A.只有一个根x= B.只有一个根x=0 4

33C.有两个根x1=0,x2= D.有两个根x1=0,x2=- 44

2、如果(x-1)(x+2)=0,那么以下结论正确的是( )

A.x=1或x=-2 B.必须x=1

C.x=2或x=-1 D.必须x=1且x=-2

3、若方程(x-2)(3x+1)=0,则3x+1的值为( )

A. 7 B. 2 C. 0 D. 7 或0

4、方程5x(x+3)=3(x+3)解为( )

A.x1=,x2=3 B.x= C.x1=-,x2=-3 D.x1=,x2=-3

5、方程(y-5)(y+2)=1的根为( )

A.y1=5,y2=-2 B.y=5 C.y=-2 D.以上答案都不对 35353535

二、用因式分解法解下列方程:

(1)t(2t-1)=3(2t-1); (2)y2+7y+6=0;

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(3)y2-15=2y (4)(2x-1)(x-1)=1.

第五讲 判别式和根与系数的关系

【学习目标】

1、 使学生会运用根与系数关系解题。

2、 对一元二次方程以及其根有更深刻的了解,培养分析问题和解决问题的能力。

【知识要点】

1、一元二次方程的判别式:??b2?4ac

?b?b2?4ac(1)当b?4ac?0时,方程有两个不相等的实数根,x?。 2a2

(2)当b2?4ac?0时,方程有两个相等的实数根,x1?x2??

(3)当b2?4ac?0时,方程无实数解。

2、一元二次方程根与系数关系的推导: b。 2a

对于一元二次方程ax2?bx?c?0其中a?0,设其根为x1,x2,由求根公式

bc?b?2?4ac,有x1?x2??,x1?x2? x1?x2?2aaa

3、常见的形式:

(1)(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2

(2)x1?x2?(x1?x2)3?3x1x2(x1?x2)

(3)x1?x2??(x1?x2)2?4x1x2 33

【典型例题】

例1 当m分别满足什么条件时,方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,

(1)有两个相等实根;(2)有两个不相实根;(3)无实根;(4)有两个实根.

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例2、已知方程x2?2x?c?0的一个根是3,求方程的另一个根及c的值。

例3、已知方程x2?5x?6?0的根是x1和x2,求下列式子的值:

(1)x1?x2 + x1x2 (2)

例4、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ,x2,且

例5、已知关于x的方程(1)x2?(1?2a)x?a2?3?0有两个不相等的实数根,且关于x的方程(2)x2?2x?2a?1?0没有实数根,问a取什么整数时,方程(1)有整数解? 1122??3 ,求 ①m的值;②求x1+x2的值. x1x222x1x2? x2x1

【经典练习】

一、选择题

1、方程x2?kx?1?0的根的情况是( )

A 、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根

C、 没有实数根 D、 与k的取值有关

2、已知关于x的一元二次方程(k2?1)x2?(k?1)?0的两根互为倒数,则k的取值是( ).

A、?2 B、2 C、 ?2 D、0

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3、设方程3x2?5x?q?0的两根为x1和x2,且6x1?x2?0,那么q的值等于( ).

A、?122 B、-2 C、 D、? 939

4、如果方程x2?mx?1的两个实根互为相反数,那么m的值为( )

A、0 B、-1 C、1 D、±1

?b?5、已知ab≠0,方程ax2?bx?c?0的系数满足???ac,则方程的两根之比为( ) ?2?2

A、0∶1 B、1∶1 C、1∶2 D、2∶3

二、填空题

21、已知方程x?3x?4?0的两个根分别是x1和x2,则x1?x2= _____,x1x2= _____

2、已知方程x2?ax?b?0的两个根分别是2与3,则a?,b?3、已知方程x2?3x?k?0的两根之差为5,4、(1)已知方程x2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m=

(2)方程 4x2?2mx?5?0的一个根是另一个根的5倍,则

1为根构造一个一元二次方程 5

1,三、简答题

1、讨论方程(1?m2)x2?4(m?1)x?4?0的根的情况并根据下列条件确定m的值。(1)两实数根互为倒数;(2)两实数根中有一根为1。

2、求证:不论k取什么实数,方程x2(k?6)x?4(k?3)?0一定有两个下相等的实数根?

3、已知方程x2?3x?c?0的一个根是2,求另一个根及c的值。

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4、已知方程2x2?4x?5?0的两个根分别是x1和x2,求下列式子的值:

(1)(x1+2)(x2+2) (2)x1?x1x2?x2

22

5、已知两个数的和等于-6,积等于2,求这两个数.

【课后作业】

1、如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根,求方程的另一个根及b的值.

2、设关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?2?0 的两实数根的平方和是11 ,求k的值。

3、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数关系,求下列各式的值:

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第六讲 列方程解应用题

【学习目标】

1、学会分析具体问题中的数量关系,建立数学模型并解决实际问题

2、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养

【知识要点】

1、 一元二次方程的解法:①配方法;②公式法;③十字相乘法。

2、 列方程解应用题的一般步骤:

(1)要读懂题目中的关键词以及所涉及的运算;

(2)用字母x表示未知数,并准确的用含有x的代数式表示题目中涉及的量;

(3)努力找出相等关系,列出方程并求出其根;

(4)结合实际情况选择恰当的根。

【典型例题】

例1、台门中学为美化校园,准备在长32米,宽20米的长方形场地上,修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校学生参与图纸设计.现有三位学生各设计了一种方案(图纸如下所示),问三种设计方案中道路的宽分别为多少米?

?甲方案图纸为图1,设计草坪总面积540平方米.

解:设道路宽为x米,根据题意,得

答:本方案的道路宽为 米.

?乙方案图纸为图2,设计草坪总面积540平方米.

图1

解:设道路宽为x米,根据题意,得

人教课标版2数学2初二升初三 编辑 数学项目组 邮箱 352176877@qq.com 图2

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答:本方案的道路宽为 米.

?丙方案图纸为图3,设计草坪总面积570平方米.

解:设道路宽为x米,根据题意,得

例2、某乡产粮大户,1995年粮食产量为50吨,由于加强了经营和科学种田,1997年粮食产量上升到60.5吨.求平均每年增长的百分率.

例3、有一件工作,如果甲、乙两队合作6天可以完成;如果单独工作,甲队比乙队少用5天,两队单独工作各需几天完成?

例4、某商店将每件进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?

例5、有一个两位数,它十位上的数字与个位上的数字的和是8。如把十位上的数字和个位上的数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数,就得到1855。求原来的两位数。

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例6、甲、 乙二人分别从相距20km的A、B两地以相同的速度同时相向而行。相遇后,二人继续前进,乙的速度不变,甲每小时比原来多走1km,结果甲到达B地后乙还要30分钟才能到达 A地。求乙每小时走多少km?

【经典练习】

1、要做一个高是8cm,底面的长比宽多5cm,体积是528cm3的长方体木箱,问底面的长和宽各是多少?

2、某商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.

3、A、B两地相距82km,甲骑车由A向B驶去,9分钟后,乙骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去,两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少?

4、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要

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进货多少件?每件商品应定价多少?

5、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)

6、甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相等,又知每小时甲、乙二人一共做了35个零件,求甲、乙每小时各做多少个零件?

【课后作业】

1、若两个连续正整数的平方和为313,求这两个连续正整数。

2、一块面积是600m2的长方形土地,它的长比宽多10m,求长方形土地的长与宽。

3、舟山市按“九五”国民经济发展规划要求,1997年的社会总产值要比1995年增长21%,求平均

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每年增长的百分率.(提示:基数为1995年的社会总产值,可视为1)

4、客机在A地和它西面1260km的B地之间往返,某天,客机从A地出发时,刮着速度为60km/h的西风,回来时,风速减弱为40km/h,结果往返的平均速度,比无风时的航速每小时少17km。无风时,在A与B之间飞一趟要多少时间?

第七讲 一元二次方程(综合)

【学习目标】

1、复习一元二次方程整章的知识,对该章的内容有整体的掌握

2、进一步掌握解一元二次方程的各种方法,并会灵活运用

3、加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养

【知识要点】

1、 一元二次方程的定义:只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为ax2?bx?c?0(a、b、

c、为常数,a?0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程。

2、 用配方法解一元二次方程

3、 用公式法解一元二次方程

?b?b2?4ac(1)当b?4ac?0时,x?,方程有两个不相等的实数根。 2a2

(2)当b2?4ac?0时,x??b,方程有两个相等的实数根。 2a

(3)当b2?4ac?0时,一元二次方程无实数解。

4、 用分解因式法解一元二次方程:把方程变形为a?b?0,则a?0或b?0

5、 列一元二次方程解实际问题,灵活运用各种方法解一元二次方程

【典型例题】

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例1、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为

__________,常数项为__________.

例2、方程(m2?1)x2?(m?1)x?1?0,当_________时,方程为一元二次方程;当________时,方

程为一元一次方程。

例3、一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解该方程,配方后的方程为( )

A.(x-1)2=m2+1

C.(x-1)2=1-m B.(x-1)2=m-1 D.(x-1)2=m+1

例4、用恰当的方法解一元二次方程

(1)3x2-10x+6=0 (2)3x(2-3x)=-1

(3)(2x?1)2?3(2x?1)?0 (4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0

例5、若p2?3p?5?0,q2?3q?5?0,且p?q,试求

例6、如右图,某小区规划在长32米,宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路,使其中两条与AD平行,一条与AB平行,其余部分种草,若使草坪的面积为566米2,问小路应为多宽?

例7、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,商店想在月销售成本不超过1

万元11?的值? p2q2

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的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?

【经典练习】

一、填空题

1、将方程-5x2+1=6x化为一般形式为__________.其二次项是__________,一次项系数为__________,常数项为__________.

2、如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________.

3、填写适当的数使下式成立.

①x2+6x+______=(x+3)2 ②x2-______x+1=(x-1)2 ③x2+4x+______=(x+______)2

4、当k?__________ 时,一元二次方程x2?(k?1)x?k?0有一个根是0

5、已知两个数的差是8,积是48,则这两个数是 、

6、方程x2-16=0,可将方程左边因式分解得方程__________,则有两个一元一次方程____________

或____________,分别解得:x1=__________,x2=__________.

7、一矩形舞台长a m,演员报幕时应站在舞台的黄金分割处,则演员应站在距舞台一端_________ m

远的地方.

二、选择题

1、若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是 ( )

A.2 B.-2 C.0 D.不等于2

2、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解,则 ( )

A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b-c=0

3、2x2-2x+1的值( )

A 恒大于0 B恒小于0 C恒等于0 D 可能大于0,也可能小于0

4、已知xy=9,x-y=-3,则x2+3xy+y2的值为( )

A.27 B.9 C.54 D.18

5、方程5x2+75=0的根是 ( )

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A.5 B.-5 C.±5 D.无实根

6、若一元二次方程2x(kx?4)?x2?6?0无实数根,则k的最小整数值是( )

A.-1 B.2 C.3 D.4

三、用恰当的方法解一元二次方程

(1)x2+5x-1=0 (2)2x2-4x-1=0

(3) 3(y-1)2=27 (4) 3(y-1)2=27

(5)x2?x?6?0 (6)(x?2)2?2x?4

四、解应用题

1、某省为解决农村饮水问题,省财政投资20亿元给各市改水工程予以一定比例补助。2008年,A市在省补助基础上投入600万元,计划以后两年以相同增长率投资,到2010年,该市投资1176万元。

(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率;

(2)2008到2010年A市共投资多少万元?

2、某项工程需要在规定日期内完成。如果由甲去做,恰好能够如期完成;如果由乙去做,要超过规定日期3天才能完成。现由甲、乙合做2天,剩下的工程由乙去做,恰好在规定日期完成。求规定的

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日期。

【课后作业】

1、如果方程ax2+5=(x+2)(x-1)是关于x的一元二次方程,则a__________。

2、方程3x2-8=7x化为一般形式是________,a=__________,b=__________, c=__________,方程的根x1=__________,x2=_________。

3、如果x=1是方程2x2-3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 。

4、若关于x的方程kx2?6x?1?0有两个实数根,则k的取值范围是_________。

15、有一张长40厘米、宽30厘米的桌面,桌面正中间铺有一块垫布,垫布的面积是桌面的面积的,2

而桌面四边露出部分宽度相同,如果设四周宽度为x厘米,则所列一元二次方程是_________。

6、用适当的方法解方程

(1)x2?x?5?0 (2)6y2?13y?6?0

(3)x2?6x?9?7 (4)x2?2x?3?0

7、如图,在△ABC中,∠B=90°点P从点A开始,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8 cm2

.

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第八讲 一元二次方程检测

一、填空题

1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是 ,它的二次项系数是 .

2、关于x的方程是(m–1)x+(m–1)x–2=0,那么当m 时,方程为一元二次方程;当m 时,方程为一元一次方程.

3、方程2x2?3x?04、当k= 时,方程x2?(k?1)x?k?0有一根是0.

5、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。

6、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0,当m= 时,两根互为倒数;当m= 时,两根互为相反数.

7、关于x的方程2x2-3x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m 时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0。

8、一个两位数,它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍,它的十位上的数字比个位上的数字大2,若设个位数字为x,列出求这个两位数的方程_______________________。

9、已知方程x2?(k?1)x?k?0的两根平方和是5,则k10、某林场第一年造林200亩,第一年到第三年共造林728亩,若设每年增长率为x,则应列出的方程是________________________。

二、选择题

1、下列方程中,无论取何值,总是关于x的一元二次方程的是( )

(A)ax2?bx?c?0 (B)ax2?1?x2?x

(C)(a2?1)x2?(a2?1)x?0 (D)x2?1?a?0 x?322

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2、若2x?1与2x?1互为倒数,则实数x为( )

21(A)± (B)±1 (C)± (D)±2 22

3、方程x2?kx?1?0的根的情况是( )

(A)方程有两个不相等的实数根 (B)方程有两个相等的实数根

(C)方程没有实数根 (D)方程的根的情况与k的取值有关

4、已知方程x2?x?2,则下列说中,正确的是( )

(A)方程两根和是1 (B)方程两根积是2

(C)方程两根和是-1 (D)方程两根积是两根和的2倍

5、若一元二次方程 2x(kx-4)-x2+6 = 0 无实数根,则k的最小整数值是( )

(A)-1 (B)2 (C)3 (D)4

6、如果关于x的一元二次方程x2?px?q?0的两个解分别是x1?3,x2?1,那么这个一元二次方程是 ( )

(A)x2?3x?4?0 (B) x2?4x?3?0 (C) x2?4x?3?0 (D)x2?3x?4?0

7、若c为实数,方程x2-3x+c=0的一个根的相反数是方程x2+3x-3=0的一个根,那么方程x2 -3x+c=0的根是( )

(A)1,2 (B)-1,-2 (C)0,3 (D)0,-3

8、一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%,如果每一年比上一年降低的百分率为x,那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是 ( )

(A)(1-x)2=15% (B)(1+x)2=1+15% (C)(1-x)2=1+15% (D)(1-x)2=1-15%

三、解下列方程:

(1)(2x?1)2?9 (2)4x2–8x+1=0(用配方法)

(3)3x2–4x–1=0 (4) 25(x+3)2-16(x+2)2=0

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(5)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0 (6) x2-2x-3x+6=0

四、解答题

1、求证:不论k取什么实数,方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.

2、若方程 x2+mx-15 = 0 的两根之差的绝对值是8,求m的值.

3、已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2?9x?20?0的一个根,求这个三角形的腰。

4、 已知一元二次方程(m?1)x2?7mx?m2?3m?4?0有一个根为零,求m的值。

5、已知a、b、c为三角形三边长,且方程b (x2-1)-2ax+c (x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状,说明理由.

6、某人承包在一定时间内生产某种产品960件,开始工作后每个月比原计划多生产40件,结果提

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前4个月完成,若每月生产数量都相同,求实际上工作了多少个月?

7、某科技公司研制成功一种产品,决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品,贷款的合同上约定两年到期时,一次性还本付息,利息为本金的8﹪。该产品投放市场后,由于产销对路,使公司在两年到期时除还清贷款的本息外,还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同,试求这个百分数。

第九讲 直角三角形与勾股定理

【学习目标】

1、掌握直角三角形全等的判定定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法。

3、进一步掌握推理证明的方法,拓发展演绎推理能力,培养思维能力。

【知识要点】

1、直角三角形HL全等判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2、勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

3、勾股定理的应用:已知直角三角形的任意两边的边长利用勾股定理可求第三边的边长,即若a,b,c是Rt?ABC的三边,其中c为斜边,则c?a2?b2,a?c2?b2,b?c2?a2

4、勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。

【典型例题】

例1、在Rt△ABC中,∠C = 90°,且DE⊥AB,CD = ED,求证:AD是∠BAC的角平分线。 A

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例2、折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕(对角线)BD,再折叠AD边与对角线BD重合,得折痕DG,如图3所示,若AB=2,BC=1,求AG的长

.

例3、如图,BA⊥DA于A,AD = 12,DC = 9,CA = 15,求证:BA∥DC。

例4、如图,∠ACB = ∠ADB = 90°,AC = AD,E是AB上的一点。求证:CE = DE。

D

A

BBA

12D9C

例5、如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,O是BD与CE的交点,求证:BO=CO.

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例6、已知旗杆AB 高17米,在离旗杆顶端B处1米的地方系一条绳索,绳索长20米,将绳索拉直,绳索的另一端恰好到地面上的C处,求:A,C间的距离。

A

【经典练习】

一、填空题

1、Rt△ABC中,∠C=90°,如图(1),若b=5,c=13,则a=__________;若a=8,b=6,则c=__________.

2、等边△ABC,AD为它的高线,如图(2)所示,若它的边长为2,则它的周长为__________,AD=__________,BD∶AD∶AB=__________∶__________∶

__________.

(1) (2) (3)

3、如图(3),正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC=__________;若AC=2,则AB=__________;AC∶AB=__________∶__________.

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则a∶b∶c=_________.

5、若△ABC中,a=b=5,c=52,则△ABC为_________三角形.

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6、如图(4),AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,AE=DF,AB=DC,则△___________≌△________(HL).

7、已知:如图(5),BE,CF为△ABC的高,且BE=CF,BE,CF交于点H,若BC=10,FC=8,则EC=________.

8、已知:如图(6),AB=CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,且DE=BF,∠D=60°,则∠A=_________°

.

(4)

二、选择题 (5) (6)

1、若三角形的三边分别为a,b,c,则下面四种情况中,构成直角三角形的是 ( )

A.a=2,b=3,c=4 B.a=12,b=5,c=13 C.a=4,b=5,c=6

2、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是 ( )

A.两条直角边对应相等 B.有两条边对应相等

C.一条边和一锐角对应相等 D.一条边和一个角对应相等

3、O是∠BAC内一点,且点O到AB,AC的距离OE=OF,则△AEO≌△AFO的依据是 ( )

A.HL B.AAS C.SSS D.ASA D.a=7,b=18,c=17

4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,如下图,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是

第3题 第4题 第4题

A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3

C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3

三、证明:

人教课标版2数学2初二升初三 编辑 数学项目组 邮箱 352176877@qq.com B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40° D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°

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1、已知∠ABC=∠ADC=90°,E是AC上一点,AB=AD,求证:EB=ED.

92、已知:如下图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=4,BC=3,DB=. 5

(1)求DC的长; (2)求AD的长; (3)求AB的长;(4)求证:△ABC是直角三角形

.

3、为修铁路需凿通隧道AC,测得∠A=50°,∠B=40°,AB=5 km,BC=4 km,若每天凿隧道0.3 km,问几天才能把隧道凿通?

4、如图,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,BD = CD,AB = AC,求证:EB = FC。

AFC

【课后作业】

1、Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠A=60°,AB=4 cm,则CD=_________.

2、Rt△ABC中,∠C=90°,若a=5,c=13,则b=_________.

3、直角三角形两直角边长分别为6和 8,则斜边上的高为_________.

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,若a∶b=1∶2,且c=5,则

ab=_________.

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5、Rt△ABC中∠C=90°,CD是高,BC=3,AC=4,则BD=_________.

6、若直角三角形的三条边长分别是6,8,a则

(1)当6,8均为直角边时,a=__________;(2)当8为斜边,6为直角边时,a=__________.

7、已知,如下图,等边三角形ABC,AD为BC边上的高线,若AB=2,求△ABC的面积.

第十讲 垂直平分线

【学习目标】

1、掌握线段垂直平分线的定理和逆定理。

2、能应用线段的垂直平分线的定理和逆定理进行作图和证明。

3、进一步掌握推理证明的方法,拓发展演绎推理能力,培养思维能力。

【知识要点】

1、 线段垂直平分线的性质定理的证明以及应用。

定理:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

定理解释:具备MN垂直平分AB,P是MN上任意一点这样的条件,就可得出PA?PB

2、 线段垂直平分线的性质定理的逆定理

定理:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

定理解释:具备P是线段AB(上)外一点,且PA?PB这样的条件,就可得出结论:P 在AB的垂直平分线上。

3、 用尺规作线段的垂直平分线

1一般作法为:(1)分别以线段AB的两个端点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,;两弧交2

于点M、N;(2)作直线MN,作直线MN就是AB的垂直平分线。

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4、 三角形三边的垂直平分线定理及应用

定理:三角形三条边的垂直平分线交于一点,且这一点到三个顶点的距离相等。

【典型例题】

例1、如图,在△ABC中,∠C = 90°,DE是AB的垂直平分线。

1)则BD = 。

2)若∠B = 40°,则∠BAC = °,∠DAB = °,∠DAC = °,∠CDA = °。

3)若AC= 4, BC = 5,则DA + DC = ,△ACD的周长为 。

D

CA

例2、已知:如图(1),在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=5,BC边的垂直平分线DE交BC于点D,B 交AC于点E。求△ABE的周长。

A

B

例3、公路边要建一个家乐福超市,使它到A、B两居民点的距离相等,如何确定家乐福超市的位置?

例4、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线交B C于点D,如果BD=8 cm,求AC的长。

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C ABD的例5、如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,△ABC的周长为12cm,△A

周长为9cm,求AC的长度。

例6、已知在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE = 3cm,△ABD的周长是13cm,求△ABC的周长。

AEAEBCD

【经典练习】

一、填空题

1、如图,△ABC中,AB = AC,∠A = 40°,DE为AB的中垂线,则∠1 = °,∠C = °,∠3 = °,∠2 = °;若△ABC的周长为16cm,BC = 4cm,则AC = ,△BCE的周长为 。

2、三角形三边的垂直平分线交于一点,且这点到三个顶点的距离_________.

3、已知线段AB外两点P、Q,且PA=PB,QA=QB,则直线PQ与线段AB的关系是_________.

4、底边AB=a的等腰三角形有_________个,符合条件的顶点C在线段AB的_________上.

5、直线 l上一点Q满足QA=QB,则Q点是直线l与_________的交点

.

A

EB

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6、在△ABC中,AB=AC=6 cm,AB的垂直平分线与AC相交于E点,△BCE周长为10 cm,则BC=___ cm.

7、在Rt△ABC中,∠C=90°,AC>BC,AB的垂直平分线与AC相交于E点,连结BE,若∠CBE∶∠EBA=1∶4,则∠A=______度,∠ABC=_________度.

二、选择题

1、下列命题中正确的命题有( )

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等;②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等;③经过线段中点的直线只有一条;④点P在线段AB外且PA=PB,过P作直线MN,则MN是线段AB的垂直平分线;⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列作图语句正确的是( )

A.过点P作线段AB的中垂线

B.在线段AB的延长线上取一点C,使AB=BC

C.过直线a,直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b

D.过点P作直线AB的垂线

3、△ABC中,∠C=90°,AB的中垂线交直线BC于D,若∠BAD-∠DAC=22.5°,则∠B等于( )

A.37.5°

三、解答题

1、已知,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC,求证:AO⊥

BC. B.67.5° C.37.5°或67.5° D.无法确定

2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证:CM=2BM.

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3、 在△ABC中,AB=AC=a,AB的垂直平分线交AC于D点,若△BCD的周长为m,求证:BC=m-a.

【课后作业】

一、填空题

1、如左下图,点P为△ABC三边中垂线交点,则

PA__________PB__________PC.

2、如右上图,在锐角三角形ABC中,∠A=50°,AC、BC的垂直平分线交于点O,则∠1_______∠2,∠3______∠4,∠5_______∠6,∠2+∠3=______度,∠1+∠4=_______度,∠5+∠6=______度,∠BOC=_______度.

3、如左下图,D为BC边上一点,且BC=BD+AD,则AD_______DC,点D在_______的垂直平分线上

.

4、如右上图,在△ABC中,DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线,则∠B_____∠1,∠C____∠2;若∠BAC=126°,则∠EAG=________度.

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5、如左下图,AD是△ABC中BC边上的高,E是AD上异于A,D的点,若BE=CE,则△_______≌△______(HL);从而BD=DC,则△______≌△_______(SAS)

;△ABC是______三角形.

6、如右上图,∠BAC=120°,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D,则∠ADB=__________度.

第十一讲 角平分线定理

【学习目标】

1、掌握角平分线的定理和逆定理。

2、能应用角平分线定理和逆定理进行作图和证明。

3、进一步掌握推理证明的方法,拓发展演绎推理能力,培养思维能力。

【知识要点】

1、 角平分线性质定理的证明及应用。

定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理解释:“点到这个角边的距离”实际上就是“点到这角两边所作垂线段的长度”,定理即表明这两条垂线段相等。

2、 角平分线的性质定理的逆定理的证明以及应用。

逆定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。

3、 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

4、用尺规作角的平分线:

【典型例题】

例1、如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O,且∠1 =∠2。求证:OB = OC。 A

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例2、已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。求证:AF为∠BAC的平分线。

例3、如下图,

一个工厂在公路西侧,在河的南岸,工厂到公路的距离与到河岸的距离相等,且与河

上公路桥南首(点A)的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.

例4、如右图,E、D分别是AB、AC上的一点,∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M,∠BED、∠EDC

的角平分线交于N.

求证:A、M、N在一条直线上.

证明:过点N作NF⊥AB,NH⊥ED,NK⊥AC,过点M作MJ⊥BC,MP⊥AB,MQ⊥

AC

∵EN平分∠BED,DN平分∠EDC

∴NF__________NH,NH__________NK

∴NF__________NK

∴N在∠A的平分线上

又∵BM平分∠ABC,CM平分∠ACB

∴__________=__________,__________=__________

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∴__________=__________

∴M在∠A的__________上

∴M、N都在∠A的__________上

∴A、M、N在一条直线上

例5、如图1,OC平分?,P是OC上一点,D是OA上一点,E是OB上一点,且PD=PE,求证:AOB

?PDO??PEO?180?

【经典练习】

一、 填空题

1、∠AOB的平分线上一点M ,M到 OA的距离为1.5 cm,则M到OB的距离为_________.

2、如图1,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,则∠

DOC=_________.

图1 图2 图3

3、图2,在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则BC=____ cm.

4、图3,已知AB、CD相交于点E,过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN,则直线MN与PQ的关系是_________.

二、选择题

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1、给出下列结论,正确的有( )

①到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上;②角的平分线与三角形平分线都是射线;③任何一个命题都有逆命题;④假命题的逆命题一定是假命题

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列结论正确的有( )

①如果(x-1)(x-2)=0,那么x=1;②在△ABC中,若∠B是钝角,则∠A、∠C一定是锐角;③如果两个角相等,那么两个角互为对顶角;④如果在一个角内的点,到这个角的两边距离相等,那么这个点在角的平分线上

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3、已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,则D到AB的距离为( )

A.18 B.16 C.14 D.12

4、两个三角形有两个角对应相等,正确说法是( )

A.两个三角形全等

B.两个三角形一定不全等

C.如果还有一角相等,两三角形就全等

D.如果一对等角的角平分线相等,两三角形全等

5、下列命题中是真命题的是

A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等

B.相等的角是对顶角

C.余角相等的角互余

D.两直线被第三条直线所截,截得的同位角相等

6、如图4,OB、OC是∠AOD的任意两条射线,OM平分∠AOB,ON平分∠COD,若∠MON=α,∠BOC=β,则表示∠AOD的代数式为( )

A.2α-β B.α-β C.α+β D.2α

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图4 图5

7、如右上图5,已知AB=AC,AE=AF,BE与CF交于点D,则①△ABE≌△ACF ,②△BDF≌△CDE, ③D在∠BAC的平分线上,以上结论中正确的是 ( )

A.只有①

三、解答题

1、如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠

DAB. B.只有② C.只有①和② D.①,②与③

2、已知,如图,过菱形ABCD的顶点C作CF?AD,CE?AB,分别交AB、AD的延长线于E、F.试说明CE=CF

【课后作业】

一、填空题

1、如图(1),AD平分∠BAC,点P在AD上,若PE⊥AB,PF⊥AC,则PE__________PF.

2、如图(2),PD⊥AB,PE⊥AC,且PD=PE,连接AP,则∠BAP__________∠CAP.

3、如图(3),∠BAC=60°,AP平分∠BAC,PD⊥AB,PE⊥AC,若AD=3,则PE=__________.

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(1) (2) (3)

4、已知,如图4,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,若CD=CE,则∠COD+∠AOB=__________度.

5、如图(5),已知MP⊥OP于P,MQ⊥OQ于Q,S△DOM=6 cm,OP=3 cm,则

MQ=__________cm. 2

图4 图5

二、解答题

已知:如下图在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于D,若BC=32,且BD∶CD=9∶7,求:D到AB边的距离.

第十二讲 等腰、等边三角形

【学习目标】

1、运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等。

2、运用等边三角形的性质定理及其推论证明与等边三角形有关的角相等或线段相等。

3、进一步掌握推理证明的方法,拓发展演绎推理能力,培养思维能力。

【知识要点】

1、等腰三角形性质定理:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)

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2、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简述为“三线合一” 3、等边三角形的性质定理:等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于600。 4、等腰三角形、等边三角形的判定定理:

(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称为:等角对等边) (2)有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。

(3)在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (4)三个角都相等的三角形是等边三角形 5、等腰三角形中的特殊线段:

(1)两底角的平分线;(2)两要上的高;(3)两腰上的中线;(4)底边上的高上的任一点向两腰所引的垂线段对应相等。 【典型例题】

例1、如图,在△ABC中,AB = AC,AD⊥AC∠BAC = 100°。求∠1、∠3、∠B的度数。

3

B

D

C

例2、如图,△ABC和△DCE都是等边三角形,D是△ABC的边BC上的一点,连接AD、BE。求证:AD = BE。

例3、如图,?ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,BD = CE。求证:

BE

C

A

A

B

E

C

是等腰三角形。

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例4、已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于D、E。求证:△ADE 是等边三角形

ABEC

例5、已知:如图,在△ABC中,AB = AC,BD,CE是△ABC的角平分线。求证:BD = CE。 A

★例6、如图,△ABC是等边三角形,BD = CE,∠1 =∠2。求证:△ADE是等边三角形。

EDAE

【经典练习】

一、填空题 B1、已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它的底角的度数是_________.

2、等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米,这个三角形的周长为_________

3、一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________.

4、由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________,大角对_________.

5、如图(1),在

离为________. 中, 平分,则D点到AB的距

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6、如图(2)

,在

中,

平分

,若

,则

图1 图2 图3 图4

7、如图(3),

8、如图(4),

__________.

二、选择题

1、给出下列命题,正确的有( )

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合; ②等腰三角形两腰上的高相等; ③等腰三角形最小边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ,AB的垂直平分线交AC于D,则 中,DE垂直平分 的周长为13,那么 的周长为

2、若等腰△ABC的顶角为∠A,底角为∠B=α,则α的取值范围是( )

A.α<45° B.α<90° C.0°<α<90° D.90°<α<180°

3、下列命题,正确的有( )

①三角形的一条中线必平分该三角形的面积;②直角三角形中30°角所对的边等于另一边的一半;③有一边相等的两个等边三角形全等;④等腰三角形底边上的高把原三角形分成两个全等的三角形

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4、若三角形的一边等于另一边的一半,那么这边所对的角度为( )

A.30° B.45° C.60° D.无法确定

5、如果三角形一边的中线和这边上的高重合,则这个三角形是( )

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

6、△ABC中, AB=AC, CD是△ABC的角平分线, 延长BA到E使DE=DC, 连结EC, 若 ∠E =51

°,

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则∠B等于( )

A.60° B.52° C.51° D.78°

7、在△ABC中∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D点,AB=a,则BD的长为( ) aA. 2 aB. 3 aC. 4D.以上都不对

三、解答题

1、如图,求作一点P,使 ,并且使点P到 的两边的距离相等,并说明你的理由.

2、如图,在AB=AC的△ABC中,D点在AC边上,使BD=BC,E点在AB边上,使AD=DE=EB,求∠

EDB.

【课后作业】

一、填空题

1、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴,等边三角形有__________条对称轴.请你在图

(1)中作出等腰△ABC,等边△DEF的对称轴

.

(1) (2)

2、如图(2),已知△ABC是等边三角形,AD∥BC,CD⊥AD,垂足为D、E为AC的中点,AD=DE=6 cm则∠ACD=_______°,AC=_________cm,∠DAC=__________°,△ADE是__________三角形.

3、如左下图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AB,垂足分别为D,E,如果AB=8 cm,则BD=__________cm,∠BDE=(__________)°,BE=__________cm.

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4、如右上图,Rt△ABC中,∠A=30°,AB+BC=12 cm,则AB=__________cm.

二、选择题

1、下列说法不正确的是 ( )

A.等边三角形只有一条对称轴 。

B.线段AB只有一条对称轴。

C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线。

D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线。

2、下列命题不正确的是 ( )

A.等腰三角形的底角不能是钝角 。

B.等腰三角形不能是直角三角形。

C.若一个三角形有三条对称轴,那么它一定是等边三角形。

D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形。

第十三讲 综合运用

【学习目标】

1、复习本章的各个知识要点,并加以检测。

2、进一步掌握推理证明的方法,加强学生逻辑推理能力和分析问题的能力培养。

【知识要点】

1、勾股定理及其逆定理。

2、直角三角形HL全等判定定理。

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3、线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。

4、角平分线的性质定理及其逆定理。

5、等腰三角形、等边三角形的性质定理及其逆定理。

【典型例题】

例1、公路旁有一棵大树高为5.4米,在刮风时被吹断,断裂处距地面1.5米,请你通过计算说明在距离该大树多大范围内将受到影响。

例2、已知:如图,∠A=∠D=90°,AC=BD.求证:OB=OC

例3、如右图,P是∠AOB的平分线OM上任意一点,PE⊥CA于E,PF⊥OB于F,连结EF.求证:OP垂直平分EF.

例4、已知:如图,CE⊥AB,BF⊥AC,CE与BF相交于D,且BD=CD.求证:D在∠BAC的平分线上.

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例5、如图,P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.

例6、已知:如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使 CE = CD.求证:BD = DE.

【经典练习】

一、选择题

1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数是( )

A30° B 36° C45° D54°

2、如图,等边△ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是 ( )

A.45° B.55° C.60° D.75°

3、如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF.②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是( )

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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4、如图,以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出( )

A.2个 B.4个 C.6个 D.8个

5、如图,△ABC中,AB=BD=AC,AD=CD,则∠ADB的度数是( )

A.36° B.45° C.60° D.72°

6、如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,CD、BE是△ABC的角平分线,CD、BE相交于点O,则图中等腰三角形有( )

A.6个 B.7个 C.8个 D.9个

7、已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为( )

A.36° B.45° C.60° D.72°

8、等腰直角三角形的斜边长为a,则其斜边上的高为 ( ) A.a2a B.2a C. D.a 242

9、下列两个三角形中,一定全等的是 ( )

A有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形

B两个等边三角形

C有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形

D有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形

二、填空题

1、在△ABC中,∠A -∠C = 25°,∠B -∠A = 10°,则∠B =____________;

2、等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是 ____________;

3、在△ABC中,已知AB=AC,AD是中线,∠B=70°,BC=15cm,则∠BAC=____________,∠DAC=____________,BD= ____________cm;

4、在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AB=3,AC=4,则AD=____________;

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5、在等腰△ABC中,AB=AC,BC=5cm,作AB的垂直平分线交另一腰AC于D,连结BD,如果△BCD的周长是17cm,则△ABC的腰长为____________.

6、已知,如图(1),O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E,若BC = 10 cm,则△ODE的周长_________ .

图(1) 图(2) 图(3)

7、如图(2),在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=40°,AC的垂直平分线MN与AB相交于D点,则∠BCD的度数是_________ .

8、如图(3),∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD的长为_________ .

三、解答题

已知:如图,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于点E.

(1) 求证:AE=BE;

(2) 若∠AEC=45°,AC=1,求CE的长.

EAB

C【课后作业】

1、△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,∠BDC=75°,则∠A的度数为( )

A 、35° B、 40° C 、 70° D、110°

2、三角形的三个内角中,锐角的个数不少于( )

A、1 个 B 、2 个 C 、3个 D 、不确定

13、适合条件∠A =∠B =∠C的三角形一定是( ) 3

A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C、 直角三角形 D、任意三角形

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4、用两个全等的直角三角形拼下列图形:①平行四边形(不包含菱形、矩形、正方形);②矩形;③正方形;④等腰三角形,一定可以拼成的图形是 ( )

A、①②④ B、②④ C、①④ D、②③

5、如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )

A、 AD=AE B、 ∠AEB=∠ADC C、 BE=CD D 、AB=AC

EA(第5题图) (第6题图)

6、如图,⊿ABC?⊿FED,那么下列结论正确的是 ( )

A、 EC = BD B、 EF∥AB C、 DE = BD D、AC∥ED

二、解答题

已知:如图,D是等腰ABC底边BC上一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D点在什么位置时,DE=DF?并加以证明.

第十四讲 二元一次方程(组)

【学习目标】

1、 复习二元一次方程(组)这一章的内容,为下面函数的学习做好准备。

2、加强学生逻辑推理能力和计算能力的培养。

【知识要点】

1、二元一次方程(组)的有关概念。

2、二元一次方程组的解法:代入法;加减消元法。

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①用代入法解二元一次方程组的一般步骤:

(1)从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,且含有x(或y)代数式表示y(或x),即变成y?ax?b(或x?ay?b)的形式;(2)将y?ax?b(或x?ay?b)带入另一个方程(不能带入原变形方程)中,消去y(或x),得到一个关于x(或y)的一元一次方程;(3)解这个一元一次方程,求出x(或y)的值; (4)把x(或y)的值带入y?ax?b(或x?ay?b)中,求y(或x)的值;(5)用“?”联立两个未知数的值,就是方程组的解。

②用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:

(1)根据“等式两边都乘以(或除以)同一个不为0的数等式任然成立”的性质,将原原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式;(2)根据“等式两边加上(或减去)同一个整式,所得的方程与原方程是同一个方程”的性质,将变形后的两个方程相加(或相减),消去一个未知数,得到一个一元一次方程;(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;(4)把求得的未知数的值带入原方程组中比较简单的一个方程中,求另一个未知数的值;(5)用“?”联立两个未知数的值,就是方程组的解。

【典型例题】

例1、判断下列方程是否为二元一次方程,并说明理由. ①

例2、 代入法解下列方程

?x?1?y?2x?7y?8 (1) ? (2)? 3x?2y?53x?8y?10?0?? ② ⑥ ③ ⑦x5? ④ ⑧ y1?1x??032

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?2x?y?5?2s?t?3(3)? (4)? 3x?4y?23s?2t?8??

例3、用消元法解下列方程

?2x?y?23?2x?2y?13(1)? (2)? 4x?y?193x?2y?5??

?y?1x?2?3x?2y?9??(3)? (4)?43 x?y?7???2x?3y?1

2例4、已知?0.5xa?bya?b与y3xa?1是同类项,求a,b的值。 3

例5、宝应县是江苏省青少年足球训练基地,每年都举行全县中小学生足球联赛.比赛规则规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.2004年的联赛中某校足球队参加了16场比赛,共得30分.已知该队只输了2场,那么这个队胜了几场?平了几场?

【经典练习】

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一、填空题

1、方程ax?4y?x?1是二元一次方程,则a的取值为 _____________

2、在y?kx?b中,当x?1时,y?4,当x?2时,y?10,则k? ________,b? ________

?x?0?x?2y?a??y??1?3、已知是方程组?2x?by??2的解,则ab= ________

4、已知:x?2y?32??2x?y与的和为零,则x?y= ________

5、若方程组x-2y=2m的解x与y互为相反数,则m=________ 2x+y=m-8

二、选择题

1、若xa-b-2ya+b-2=11是二元一次方程,那么a、b值分别是 ( )

A、1,0 B、0,-1 C、2,1 D、2,-3

2、 表示二元一次方程组的是( )

?x?y?3?x?y?5A、? B、?2 z?x?5y?4??

?x?y?3?x?y?11C、? D、?2 2xy?2x?2x?y?x???

3、方程2x?y?8的正整数解的个数是( )

A、4 B、3 C、2 D、1

4、有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和为5,则符合条件的两位数有( )

A、4 个 B、5 个 C、6个 D、7个

?4x?3y?15、若方程组?的解x和y相等,则a的值为 ( ) ax?(a?1)y?3?

A、4 B、10 C、11 D、12

?3x?y?1?3a??x?3y?1?a6、若方程组的解满足x?y=0,则a的取值是( )

A、a=-1 B、a=1 C、a=0 D、a不能确定

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三、解下列方程

(1)3x-y-3=0 (2)x+1=5(y+2) 4x+3y=173(2x-5)-4(3y+4)=5

?x-2-y+2=013t+2=0 (4)?2(3) 9s-?y+2 2xs=2-3t?5-=36????

?x+y=7?x+y=2800(5)? (6) 96%x+64%y=2800?92%x+y=8???

【课后作业】

解下列方程组

?3x?5z?6 ①?m?n?2 ①(1)? (2)? ?x?4z??15 ②?2m?3n?14 ②

?4(x?y?1)?3(1?y)?2?4x?y?5?(3) ? (4)?xy 3x?2y?1??2???23

?10?3(y?2)?2(x?1)?x?2y?150?(5) ? (6)?5(y?3)4x?9 4x?3y?300??15??2?2

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第十五讲 函数与坐标系

【学习目标】

1、复习平面直角坐标系的有关概念,明确点的位置与点的坐标之间的关系

2、复习函数的一般概念,以及用解析法表示简单的函数,会画函数的图像

3、进一步培养函数的思想以及数形结合的思想

【知识要点】

1、 平面直角坐标系的基本知识:

①直角坐标系的画法;②坐标系内各象限的编号顺序及各象限内点的坐标的符号

2、函数的定义,以及用解析法表示函数时要注意考虑自变量的取值必须使解析式有意义

3、函数的图象:

(1)函数图象上的点的坐标都满足函数解析式,以满足函数解析式的自变量值和与它对应的函数值为坐标的点都在函数图象上.

(2)知道函数的解析式,一般用描点法按下列步骤画出函数的图象:

列表.在自变量的取值范围内取一些值,算出对应的函数值,列成表.

描点.把自变量的值和与它相应的函数值分别作为横坐标与纵坐标,在坐标平面内描出相应的点. 连线.按照自变量由小到大的顺序、用平滑的曲线把所描各点连结起来.

【典型例题】

例1、点P(-1,-3)关于y轴对称的点的坐标是_____________;关于x轴的对称的点的坐标是 ____________;关于原点对称的点的坐标是____________。

例2、(1)若点P(a,b)在第四象限,则点M(b-a,a-b)在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

(2)已知点P(a,b),a2b>0,a+b<0,则点P在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

(3)已知点P(x,y)的坐标满足方程|x+1|y-2 =0,则点P在( )

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A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

2x??912x3?(4) 已知点A2在第二象限,化简4________ x?3,3?x

例3、函数自变量的取值范围:

(1)函数y1中自变量x的取值范围是 x-1

(2)函数yx+2+5-x中自变量x的取值范围是

x-2中自变量x的取值范围是 (2-x)2-1(3)函数y2x--1例4、(1)当x=2 时,函数y=的值是 ; x+1

(2)函数y=x2+3x+4的值为2,则自变量x=

例5、某音乐厅有20排座位,第一排有18个座位,后面每排比前一排多一个座位,每排座位数m与这排的排数n的函数关系是 ,自变量n的取值范围是

例6、父亲节,学校“文苑”专栏登出了某同学回忆父亲的小诗:“同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还。”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离,横轴t表示离家的时间,那么下面与上述诗意大致相吻的图象是 ( )

A 例7、如图,四边形EFGH是△ABC的内接正方形,

BC=a, 试写出正方形的边长y的与△ABC高AD=x

的函数关系式,并画出函数的图象。

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【经典练习】

一. 选择题。

1、点P(3,-4)关于原点的对称点的坐标是 ( )

A. (3,-4) B. (-3,-4) C. (3,4) D. (-3,4)

2、若点M?a在( ) ,?ba?b,?ab?在第四象限,则点N??

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3、函数y?的自变量x的取值范围是 ( )

A. x?3 B. x?3 C. x?3 D. x?3

4、 点P在x轴上,则a的值为 ( ) a?1,a?2??

A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 图(3 )5、如图(3)所示的象棋盘上,若帅位于点(1,-2)上,相位于点(3,-2)上,则炮位于点

A.(-1,1) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-2,2)

6、如图是某人骑自行车的行驶路程s(千米)与行驶时间t(时)的函数图象,下列说法不正确的是 ( )

A、从0时到3时,行驶了30千米

B、从1时到2时匀速前进

C、从1时到2时在原地不动

D、从0时到1时与从2时到3时的行驶速度相同

7、某市的出租车的收费标准如下:3千米以内的收费6元;3千米到10千米部分每千米加收1.3元;10千米以上的部分每千米加收1.9元。那么出租车收费y(元)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系用图象表示为 ( )

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8、已知?,(2,0),(0,4),则此三角形是( ) ABC三个顶点的坐标分别是(-8,0)

A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

9、下列各组函数中,两个函数相同的是 ( ) x0x2?1?x与yA. y D. y?x,y? y?与yx C. y?x与? B. y?xxx22二、填空题

1、点关于y轴对称,则x=________,y=________。

2、函数的自变量x的取值范围是__________。

3、点到x轴的距离为,则a=_______。

4、点P坐标为,且点P到两坐标轴的距离相等,则点P的坐标为_______。

5、已知点在第四象限,且m为偶数,则m的值为__________。

6、若点M在第二象限,则点N在第_______象限。

7、点P(-4,-7)到x轴的距离为 ,到y轴的距离为 ,到原点距离为 。

8、函数的自变量x的取值范围是_________。

9、等腰三角形ABC的周长为10cm,底边BC长为ycm,腰AB长为xcm,则y关于x的函数关系式是________,其中自变量x的取值范围是___________。

10、为了加强公民的节水意识,某市制定了如下用水收费标准:每户每月用水不超过10吨时,水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x吨,应交水费y元,则y关于x的函数关系式是_________。

三、解答题

1、已知边长为4的等边三角形ABC在直角坐标系中的位置如图,求顶点A、B、C的坐标。

2、 如图,在△ABC中,AC=4,AB=5,D是AC边上的一点,E是AB边上一点,?,若ADE??BDC=x,AE=y,求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围。

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【课后作业】

一、求下列函数中自变量的取值范围: x2?41(1) y??x?x?5 ( ) (2) y? ( )

x?222

(3) y?

) (4) y? ) (5) yx+2+5-x ( )

二、选择题

1、如图,数轴上表示1,的对应点分别为点A,点B.若点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数是( )

A、3?1 B、1?3 C、2?3 D、?2

2、若点P(a,b)在第四象限,则点M(b-a,a-b)在( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

y3、已知点Px,则点P的坐标是( ) 2?3?,?是第四象限的点,且?

?2,?3,?32? D、 ??3,2A、 ?? B、?2? C、 ?3,? 2

4、A、B两点在同一坐标轴上,A点的坐标是(-2,0),且AB=5,则B点坐标是( )

A、(3,0) B、(-7,0) C、(3,0)或(-7,0) D、(-3,0)或(7,0)

第十六讲 一次函数及其图象和性质

【学习目标】

1、复习一次函数的性质及其图象的概念。

2、经历作图、观察、思考、交流、归纳等过程,发展观察、归纳、猜想、验证的能力。

【知识要点】

1、一次函数的概念:若两个变量x,y间的关系式可以表示成y?kx?b(k,b为常数,k ?0)形式,人教课标版2数学2初二升初三 编辑 数学项目组 邮箱 352176877@qq.com

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则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)

2、一次函数的图象

(1)定义:把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

(2)作函数图像的一般步骤:“列表、描点、连线”

3、确定一次函数的解析式

4、一次函数及其图象的性质

(1)增减性:对于一次函数y?kx?b,当k?0时,y的值随x的增大而增大;当k?0 时,y的值随x的增大而减小。

(2)图象所在的象限: ①当k?0,b?0时,函数位于第一、二、三象限②当k?0,b?0 时,图象位于第一、三、四象限;③当k?0,b?0时,图象位于第一、二、四象限; ④当k?0,b?0时,图象位于二、三、四象限。

【典型例题】

例1、下列函数中,y是x的一次函数的是________________

2x①y=x-6; ②y=;③y=; ④y=7-x; ⑤y?3x;⑥y?2x2?x;⑦y?kx?b x8

例2、已知正比例函数

且它的图像通过第二、四象限,求m的值及函数解析式.

例3、早晨,小强从家出发,以v1的速度前往学校,途中在一饮食店吃早点,之后以v2的速度向学

校走去,且v1>v2,则表示小强从家到学校的时间t(分钟)与路程S(千米)之间的关系是( )

例4、正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示,请确定k、b的情况:

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例5、已知一次函数图象过点(4,1)和点(-2,4).求函数解析式且画出图象.根据图象回答:(1)当x=-1时y的值;(2)当y=2时x的值;(3)图象与x轴交点A的坐标,与y轴交点 B的坐标;?当x为何值时y?0,y?0,y?0;?当?1?x?4时y的取值范围;?当?1?y?4时x的取值范围;?求?AOB的面积;?方程?1x?3?0的解。 2

【经典练习】

1、下列函数中,是一次函数但不是正比例函数的为( )

x2x?1A.y=- B.y=- C.y=- 2x2x2?1D.y= x

2、下列各关系中,符合正比例关系的是( )

A.正方形的周长P和它的一边长a B.距离s一定时,速度v和时间t

C.圆的面积S和圆的半径r D.正方体的体积V和棱长a

3、若y=(m-1)x2?m是正比例函数,则m的值为( )

A.1 B.-1 C.1或-1 D.2或-2 2

4、若5y+2与x-3成正比例,则y是x的( )

A.正比例函数 B.一次函数 C.没有函数关系

1

2D.以上答案均不正确 5、如果点A(—2,a)在函数y=?x+3的图象上,那么a的值等于 ( )

A、—7 B、3 C、—1 D、4

6、下列函数中,图象经过原点的为( )

A.y=5x+1 xB.y=-5x-1 C.y=- 5 D.y=x?1 5

7、若一次函数y=kx+b中,y随x的增大而减小,则( )

A.k<0,b<0 B.k<0,b>0

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C.k<0,b≠0 D.k<0,b为任意数

8、.当x=5时一次函数y=2x+k和y=3kx-4的值相同,那么k和y的值分别为( )

A.1,11 B.-1,9 C.5,11 D.3,3

9、一水池蓄水20 m3,打开阀门后每小时流出5 m3,放水后池内剩下的水的立方数Q (m3)与放水时间t(时)的函数关系用图表示为( )

10、两个受力面积分别为SA(米2)、SB(米2)(SA、SB为常数) 的物体A、B,它们所受压强p(帕)

与压力F(牛)的函数关系图象分别是射线lA、lB,则SA与SB的大小关系是( )

A.SA>SB B.SA<SB C.SA=SB D.不能确定

二、填空题

1、直线y=3-9x与x轴的交点坐标为______,与y轴的交点坐标为______.

2、一次函数y=5kx-5k-3,当k=______时,图象过原点;当k______时,y随x的增大而增大.

3、在一次函数y=2x-5中,当x由3增大到4时,y的值由______;当x由-3增大到-2时,y的值______.

4、你能根据下列一次函数y=kx+b的草图,得到各图中k和b的符号吗?

5、若一次函数y=(2-m)x+m的图象经过第一、二、四象限时,m的取值范围是________,若它的图象不经过第二象限,m的取值范围是________.

三、解答题

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已知一次函数y=-2x-2,(1)画出函数的图象. (2)求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标. (3)求A、B两点间的距离. (4)求△AOB的面积. (5)利用图象求当x为何值时,y≥0.

【课后作业】

一、填空题

1、一次函数y=-7x+3中,k=______,b=______.

2、已知y-2=kx(k≠0),且当x=1时,y=7,则y与x之间的关系式为____________.

3、作函数图象的一般步骤为______,______,______;一次函数的图象是一条______.

4、若函数y=(3m-2)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数,则m的值为_____.

5、一次函数的图象经过点(-1,2),且函数y的值随自变量x的增大而减小,请你写出一个符合。

二、解答题

1作出函数y=x-3的图象并回答: 2

(1)当x的值增加时,y的值如何变化?

(2)当x取何值时,y>0,y=0,y<0.

第18讲 反比例函数

【学习目标】

1、认识反比例函数,领会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的定义。

2、会判断一个函数是不是反比例函数。

【知识要点】

k1、反比例函数的定义:一般的,如果两个变量x,y之间的关系式可以表示成y?k为常数,k?0)x

的形式,那么称y是x的反比例函数。

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说明:(1)y?k也可以写成y?kx?1或xy?k的形式; x

(2)反比例函数中,三个变量x,y,k均不为0‘

(3)xy?k(k?0)通常表示以原点及点(x,y)为对角线顶点的矩形的面积

2、用待定系数法确定反比例函数的解析式

【典型例题】

例1、下列函数中是反比例关系的有______________ x121?3①y??;②y=?1;③y??;④y?1?x2;⑤y?; 33x2xx?12

⑥y?81yk;⑦;⑧;⑨;⑩(k为常数,k?0) xy??2y?y?x?122xxx

例2、k为何值时,y=(k+2)xk2-5是反比例函数

例3、已知y-1与成反比例1,且当x=1时,y=4,求y与x的函数表达式,并判断是哪类函数? x?2

例4、已知y?y1?y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,并且当x?2时,y??4,当x??1时,y?5,求出y与x的函数关系式

例5、已知反比例函数y??3m和一次函数y?kx?1的图象都经过点P(m,?3m)。 x

? 求点P的坐标和这个一次函数的解析式。

? 若点M(a,y1)和点N (a?1,y2)都在这个一次函数的图象上.试通过计算或利用一次函数的性质,说明y1大于y2。

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例6、已知矩形的面积为48cm2,求矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系式, 并写出自变量的取值范围。

【经典练习】

一、选择题

1、下列函数中,不是反比例函数的是( )

A、y=5/x B、y=0.4/x C、y=x/2 D、xy=2

2、下列函数中,是反比例函数的是( )

A.y=-3x B.y=-3x?11 C.y=-3x2 D.y=-3x?2

3、如果y=(m+1)xm是反比例函数,那么m的值是( )

A、1 B、-1 C、±1 D、无解

4、已知变量y与x成反比例,当x?3时,y??6;那么当y?3时,x的值是 ( )

A、6 B、 ―6 C 、 9 D 、―9

5、当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是 ( )

A 、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、二次函数

6、如果双曲线y=k

x过点A(3,-2),那么下列各点在双曲线上的是 ( )

A、(2,3) B、(6,1) C、(-1,-6) D、(-3,2)

7、一定质量的二氧化碳,当体积V=5m3,密度p=1.98kg/m3时,p与V 之间的函数关系式是 ( )

A、p=9.9V B、??9.9

V C、??V

9.9 D、??9.9V2

8、已知变量y与x成反比例,当x=3时,y=―6;那么当y=3时,x的值是( )

A、6 B、―6 C、9 D、―9

9、当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是( )

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A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、二次函数

110、已知y1+y2=y,其中y1与成反比例,且比例系数为k1,而y2与x2成正比例,且比例系数为k2,若x

x=-1时,y=0,则k1,k2的关系是 ( )

A.k1?k2 =0 B.k1k2 =1 C.k1?k2 =0 D.k1k2 =-1

二.填空题

1、y?k (k≠0)叫__________函数.,x的取值范围是__________。 x

2、在函数①xy=π②y=5-x ③y= -2/x ④y=2a/x(a为常数,a≠0)中是反比例函数的有 (填序号),并分别写出其K的值: 。

3、已知三角形的面积是定值S,则三角形的高h与底a的函数关系式是h =__________,这时h是a的__________。

4、如果y与x成反比例,z与y成正比例,则z与x成 。

5、如果函数y?kx2k2?k?2是反比例函数,那么k=________。

6、已知y+2与x-3成反比例,当x=1时,y=2;当x=2时,y= 。

7、已知函数y?m1,当x??时,y?6。 x2

28、已知函数y=(k2?1)xk

9、反比例函数y?

b= ?k?1,当k=____时,它的图象是双曲线。 k3的图象经过(-,5)点、(a,-3)及(10,b)点,则k= ,a= ,x2

三、解答题

1、已知y?y1?y2,y1与x成反比例,y2与(x?2)成正比例,并且当x=3时,y=5,当x=1时,y=-1;求y与x之间的函数关系式.

2、在某一电路中,保持电压不变,电流I(安培)与电阻R(欧姆)成反比例,当电阻R=5欧姆时,电

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流I=2安培。

(1)求I与R之间的函数关系式.

(2)当电流I=0.5安培时,求电阻R的值.

【课后作业】

一、选择题

1、下列函数中,是反比例函数的是( )

A、y=2x+1 B、y=0.75x C、x:y=18 D、xy= -1

2、体积、密度、质量之间的关系为:质量?密度?体积.所以在以下结论中,正确的为( )

A、当体积一定时,质量与密度成反比例.

B、当密度一定时,质量与体积成反比例.

C、当质量一定时,密度与体积成反比例.

D、在体积、密度及质量中的任何两个量均成反比例.

3、设某矩形的面积为S,相邻的两条边长分别为x和y.那么当S一定时,给出以下四个结论:①x是y的正比例函数;②y是x的正比例函数.③x是y的反比例函数;④y是x的反比例函数.其中正确的为( )

A、①,② B、②,③ C、③,④ D、①,④

二、填空题

1、已知变量y与x成反比例,且x?1时,y?5,则y与x之间的函数关系式是 .

my?mxm?2、当 时,函数2?2m?1是反比例函数.

3、某厂有煤15吨,这些煤能用的天数y与每天用煤的吨数x之间的函数关系为 .

三、解答题

2y2与x-3成正比例,已知函数y?2y1?y2,且y1与x成反比例,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3-.2

求x=-3时,y的值.

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