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最新浙教版八年级上册 第一单元复习

发布时间:2013-09-21 21:25:58  

第一章单元复习

1.1认识三角形 1.三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线 段首尾顺次相接所组成的图形 叫做三角形。

三角形用符号“△”表示,如图,顶点是 A,B,C的三角形记做△ABC。 A
C B

2.三角形边的性质:

三角形的任何两边之和大于第三边 三角形的任何两边之差小于第三边 另两边的差<第三边<另两边的和
判断方法: 先找出最长一边,如 果另外两边之和大于 最长 一边,那么这三 边就能构成三角形。

3.三角形的内角和外角性质: 三角形三个内角的和等于180°。 三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的 一个内角。

三角形按内角的类型的分类可分为:
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形

4.三角形的角平分线、高线、中线
1>三角形的角平分线:
在三角形中,一个 内角的角平分线与它的对边相交,

这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的角平分线


1 ∴∠ BAD = ∠ CAD = 2∠BAC B



1 2



D

C

2.>三角形的高线:
从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线, 顶点 和垂足 之间的线段 叫做三角形的高线。 B 如图, 线段AD是BC边上的高. A 注意 标明 垂直的记号 和垂足的字母.
!

A
5
2 2 2 3

4

3

2

1

0

D

C

B

D

C

1

2

3 3 3

4 4 4

5

0 0 0 1 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8

9

锐角三角形的三条高
A F
这三条高之间有怎样的位置关系? O E B C

锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部?

D

锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。

直角三角形的三条高
(1) 直角三角形的三条高, 它们有怎样的位置关系? A

D

直角三角形的三条高 交于直角顶点.
直角边BC边上的高是 直角边AB边上的高是 AB ; CB ;



B

C

斜边AC边上的高是 BD ;

钝角三角形的三条高
A (1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗? 它们所在的直线交于一点吗? 钝 角三角形的 三条高不相交于一点 F D B E C

钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
O

小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线, 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。 三角形的三条高的特性:
?锐角三角形 ?直角三角形 ?钝角三角形

?高在三角形内部的数量 ?高之间是否相交 ?高所在的直线是否相交 三条高所在直线的 交点的位置

3 相交 相交
三角形内部

1 相交 相交
直角顶点

1 不相交 相交
三角形外部

三角形的三条高所在直线交于一点

3>三角形的中线
在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,

叫做这个三角形这边的中线.

三角形中线的理解
∵AD是△ ABC的中

线 1 ∴BD=CD= BC 2



A E O


F

D 三角形的三条中线相交于一 点,交点在三角形的内部.

B

C

三角形三条边的中线的位置关系 三角形的一条中线是否将这个三角形分成面 积相等的两个三角形? 是

1.2定义与命题
1>定义: 一般地,能清楚的规定某一名 称或术语意义的句子叫做该名 称或术语的定义。
1、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是对 平行四边形 ”做了定义; “
2.“有一组对边相互平行,另一组对边不平行的四边 形叫做梯形”是对“ 梯形 ”做了定义。

定义“命题”

2>命题(statement): 一般地,对某一件事情作出正确或不正 确的判断的句子叫做命题.也就是说,只要 对一件事做出了判断,不管正确与否,都是 命题。反之,如果一个句子没有对某一件事 情作出任何判断,那么它就不是命题。
命题由哪两部分组成? 命题由可看做由条件和结论两部分组成. 正确的命题叫做 真命题 推理证明

不正确的命题叫做 假命题

举反例

命题的特点:(1)、命题必须是一个完整的 句子,这个句子通常是陈述句(包括肯定句、 否定句) (2)、这个句子对一件事请做出了是或不是、 有或没有等的判断。 (3)、疑问句、祈使句、感叹句、做一件事 情、图形的作法等都不是命题。
(4)、句子的前面是形容词的都不 是命题。

下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?

⑴对顶角相等; 是 ⑵画一个角等于已知角;不是 ⑶两直线平行,同位角相等;是 ⑷a、b两条直线平行吗? 不是 ⑸温柔的李明明。不是
⑹玫瑰花是动物。 是

不是 ⑺若a2=4,求a的值。
⑻我计划明天去秋游。 不是

例1.两个三角形的两边及其夹角对应相等,这两 个三角形全等 条件:两个三角形的两边及其夹角对应相等 结论:这两个三角形全等 如果两个三角形的两边及其夹角对应相等, 那么这两个三角形全等。

例2.直角三角形的两个锐角互余。 条件:两个角是一个直角三角形的锐角 结论:这两个角互余。 如果两个角是一个直角三角形的锐角,那 么这两个角互余

辨一辨
这几个命题哪些是真命题?哪些是假命题? (1)如果两个角相等,那么它们是对顶角; 假命题 (2)如果a>b,b>c,那么a=c; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等; (4)菱形的四条边都相等; 假命题

真命题
真命题

(5)全等三角形的面积相等。

真命题

1.3证明
要判定一个命题是真命题,往往需要从命题的条 件出发,根据已知的定义、公理、定理,一步一步推 得结论成立,这样的推理过程叫做 证明 。

几何证明的一般步骤
1 2 3 4 5

根据题意,画出图形
分清条件(已知

),结论(求证)

分析题意,探索证明过程 用数学语言写出证明过程 检查表达过程是否正确,完善

? 证明方法: ? 1.综合法:从已知条件出发,推出 所证结论的方法叫综合法。即利用 已知条件和某些数学公理、定理、 定义、性质、法则等,经过一系列 的推理论证最后推导出所证结论成 立。 ? 2.分析法:从所证结论出发,逐步 寻求使它成立的,知道归结为判定 一个显然成立的条件为止。

如图,DC//AB, DF平分∠CDB,
E

D
1

C
F

2

BE平分∠ABD,
求证:∠1=∠2

A

B

证明命题“两条直线被第三条所截,如果内错角 相等,那么同位角也相等”是真命题。 l3
3 1 2

l1

l2

第一步:

根据题意,画出图形

证明命题“两条直线被第三条所截,如果内错角 l3 相等,那么同位角也相等”是真命题。
3 1

l1

条件: 已知: 如图,直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截,∠1=∠2
结论: 求证: ∠2=∠3 第二步:

2

l2

在“已知”中写出条件, 在“求证”中写出结论

证明命题“两条直线被第三条所截,如果内错角 l3 相等,那么同位角也相等”是真命题。
已知: 如图,直线 l 1 与 l 2 被 l3 所 截,∠1=∠2
3 1 2

l1

求证: ∠2=∠3 证明: ∵∠1=∠2
( 已知 )

l2

∠1=∠3 (对顶角相等) 在“证明”中写出推理过程, ∴∠2=∠3

第三步:

并且步步有依据。

1.4全等三角形
性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等。

能够重合的两个三角形叫做全等三角形。 定义:

“全等”用符号“≌ ” 表示 △ABC≌△DFE
记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。

判断两个三角形全等;可利用全等三角形的定义。
例 如图, AD平分∠BAC,AB=AC,△ABD与△ACD全等 吗?BD与CD相等吗?∠B与∠C呢?请说明理由。
解: ∵AD平分∠BAC A ∴ ∠1= ∠2,

因此将图形沿AD对折时,射线AC与射线AB重合. ∵ AB=AC

1 2
D B

∴点C与点B重合, 又∵ 点A与点A重合,点D与点D重合 ∴△ABD与△ACD重合 C ∴ △ABD ≌ △ACD(全等三角形的意义) (全等三角形的对应边相等)

∴BD=CD ∴∠B=∠C (全等三角形的对应角相等)
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1.5三角形的判定:
边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成

“SSS”)
边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等 (可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (可简写成“ASA”)
角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等(可简写成“AAS”) 注意:AAA,SSA不能 判断一般三角形全等

全等三角形的判定定理:
? 1、边角边(SAS) ? 2、角边角 (ASA) ? 3、角角边(AAS)


? 4、边边边(SSS)

注意:没有“边边角”和“角角 角”
?

知识梳理:

三角形全等判定方法1

三边对应相等的两个三角形全等(可以简写

为“边边边”或“SSS”)。
用符号语言表达为: 在△ABC和△ DEF中 AB=DE BC=EF CA=FD
B

A

C

D

∴ △ABC ≌△ DEF(SSS) E

F

知识梳理:

三角形全等判定方法2

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全

等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为:
A D

在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS)
B

C F E

知识梳理:

三角形全等判定方法3

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。 用符号语言表达为:
在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D (已知 ) AB=DE(已知 ) ∠B=∠E(已知 )
B C F E A D

∴ △ABC≌△DEF(ASA)

知识梳理:

三角形全等判定方法4

思考:在△ABC和△DFE中,当∠A=∠D , ∠B=∠E和AC=DF时,能否得到 △ABC≌△DFE? 有两角和其中一个 角的对边对应相等的两 个三角形全等(可以 简写成“角角边”或 “AAS”)。
B C F A

D

E

方法指引
证明两个三角形全等的基本思路:
找第三边 (SSS)

(1)已知两边---找夹角 (SAS) 找这边的另一个邻角(ASA) 已知一边和它的邻角 找这个角的另一个领边(SAS) 找这边的对角 (AAS) 已知一边和它的对角 找一领角(AAS)

(2)已知一边一角---

找两角的夹边(ASA)

(3)已知两角--找夹边外的任意边(AAS)

1.证明两个三角形全等,要结合题目的条件 和结论,选择恰当的判定方法 2.全等三角形,是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一,证明时
①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三 角形中。 ②分析要证两个三角形全等,已有什么条件,还缺 什么条件。 ③有公共边的,公共边一定是对应边, 有公共角的, 公共角一定是对应角,有对顶角,对顶角也是对 应角

3.注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系).

例4 (2007金华):如图, A,E,B,D在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC ∥ DF,在ΔABC和ΔDEF, (1)求证: ΔABC≌ΔDEF;
(1)证明:∵AC∥DF(已知) ∴∠A=∠D (两直线
A E

F

B

D

平行,内错角相等)
C

在ΔABC和ΔDEF中 AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证) AC=DF (已知) ∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)

例1:已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一 条直线上,AD=BF,求证:∠E=∠C 证明: AD=FB ∵ ∴ AD+DB=BF+DB 即AB=FD(等式的性质) 在△ABC和△FDE中 AC=FE BC=DE AB=FD ∴ △ABC≌△FDE (SSS) ∴ ∠E=∠C(三角形全等,对应角相等)
A D E B F C

例2:如图,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD
求证:DC∥AB 证明: ∠DOC= ∠BOA(对顶角相等) 在△ABO和△CDO中
D O A B C

OA=OC

∠AOB= ∠COD
OB=OD ∴ △ABO≌△CDO (SAS) ∴ ∠A= ∠C(三角形全等,对应角相等)

∴ DC∥AB(内错角相等,两直线平行)

1.6尺规作图

在几何作图中,我们把没有刻度 的直尺和圆规作图,简称尺规作图。
已学会: ①作一条线段等于已知线段 ②画角平分线 ③作一个角等于已知角。 ④作已知线段的垂直平分线。 ⑤在给定边角条件下,求作三角 形。

1. 画线段

已知:线段MN=a,求作一条线段等于a.

a
M N

(1)先画射线AC;
(2)用圆规量出线段MN 的长;

(3)在射线AC 上截取AB =a ,则线段
AB 就是所要画的线段.

a
M N A B C

2. 画 角

如图,已知∠AOB ,求作一个角等于∠AOB.

B

O

A

(1)画射线O′A′;

(2)以点O 为圆心,以适当长为半径画
弧,交OA 于C ,交OB 于D ;

B D O′ C A

O

A′

(3)以点O′为圆心,以OC 长为半径画弧, 交O′ A′于C′. (4)以点C′为圆心,以CD 长为半径画弧, 交前一条弧于D′. (5)经过点D′画射线O′ B′,则∠A′ O′ B′ 就是所要画的角. B′ B D O′

D′

O

C

A

A′

3. 画角平分线
已知:∠AOB ,求作∠AOB 的平分线. A

O

B

(1)以O 为圆心,以适当长为半径画弧,交OA

1 (2)分别以C、D 两点圆心,以大于 CD 长为半 2
径画弧,两弧相交于P 点; (3)过O、P 作射线OP ,即为所求作的角平分线. A C P O D B

于C 点,交OB 于D 点;

4. 画垂直平分线

已知:线段AB ,画出它的垂直平分线.

A

B

(1)分别以A、B 两点为圆心,以大于AB 线段一 半的长为半径画弧,两弧交于C、D 两点; (2)过C、D 两点作直线,即为所求作线段AB 的 垂直平分线. C

A
D

B

已知:线段a, b, ∠α ,求作:△ABC,使BC= a, E AB= b, ∠ABC =∠α b a a

已知三角形的两边及其 夹角,求作三角形

作法与示范 B
A E′ D′ C

N

D

作法 M (1)作∠MBN= ∠α
(3)连接AC 则△ABC为所求作的三角形

(2)在射线B M上截取BC= a, 在射线B N上截取BA= b,

已知:三角形的两角及它们 的夹边,求作 三角形

设置疑问
α

已知:∠α,∠β,线段c,

作法示范

c β 求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB= c N K C
A

B

M

AN与BK相交于C,则△ABC为所求作的三角形 (3)作∠KBA=∠β 作法:(1)作线段 AB= c (2)作∠NAB=∠α,

设置疑问 作法示范
A

已知三角形的三边求作 三角形
已知:线段a,b,c
a b c

求作:△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c

作法
(1)做线段BC=a, (2)以C为圆心, b为半径画弧 (3)以B为圆心, C为半径画弧 两弧相交于点A

B

C

M

(4)连接AB,AC

则△ABC为所求作的三角形

探究:
画垂线
已知:直线l 及其外一点C . 求作:过C 点垂直于直线l 的直线.

C l

(1)以C 点为圆心,以大于C 点到直线l 的距
离为半经画弧,交直线于A、B 两点; (2)分别以A、B 两点为圆心,以大于1/2AB的

长度为半径画弧,两弧相交于D 点; (3)过C、D 两点作直线CD ,即为所求作的 垂线. C l

A

B

D


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