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一元二次方程的解法---公式法

发布时间:2013-12-26 14:47:10  

一元二次方程的解法 ----------------公式法

知识回顾
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是 什么?
二次项系数化1,移项,配方,变形,开平方,求解,定根

2、用配方法解下例方程 2 (1)2 x ? 7 x ? 2 ?
(2)
2

0

2x ? 4x ? 5 ? 0
用直接开平方法和配方法解一元二次方程, 计算比较麻烦,能否研究出一种更好的方法?

知识回顾

方程ax2+bx+c = 0(a≠0)呢?

3.如何用配方法解一般形式的一元二次 解:因为a≠0
2

,所以方程两边都除以a,得

b c x ? x? ?0 a a b c 2 移项,得 x ? x ? ? a a
b b 2 c b 2 ?x?( ) ? ? ?( ) 配方,得 x ? 2 ? 2a 2a a 2a
2

b 2 b ? 4ac ) ? 即 (x ? 2 2a 4a
2

想一想:即

b 2 b ? 4ac (x ? ) ? 2 2a 4a
2

能用直接开平方解吗?

不能

什么条件下就能用直接开平方解?


b ? 4ac ? 0,且a≠0时,可以开平方
2

b b2 ? 4ac 得 x? ?? 2a 2a

b b ? 4ac 所以 x ? ? ? 2a 2a
2

?b ? b 2 ? 4ac 即 x? 2a

你能得出什么结论?

概括总结
一般地,对于一般形式的一元二次方程 2

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2



b ? 4ac ? 0 时,它的根是 2 ?b ? b ? 4ac ( b2 ? 4ac ? 0 ) x? 2a

这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公 式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所 确定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程 中系数a、b、c的值,直接求得方程的解。
,x2=2

探究
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2-4ac≥0? 2

在用配方法求 的根时,得

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0)
2

b 2 b ? 4ac (x ? ) ? 2 2a 4a
2
2

因为负数没有平方根,所以

b ? 4ac ? 0

2.在一元二 次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 中,如果 b2 -4ac<0,那么方程有实数根吗?为什么?

ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 在一元二次方程 中,如果b2-4ac<0,那么方程无实数根,这是 2 由于 无意义 b ? 4ac
2

概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 形式为______,b2-4ac=____ 2.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正 确的是( )

12 ? 144 ? 12 A.x= 2
12 ? 144 ? 12 C.x= 2

? 12 ? 144 ? 12 B.x= 2

12 ? 144 ? 48 D.x= 6
=

典型例题
例 用公式法解下列方程: ⑴ x2+3x+2 = 0 ⑵ 2x2-7x = 4 (3) x2=3x-8

解(1)∵a=1,b=3,c=2

b2-4ac=32-4×1×2=1>0


?3? 1 x? 2 ?1

∴x1=-1,x2=-2

典型例题



用公式法解下列方程: ⑵ 2x2-7x = 4 (3) x2=3x-8

析:第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。

解(2)移项,得2x2-7x-4=0 ∵a=2,b=-7,c=-4
b2-4ac=49-4×2×(-4)=81>0



7 ? 81 x? 2? 2
∴,x1=4,

1 x2 ? ? 2

典型例题



用公式法解下列方程: (3) x2=3x-8

解(3)移

项,得x2-3x+8=0 ∵a=1,b=-3,c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23<0 ∴原方程无解
用公式法解一元二次方程的一般步骤?

用公式法解一元二次方程首先要把它化 为一般形式,进而确定a、b、c的值,再求出 b2-4ac的值,当b2-4ac≥0的前提下,再代 入公式求解;当b2-4ac<0时,方程无 实数 解(根)

练一练
1用公式法解下列方程 (1)x2-3x-4=0 (2)2x2+x-1=0 (3)x2-2x=3 (4)x(x-6)=6

(5)4x2+4x-1=-10-8x (6)2x2-7x+7=0

想一想

两个连续正偶数的积等于168,求这两个偶数

归纳总结
1、解一元二次方程一般有哪几种方法?

2.一元二次方程的求根公式是什么? 用公式法解一元二次方程时要注意什么? 3、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗?
4、若解一个一元二次方程时,b2-4ac<0,请说明 这个方程解的情况。


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