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八年级数学一次函数知识点+例题+随堂习题

发布时间:2013-12-27 11:38:31  

一次函数

◆ 教学目标:

◆ 知识要点:

知识点一:函数

知识点二:正比例函数

知识点三:一次函数

知识点四:一次函数与一元一次方程及一元一次不等式

知识点五:一次函数与二元一次方程组

◆ 典型例题 + 随堂演练:

考点一:函数

1、变量的定义:在某一变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量。变量还分为自变量和因变量。

2、常量的定义:在某一变化过程中,有些量的数值始终不变,我们称它们为常量。

3、函数的定义:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一

个确定的值,y都有唯一确定的值与

其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数,y的值称为函数值。

4、函数的三种表示法:(1)表达式法(解析式法);(2)列表法;(3)图象法。 用数学式子表示函数的方法叫做表达式法(解析式法)。

由一个函数的表达式,列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。

把这些对应值(有序的)看成点坐标,在坐标平面内描点,进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。

5、求函数的自变量取值范围的方法.

(1)要使函数的表达式有意义:?整式(多项式和单项式)时为全体实数;?分式时,让分母≠0;?含二次根号时,让被开方数≠0 。

(2)对实际问题中的函数关系,要使实际问题有意义。注意可能含有隐含非负或大于0的条件。

6、求函数值方法:把所给自变量的值代入函数表达式中,就可以求出相应的函数值。

7、描点法画函数图象的一般步骤如下:

Step1:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);

Step2:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);

Step3:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 典型例题:

1、汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x之间的函数关系是 。

2、圆的周长公式C?2?R中,下列说法错误的是( )。

A、C、?、R是变量,2是常量 B、R是变量,2?是常量;

C、R是自变量,C是R的函数 D、当自变量R?2时,函数值C?4? 随堂演练:

1、圆的面积y(厘米2)与它的半径x之间的函数关系是 。 2、直角三角形两锐角的度数分别为x,y,其关系式为______________。

3、下列曲线中,表示y不是x的函数是( )

考点二:正比例函数

1、正比例函数的定义:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,

其中k叫做比例系数。注意点?自变

量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;?比例系数k≠0;?不含有常数项,只有

x一次幂的单项而已。

2、正比例函数图像:一般地,正比例函数的y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原

点的直线,我们称它为直线y=kx.

当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限(正奇),从左向右上升,即随着x的增大y 也增大。

当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限(负偶),从左向右下降,即随着x的增大y 反而减小。

画正比例函数的最简单方法:

(1)先选取两点,通常选出(0,0)与点(1,k);

(2)在坐标平面内描出点(0,0)与点(1,k);

(3)过点(0,0)与点(1,k)做一条直线。这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的 图象。

典型例题:

1、下列说法正确的是( )

A、正比例函数是一次函数 B、一次函数是正比例函数

C、正比例函数不是一次函数 D、不是正比例函数就不是一次函数 随堂演练:

1、已知函数y=(k-1)x+k2-1,当k________时,它是一次函数,当k=_______?时,它是正比例函数。

2、正比例函数y?kx(k为常数,k?0)的图像经过第 象限,函数值随自变量的增大而 。

3、如果函数y?2mx?3?m是正比例函数,则m= 。

考点三:一次函数

1、一次函数的定义:一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数,

当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注意点○1自变量x的次数是一次幂,且只含有x的一次项;○2比例系数k≠0;○3常数项可有可无。

2、一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx

平移│b│个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)。

3、系数k的意义:k表征直线的倾斜程度,k值相同的直线相互平行,k不同的直线相交。 系数b的意义:b是直线与y轴交点的纵坐标。

当k>0时,直线y=kx+b从左向右上升,即随着x的增大y也增大。 当k<0时,直线y=kx+b从左向右下降,即随着x的增大y反而减小。

b 直线y=kx+b与y轴的交点是点(0,b),与x轴的交点是点(-,0)。

k

4、一次函数图像和解析式的系数之间的关系

5、画一次函数图像的最简单方法:

b

(1)先选取两点,通常选出点(0,b)与点(-,0);

k

(2)在坐标平面内描出点(0,b)与点(1,k); (3)过点(0,b)与点(- 的图象。

6、待定系数法确定一次函数解析式:根据已知的自变量与函数的对应值,或函数图像直线上的点坐标。步骤:?写出函数解析式的一般形式,其中包括未知的系数(需要确定这些系数,因此叫做待定系数)。?把自变量与函数的对应值(可能是以函数图象上点的坐标的形式给出)即x、y的值代入函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组。(有几个待定系数,就要有几个方程)?解方程或方程组,求出待定系数的值,从而写出所求函数的解析式。

b

,0)做一条直线。 这条直线就是正比例函数y=kx+b(k≠0) k

7、解析式与图像上点相互求解的题型

(1)求解析式:解析式未知,但知道直线上两个点坐标,将点坐标看作x、y值代入解析式组成含有k、b两个未知数的方程组,求出k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。

(2)求直线上点坐标:解析式已知,但点坐标只知道横纵坐标中得一个,将其代入解析式求出令一个坐标值即可。

典型例题:

1、P1(x1,y1),点P2(x2,y2)是一次函数y =-4x + 3 图象上的两个点,且 x1<x2,则y1与

y2的大小关系是( )

A、y1>y2 B、y1>y2>0 C、y1<y2 D、y1=y2

2、一次函数y=kx+b满足x=0时,y=-1;x=1时,y=1,则这个一次函数是( )

A、y=2x+1 B、y=-2x+1 C、y=2x-1 D、y=-2x-1

3、已知等腰三角形的周长为20cm,将底边(ycm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是y=20-2x,则其自变量的取值范围是( )

A、0<x<10 B、5<x<10 C、x>0 D、一切实数 随堂演练:

1、下列一次函数中,y随x值的增大而减小的( )

A、y=2x+1 B、y=3-4x C、

x+2 D、y=(5-2)x

2、已知一次函数y=mx+│m+1│的图象与y轴交于(0,3),且y随x值的增大而增大,则m的值为( )

A、2 B、-4 C、-2或-4 D、2或-4

3、在同一坐标系中,对于函数①y=-x-1,②y=x+1,③y=-x+1,④y=-2(x+1)的图象,通过点(-1,0)的是____ ____,相互平行的是___ ____,交点在y轴上的是__ ___。(填写序号)

4、已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A(-6,0),与y轴交于点B,若△AOB的面积是12,且y随x的增大而减小,

你能确定这个一次函数的关系式吗?

考点四:一次函数与一元一次方程及一元一次不等式

1、由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值y=0时,求相应的自变量x的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x?轴交点的横坐标的值。

2、由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看出当一次函数值y大(小)于0时,求自变量x相应的取值范围。 用一次函数图象来解首先找到直线中满足y>(<)0的部分,然后判断这部分线的x的取值范围。

典型例题:

1、如图,直线y?kx?b经过A(2,1),B(?1,?2)两点,则不1等式x?kx?b??2的解集为 2

随堂演练:

1、一次函数的图象经过点A(-2,-1),且与直线y=2x-3平行,则此函数的解析式为( )

A、y=x+1 B、y=2x+3 C、y=2x-1 D、y=-2x-5

2、若一次函数y=bx+2的图象经过点A(-1,1),则b=__________。 3、已知一次函数的图象经过点A(-3,2)、B(1,6)。

①求此函数的解析式,并画出图象。

②求函数图象与坐标轴所围成的三角形面积。

考点五:一次函数与二元一次方程

?3x?5y?838 1、解二元一次方程组?可以看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交55?2x?y?1

点坐标。

2、求两条直线的交点的方法:将两条直线的解析式组成方程组,求解方程组的x、y的值

即为两直线交点坐标。

典型例题:

1、已知直线m与直线y=2x+1的交点的横坐标为2,与直线y=-x+2的交点的纵坐标为1,求直线m的函数关系式。

随堂演练:

1、某农户种植一种经济作物,总用水量y(米3)与种植时间x(天)之间的函数关系式

如图所示.

⑴ 第20天的总用水量为多少米3?

⑵ 当x?20时,求y与x之间的函数关系式。

⑶ 种植时间为多少天时,总用水量达到7000米3?

2、某一次函数的图象与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点,求此函数的关系式。

3、某移动通讯公司开设两种业务:

若设某人一个月内市内通话x跳次,两种方式的费用分别为y元和y元.

①写出y、y与x之间的函数关系式;

②一个月内市内通话多少跳次时,两种方式的费用相同?

③某人估计一个月内通话300跳次,应选择哪种方式合算?

课后作业(第3次)

一、填空题

1、已知一个正比例函数的图象经过点(-2,4),则这个正比例函数的表达式是

2、已知一次函数y=kx+5的图象经过点(-1,2),则k=

3、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是与y轴交点坐标是 。图象与坐标轴所围成的三角形面积

14、下列三个函数y= -2x, y= - 4x, y=(2 - 3 )x共同点(1;

(2) ;

(3)。

5、某种储蓄的月利率为0.15%,现存入1000元,则本息和y(元)与所存月数x之间的函数关系式是 。

6、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式(写出一个即可)。

(1)y随着x的增大而减小。 (2)图象经过点(1,-3)

7、某商店出售一种瓜子,其售价y(元)与瓜子质量x(千克)之间的关系如下表

由上表得y与x之间的关系式是 。 8、在计算器上按照下面的程序进行操作:

下表中的x与y分别是输入的6个数及相应的计算结果:

上面操作程序中所按的第三个键和第四个键 应是。 二、选择题

1

9、下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 (3)y=x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中,是一次函数的有( )

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 1

10、已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线y=- 2 x+2上,则y1 y2大小关系是( ) A、y1 >y2 B、y1 =y2 C、y1 <y2 D、不能比较 11、一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间t(时)的函数关系的图象是( )

A B 12、已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k,b的符号是( A、k>0,b>0 B、k>0,b<0 C、k<0,b>0 D、k<0,b<0

13、弹簧的长度y cm与所挂物体的质量x(kg) 如右图所示,则弹簧不挂物体时的长度是( )

A、9cm B、10cm C、10.5cm D、14、若把一次函数y=2x-3,向上平移3 A、y=2x B、y=2x-6 C、y=5x-3 D、y=-x-3

15、下面函数图象不经过第二象限的为( )

A、y=3x+2 B、y=3x-2 C、y=-3x+2 D、y=-3x-2

16、阻值为R1和R2的两个电阻,其两端电压U关于电流强度I的函数图象如图,则阻值( )

A、R1>R2 B、R1<R2 C、R1=R2 D、以上均有可能

三、解答题

117、在同一坐标系中,作出函数y= -2x与y= 2x+1

18、已知函数y=(2m+1)x+m -3

(1)若函数图象经过原点,求m的值;

(2) 若函数图象在y轴的截距为-2,求m的值;

(3)若函数的图象平行直线y=3x –3,求m的值;

(4)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围。

19、如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题

(1)当行驶8千米时,收费应为元。

(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)

(3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系式

20、为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,各地采用价格调控手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准:每户每月的用水量不超过6立方米时,水费按每立方米a元收费,超过6立方米时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费,该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示:设某户每月用水量x(立方米),应交水费y(元)

(1)求a,c的值

(2)当x≤6,x≥6时,分别写出y于x的函数关系式。

(3)若该户11月份用水量为8立方米,求该户11月份水费

是多少元? 21、一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土

豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题。

(1)农民自带的零钱是多少?

(2)试求降价前y与x之间的关系式。

(3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少?

(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中

的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

参考答案

一、1、 y= —2x 2、3 3、(2,0) (0,4) 4

4、都是正比例函数,都是经过二、四象限的直线,y随x的增大而减少。

5 、 y=1000+1.5x 6、y=—x—2 7 y=0.2+3.60x 8、+1

二、BADDB ABA

三、18、(1)3 (2)1 (3)1 (4)m?1 19、(1)10 (2) 略 (3)y=1.2x+1.4 2

20、(1)a=1.8 c=5.4 (2)当x≤6时,y=1.8x; 当x≥6时,y=5.4x-21.6 (3) 21.6元

21、(1)5元 (2)y=0.5x+5 (3) 0.5元/㎏ (4)40㎏

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