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垂直于弦的直径1

发布时间:2013-12-26 14:47:19  

考考你

知识回顾
一、圆是怎样形成的? 二、圆可以看做…集合? 三、圆的有关概念。 A B

O

四、圆是什么图形?

C

D

地震造成小区的圆柱形供水管道损坏,现在工人师傅要为我们换管 道,他测量出管道有水部分的最大深度是3CM,水面宽为6CM, 这个工人想了想,也不知道用多大的水管来替换,你能帮他解决吗?

O A C B

D

实践探究
活动一:把一个圆沿着它的任意一条直径对折,

重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么 结论?

1、圆是轴对称图形。 2 、任何一条直径所在的直线都是对称轴。 3 、圆有无数条对称轴。

4 、圆也是中心对称图形。

活动2:

小组交流

如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB, 垂足为E ,你能找出图中相等的量吗?你通过什 么样的方式得到结论?
C

AE=BE ⌒ ⌒ AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD

你真棒哦!

·
O A E D B

动动脑筋
已知:在⊙O中,CD是直径, AB是弦,CD⊥AB,垂足为E。求证: ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE,AC=BC,AD=BD。 证明:连结OA、OB,则OA=OB。 A 因为垂直于弦AB的直径CD所在的 直线既是等腰三角形OAB的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以,当把圆 沿着直径CD折叠时,CD两侧的两 个半圆重合,A点和B点重合,AE ⌒ ⌒ ⌒ 和BE重合,AC、AD分别和BC、 ⌒ BD重合。因此 AE=BE,AC=BC,AD=BD
⌒ ⌒ ⌒ ⌒

C

.

O E B

D

叠 合 法

垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所对的两条弧。
题设
(1)过圆心

结论

(2)垂直于弦





(3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧

(5)平分弦所对的劣弧

看一看
C C

.
A

O E B A

.

O
E B

D

D

AE≠BE

AE=BE

垂径定理几何语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 111弦所对的两条弧.
C

∵ CD是直径, CD⊥AB,

·
O A

∴AE=BE,
B

⌒ ⌒ AC =BC,

E D

⌒ ⌒ AD=BD.

例1

已知:在⊙O中,弦AB的长为8cm, 圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

解:∵OE⊥AB 1 1 ∴ AE ? AB ? ? 8 ? 4
在Rt △ AOE 中
2 2

A

E · O

B

OA ? OE ? AE
2 2
2 2

2

OA ? OE ? AE ? 3 ? 4 ? 5
2 2

∴ ⊙O的半径为5cm.

练习

已知:AB为⊙o的弦, ⊙o的半径为5, OC⊥AB于D交⊙o于点C,且CD=1,则 AB=___________.
求圆中有关线段时,常借 助垂径定理转化为Rt△, 半径r 、弦的一半、弦心距 构成Rt△,用勾股定理解 决。

O

A

D C

B

例2 已知:在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等 的两弦, OD⊥AB于D,OE⊥AC于E 求证:四边形ADOE是正方形. C 证明:∵AC⊥AB, OD⊥AB,OE⊥AC ∴∠A=∠ADO=∠AEO=90° E ∴四边形ADOE是矩形 又OD⊥AB,OE⊥AC A 1 1 ∴ AD ? AB , AE ? AC

O D B

∵AC=AB ∴AE=AD ∴四边形ADOE是正方形

2

2

O A B C

D

地震造成小区的圆柱形供水管道损坏,现在工人

师傅要为我们换管 道,他测量出管道有水部分的最大深度是3CM,水面宽为6CM, 这个工人想了想,也不知道用多大的水管来替换,你能帮他解决吗?

拓展

延伸

在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=15, 以C为圆心,AC为半径的⊙C交AB于D,求AD长.

解:作CG⊥AD于G, 则AG=GD

C G A D



AB ? AC2 ? BC2 ? 82 ? 152 ? 17
1 1 ? AC ? BC ? AB ? CG 2 2
120 17
2 2 2

又∵ S ?ABC ∴CG=

B

120 2 64 ) ? ∵ AG ? AC ? CG ? 8 ? ( 17 17

∴AD=2AG=

128 17

1、圆是轴对称图形。

2、垂径定理。 3、垂径定理书写格式。

4、你掌握了……。 5、你有哪些困惑?


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