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7.3不等式的性质

发布时间:2013-12-26 12:43:42  

不等式的性质

知识回顾 一.你知道等式具有哪些性质吗? 1. 等式两边都加上或减去同一个数(或整式), 等式仍成立.

2. 等式两边都乘或除以同一个数(除数不为0), 等式仍成立. 二.解方程: (1)x+1=4 ; (2) 2x=-6 ; (3) -2x=-6 .

你能说出上述解方程的依据吗?

不等式具有什么性质? 能像解方程一样解不等式:x+1<4 和 2x>-6 吗?

探究一

如图,电梯里有两个人,身高 分别是am和bm,其中a>b. 当电梯升高6m时,两人 相对于原来的高度分别 是 a+6 和 b+6 . 6 则有 a+6 > b+6
当电梯下降3m时,则有: a-3 > b-3

b

a

议一议

如果a>b, 则有 a+6 a-3

> >

b+6

b-3 > > 一般地,如果a>b,那么a+c ___ b+c (或a-c ___b-c)

归纳:不等式的性质1:
不等式的两边都加上(或减去)同一个 数或同一个整式,不等号的方向不变.

1. 由a<b,要得到a+3<b+3,需要把不等式两 不等式的性质1 边都 加3 ,根据是 ; 2. 由2x+3≥-5,根据不等式性质1,左右两边同 减3 ,可化为: 时 ; 2x≥-8 3. 由-3x-4≤-5,左右两边同时加上4,可化 为: -3x≤-1 .根据是 不等式的性质1 .

探究二 将不等式5>3两边分别乘同一个数,

用不等号填空: 5×(-1) < 3×(-1), 5×1 > 3×1,
5×2 > 3×2, 5×3 > 3×3, 5×4 > 3×4, ··· 你有什么发现?

5×(-2) < 3×(-2),
5×(-3) < 3×(-3),

5×(-4) < 3×(-4),
···
不等号的方向 改变了.

不等号的方向不改变.

议一议
1. 若a>b,则 2a > 2b; -2a < -2b; 2. 若a>b, c > 0,则 ac > bc; 3. 若a>b, c < 0,则 ac < bc; 归纳:不等式的性质2: 不等式的两边都乘(或除以)同一个 正数 , 不等号的方向不变; 不等式的两边都乘(或除以)同一个 负数 , 不等号的方向改变.

练一练
1.已知a<b,用“>”或“<”号填空: (1)a+2 < b+2; (2)a-5 < b-5; (3)6a < 6b; (4)-a > -b; (5)3+2a < 3+2b; (6)4a-3 < 4b-3; (7)3-2a > 3-2b; (8) 4a-3 < 4b+3. 2.说出下列不等式变形的依据: (1)由x-1 >2,得 x >3;(2) 由2x>-4,得 x >-2; (3)由0.5x < -1,得 x >2; (4)由 3x < x,得2x < 0 .

说明:可根据不等式的性质,把不等式进行变形.

试一试 能像解方程一样解下列不等式吗? (1) x+1<4 ; (2) 2x>-6 ; (3) -2x>-6 .

解: (1)两边都减去1, 得:x< 3.

(2)两边都除以2, 得:x > -3.
(3)两边都除以 -2, 得: x< 3. 说明: 可根据不等式的性质,把不等式进行变形, 化为x >a或x <a的形式.

练一练
3.把下列不等式化为x >a或x <a的形式. (1)x+3<-2 (2)

(3)7x>6x-4;(4)-x<0;

1 x ?1 3

(5)3x<x-6; (6)-2x<5x-6. 解:(5)3x<x-6 两边都减去x,得:3x-x<-6, 即 2x <-6; 两边都除以2,得: x <-3.

1

. 不等式的两边都乘以0,结果又怎样? 结果变为恒等式,即0 = 0. 2. 不等式的性质与等式的性质有什么相同点、 不同点?

相同点:性质1是一样的;性质2中左右两边同 时乘以(或除以)同一个正数时,性质也一样. 不同点:等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数时,等式仍然成立; 不等式的两边同时乘以(或除以)同一 个负数时,不等号要改变方向.

1. 请用不等式表示:“如果实数a是负数,那 么它的相反数是正数”. 如果a<0,那么- a >0.
2. 将不等式mx>m(m≠0)的两边都除以m,可 得到哪些结论? 当m>0时, x>1; m < 0时, x < 1. 3. 该不等式的变形错在哪里?

将不等式2x>4x 的两边都除以x,得2 >4.
4. 你能把不等式-1> x变形为x <- 1吗?

相关联接
1. 若a>b,则 b < a . 2. 若a>b, b > c,则 a > 3. 若a>b, c >d,则 a+c > 4.若a>b,则a-b > 0 ; c. b+d .

> 若a-b>0,则a____b ;
< 若a-b<0,则a____b ;

5 .试判断下列各对整式的大小:
2

练一练

(1)

m ? 2m ? 5 和-2m+5;

(2)

a ? 4a ? 3和-4a+1.
2

说明:在解决有关比较大小的问题时,我们 往往通过作差法来比较.

1.不等式的性质1: 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或 同一个整式,不等号的方向不变. 2.不等式的性质2: 不等式的两边都乘(或除以)同个正数,不等 号的方向不变;不等式的两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向改变.
3.可根据不等式的性质,把不等式进行变形,化 为x >a或x <a的形式.


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