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26.1二次函数复习(1)

发布时间:2013-12-27 09:46:16  

二次函数复习(1)
y x

朱田中学九年级数学组

知识回顾:
1.已知函数 m=_______.
y ? mx m
2

? m? 2

? x ?1

是关于x的二次函数,则

知识归纳:二次函数定义: 2 一般地,形如 y=ax +bx+c 的函数,y叫做x的二次函数;

( a、b、c为常数且a≠0 )

2.指出下面函数的开口方向,对称轴,顶点坐标,最值,增减性。 (1)y=-5x2 (2)y=2x2+5 (3)y=4(x-3)2 (4)y=-3(x-1)2-2 (5)y=-2x2+8x-8

知识归纳: 二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向

y ? ax

2

y ? ax ? c y ? a( x ? h)
2

2

y ? a ( x ? h) ? k
2

y ? ax ? bx ? c
2

b 2 4ac ? b 2 y ? a( x ? ) ? 2a 4a

当a>0时开口向上,并向上无限延伸; 当a<0时开口向下,并向下无限延伸.

顶点坐标
对称轴 a>0 最 值 a<0 a>0 a<0

(0,0)
y轴

(0,c)
y轴

(h,0)
直线x=h

(h,k)
直线x=h

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a b 直线 x ? ? 2a

x ? 0时,x ? 0时, y min ? 0
y min ? c
x ? 0时

x=h时 ymin=0

x=h时 ymin=k

b 4ac ? b 2 x ? ? 时,ymin ? 2a 4a
b 4ac ? b 2 x ? ? 时,ymax ? 2a 4a

x ? 0时

y max ? 0 y max ? c

在对称轴左侧,y随x的增大而减小 增 减 性 在对称轴右侧,y随x的增大而增大

x=h时 x=h时 ymax=0 ymax=k

在对称轴左侧,y随x的增大而增大 在对称轴右侧,y随x的增大而减小

知识回顾:
3、函数y=5(x-3)2-2的图象可由函数y=5x2的图象沿x轴向 右 下 平移 3 个单位,再沿y轴向__ 平移 2 个单位得到. 4、将抛物线y=x2向左平移4个单位后,再向下平移2个单位,? y=(x+4)2-2 则此时抛物线的解析式是________.

知识归纳:
各种形式的二次函数的关系 y = a( x – h )2 + k 平左 移右 y = ax2 + k 上下平移 平上 移下 y = a(x – h )2

y = ax2

左右平移

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。

知识回顾:
5、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,
则a、b、c的符号为( B ) A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 o C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0 6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示, 则a、b、c的符号为( A ) A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0
y

x
y
x

o

知识归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a,b,c与图象的关系
a a,b a决定开口方向:a>0时,开口向上,a<0时,开口向下 a、b同时决定对称轴位置:a、b同号时对称轴在y轴左侧 a、b异号时对称轴在y轴右侧 b=0时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点:c>0时抛物线交于y轴的正半轴

c

c=0时抛物线过原点 c<0时抛物线交于y轴的负半轴

7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象 解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根. (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集. (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.


直接写答案)
y

解:由图像可知

3 2 1 -1 0 1 2 3

(1)x1=1,x2=3

(2)1<x<3 (3) x>2

4

x

一般的,从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 像可知, 如果抛物线y=ax2+bx+c与X轴有公共点,公 共点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的一个 根。
(2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:
(1) 没有公共点 (2)有一个公共点
(3)有两个公共点

没有实数根 有两个相等的实数根
有两个不等的实数根

知识回顾:
8.若二次函数的图像有最高点为(1,-6),且经过点 y ? ?2( x ? 1)2 ? 6 (2,-8),则此二次函数的关系式______________ 9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?
解: 设所求的二次函数为 由条件得: y=ax2+bx+c 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c 得: a=1 b= -2 c= -3 故所求的抛物线解析式为 y=x2-2x-3

知识归纳:
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原 一设:指先设出二次函数的解析式 二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中

应用拓展
y ? (m ? 1) x 1.已知函数 向下,则m=_____ -2
m2 ?m

是二次函数,其图象开口方向

2.二次函数y=2(x-1)2+2的最小值是( B ) A.-2 B.2 C.-1

D.1

3.二次函数y=x2的图象向右平移3个单位,得到新图象的函数表 达式是( D )
A. y ? x 2

?3

B.

y ? x ?3
2

C.

y ? ( x ? 3)

2

D.

y ? ( x ? 3) 2

(2,3) 直线x=2 4.二次函数y=2(x-2)2+3对称轴为_______,顶点坐标为_______.

(0,-5) 5.已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的与y轴交点坐__________。

上 , 在对称 轴左侧,即x <3 时,y随x增大而 减小 ;在对 称轴右侧,即x >3 时,y随x增大而 增大 ,当 x= 3 时,y有最 小 值为 0 .

6、抛物线y=(x-3)2的开口方向

1 2 7、二次函数y= 2x +2x+1写成顶点式为: 1 x=-2 (-2,-1) y= 2 (x+2)2-1 __________,对称轴为_____,顶点为______

8、已知二次函数y=0 顶点在y轴上,则b=___。

1 2 2 x +bx-5的图象的

9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如 y 图所示,则a、b、c的符号为( C )
A、a>0,b=0,c>0 C、a>0,b=0,c<0 B、a<0,b>0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
o

x

10、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数 y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是( C )
y y y y

o

x

o

x

o

x

o

x

(A)

(B)

(C)

(D)

11、求下列条件下的二次函数的解析式:
已一个二次函数的图象经过点(0,0), (1,﹣3),(2,﹣8),求这条抛物线的解 析式。 12、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)、当x为何值时,y随x的增大 y 而增大; (2)、当x为何值时,y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标;O
x


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