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分式教案

发布时间:2013-12-27 11:38:41  

15.1.1 从分数到分式

教学目标

1.经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式

2.使学生能正确地判断一个代数式是否是分式

3.能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想。教学重点 探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。

教学难点 能通过回忆分数的意义,探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学过程

一、复习与情境导入 (填空)

21.面积为10cm的长方形一边长为7cm,则它的另一边长为 cm。

22.面积为Scm的长方形一边长为acm,则它的另一边长为 cm。

3.一箱苹果售价p元,总重m千克,箱重n千克,则每千克苹果的住售价是 元。

4.根据一组数据的规律填空:1,111,,?? (用n表示) 4916

观察你列出的式子,与以前学过的有什么不同?像这样的式子叫分式。 先根据题意列代数式,并观察出它们的共性:分母中含字母的式子。

二、实践与探索

例1.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?

(1)2xyx3x?y1; (2); (3); (4). x?y32x

例2.探究:

1.当x取什么值时,下列分式有意义?

(1)x?yx12; (2); (3); (4) . x?yx?15?3b3x

2.当x是什么数时,分式x?2的值是零? 根据分式的意义判断。 2x?5

(可类比分数有意义来解决该问题,可类比分数值为0来解决。)

x?1的值为正?可能为负吗? x?1

64.x取何整数值时,的值为整数? x?1

x?a例3.已知分式,当x=3时,分式值为0,当x=-3时,分式无意义,求a,b的值。2ax?b3.x取何值时,分式

(可类比分数来解。)

三、小结

分式的概念和分式有意义的条件。

1

四、作业:

P133发习题15.1第1、2、3题。

15.1.2分式的基本性质(1)

教学目标 掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义。

教学重点 分式约分方法

教学难点 分子、分母是多项式的分式约分

教学过程

一、复习与情境导入

分数的基本性质:分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数,分数的值不变.

由分数的基本性质可知,如果c?0,那么 22c4c4 ??. 33c5c5

a一般地,对于任意一个分数,有 b

aacaa?c, ?. ?bbcbb?c

类似地,分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.

用式子表示是: AA?MAA?M ( 其中M是不等于零的整式)。 ?,?BB?MBB?M

与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分.

二、实践与探索

例4、填空。

??x33x2?3xyx?y??(1), . 2xyy6x

(2)??1??。 2a?b?2, ?a2a2babab

2 例5:不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

12x?y3; (2)0.3a?0.5b. (1)2

120.2a?bx?y23

仔细观察分母(分子)的变化利用分式的基本性质来解题。深入理解。尝试解题。

例6:约分

6x2?12xy?6y2?25a2bc3x2?9(1); (2)2; (3) 23x?3y15abcx?6x?9

说明:在进行分式约分时,若分子和分母都是多项式,则往往需要先把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式),然后才能进行约分。约分后,分子与分母不再有公因式,我们把这样的分式称为最简分式.

练习:约分:

x2?xyx2?y2(x?y)y2bc(1);(2);(3);(4)。 (x?y)2(x?y)2acxy2

三、小结

请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质分式的约分运算,用到了哪些知识? 让学生发表,互相补充,归结为:(1)因式分解;(2)分式基本性质;(3)分式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“-”。

四、作业:

P133课本习题15.1第4、5、6题。

15.1.2分式的基本性质(2)

教学目标

1.进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。

2.使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤;

教学重点 让学生知道通分的依据和作用,学会分式通分的方法。

教学难点 几个分式最简公分母的确定。

教学过程

一、复习与情境导入

3

1.分式x?3中,当x 时分式有意义,当x 时分式没有意义,当x 时分2x?4

式的值为0。

2.分式的基本性质。

二、实践与探索

1.分式的的变号法则

例7 不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“—”号:

(1)?x?5b2m; (2); (3). 3y?6a?n

例8 不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数:

(1)x2?x; (2). 221?x?x?3

注意:(1)根据分式的意义,分数线代表除号,又起括号的作用。(2)当括号前添“+”号,括号内各项的符号不变;当括号前添“—”号,括号内各项都变号。

2.分式的通分

(1)什么叫分数的通分?(把几个异分母的分数化成同分母的分数,而不改变分数的值,叫做分数的通分。)

(2)把分数135,,通分。 246

和分数通分类似,把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。

3.例9 通分

(1)3a?b2x3x与; (2)与; 22x?5x?52ababc

4.练习 P132练习第2题

三、小结

把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。分式通分,是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”,才能化成同一分母。确定公分母的方法,通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母。

四、作业

P133习题15.1第7题

4

15.2.1分式的乘除法(1)

教学目标

1.通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算。

2.引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点 分式的乘除法。

教学难点 分式的乘除法运算中符号的确定。

教学过程

一、复习与情境导入

1.(1)什么叫做分式的约分?约分的根据是什么?

(2):下列各式是否正确?为什么?

2.(1)回忆:计算:?4

(2)尝试探究:计算: 3512?1 63

a2xay2a2xya2yz①2?2; ②22?22. bybxbzbx

概括:分式的乘除法用式子表示

acacacadad??????; bdbdbdbcbc

尝试探究用式子表示,用文字表达。培养学生的合情推理能力。 二、实践与探索 1.例1计算

4xy?(1)3y2x3ab3?5a2b2?; (2)24cd2c

运算结果应化为最简分式。

2.练习 P138练习第2题。

3.例2 计算

11a2?4a?4a?1??(1)2; (2). a?2a?1a2?449?m2m2?7m

5

4.练习 P138练习第3题。

三、小结 各抒已见畅所欲言说分式的乘除法。

四、作业:课本P146习题第15.2第1、2、10、11题

15.2.1分式的乘除法(2)

教学目标

1.乘除法混合运算。

2.理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算。

3.引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力。 教学重点 分式的乘除法、乘方混合运算。

教学难点 分式乘法、除法、乘方混合运算中符号的确定。

教学过程

一、复习与情境导入

1.(1)什么叫做分式的约分?约分的根据是什么?

2.分式乘除法的法则。

二、实践与探索

2x3x?? 1.例4 计算. 5x?325x2?95x?3

2.P138练习第1题。

3.探索分式的乘方的法则

我们都学过了有理数的乘方,那么分式的乘方该是怎样运算的呢?

先做下面的乘法:

(1)?      ?=(n)3; nnn??=mmm      m

?=(n)k. nnn?      ????=mm??m??m      ???

k个(2)

4.仔细观察这两题的结果,你能发现什么规律?与同伴交流一下,然后完成下面的填 6

空: (nk) =___________(k是正整数) m

25.例1计算 ??2a2b??a2b(1)??3c??; (2)???cd3????2a???d3?3?c???? ?2a?2

老师应格外强调符号问题 自主探究,后合作交流学习探索分式的乘方的法则

6.练习 P139练习第2题。

三、小结

怎样进行分式的乘方?怎样进行分式的乘除法、乘方混合运算?

四、作业:课本P习题第15.2第3、10、14题。

15.2.2 分式的加减法(1)

教学目标

1.使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母分式的加减运算。

2.通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力。

教学重点 让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

教学难点 分式的分子是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用。 教学过程

一、复习与情境导入

1.用分式表示:

问题3 甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成任务这项工程的几分之几?

2问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林(单位km)分别是S1、S2、S3,2011年与

2010相比,森林面积增长率提高了多少?

从上面的问题可知,为讨论数量关系,有时需要进行分式的加减运算。

2.回忆:分数的加减法法则:

(1)同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减。

(2)异分母分数相加减,先通分,变为同分母的分数,再加减。

类似地 ,分式的加减法法则如下:

(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。

7

(2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。 acadbcad?bcaba?b???, ?。 ??bdbdbdbdccc

二、实践与探索

1.例6:计算:

5x?3y2x?(1)2x?y2x2?y2; (2)11. ?2p?3q2p?3q

提示:(2)可转化为同分母的分式的减法,但应注意符号问题。

2.练习:课本P141练习。

三、小结

1.同分母分式的加减法法则。

2. 异分母分式的加减法,

(1)正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为:①取各分母系数的最小公倍数;②凡出现的字母为底的幂的因式都要取;③相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

(2)准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。

(3)用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算。

(4)公分母保持积的形式,将各分子展开。

(5)将得到的结果化成最简分式(整式)。

四、作业:课本P146第4、5、12、13题。

15.2.2 分式的加减法(2)

教学目标

1.能类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则.

2.会进行简单的分式四则混合运算。

3.能灵活运用运算律简便运算。

4.进一步培养学生严谨的治学态度,实事求是的精神。

教学重点 会进行简单的分式四则混合运算

8

教学难点 能灵活运用运算律简便运算。

教学过程

一、复习并问题导入

1.回忆:我们已经学习了分式的哪些运算?

2.分式的乘除运算主要是通过 ( )进行的,分式的加减法主要是通过( )什么进行的。分数的混合运算法则是( ),类似的,分式的混合运算法则是先算( ),再算( ),最后算( ),有括号先算( )里的。

二、典型例题探究

21ab?2a??? 1.例7 计算:????b?a?bb4

2.例8 计算:

(1)(m?2?52m?4x?2x?1x?4; (2)(2. )??2)?xm?23?mx?2xx?4x?4

3.同步训练 课本P142练习。

三、小结

1.分数的混合运算法则是( ),类似的,分式的混合运算法则是先算( ),再算( ),最后算( ),有括号先算( )里的。

2.一些题应用运算律、公式简便运算。

四、作业:

课本P146第6题。

15.3分式方程(1)

教学目标

1.使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解分式方程.

2.使学生领会“ 转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

3.培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力。

教学重点 理解分式方程的意义,会按一般步骤解分式方程.

教学难点 按一般步骤解分式方程.

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教学过程

一、问题情境导入

问题:一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h,它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?

二、实践与探索

1.分式方程的概念。

[分析]:江水的流速为x km/h,根据题意,得

9060 ① ?30?v30?v

[提问]方程①有何特点?

[概括] 方程①中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.

[提问] 你还能举出一个分式方程的例子吗?

[辨析] 判断下列各式哪个是分式方程.

(1)x?y?5 ; (2)

x?22x?1123 ; (3) ; (4) . ??53xx?5x?42.分式方程的解法 [思考] 怎样解分式方程呢?

为了解决本问题,请同学们先思考并回答以下问题:

(1)回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的,从中能否得到一点启发?

(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢?

方程①可以解答如下:

方程两边同乘以(30?v)(30?v)约去分母,得

90(30?v)?60(30?v)

解这个整式方程,得

v?6

所以江水的流速为6 km/h

2.概 括

上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

3.例1 解方程:12 ?2x?1x?1

2解:方程两边同乘以(x-1)得

x+1=2.

解这个整式方程,得

x=1.

4.有了上面的经验,我们再来完整地解二个分式方程.

课本P150练习

(1)

2157; (2). ??x?3x?1xx?210

三、小结

①、什么是分式方程?举例说明;②、解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程.

四、作业

课本P154习题15.3第1题(1)、(2).

15.3分式方程(2)

教学目标

1.使学生进一步掌握解分式方程的一般步骤.

2.使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

3.培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力。

教学重点 解分式方程必须检验 会按一般步骤解分式方程.

教学难点 使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

教学过程

一、问题情境导入

1.分式方程。

2.解分式方程关键是什么?

二、实践与探索

1.下面我们再讨论一个分式方程

110 ?2x?5x?25

为去分母,在方程两边乘最简公分母(x?5)(x?5),得整式方程

x?5?10

解得

x?5

2事实上,当x=5时,原分式方程左边和右边的分母(x-5)与(x-25)的值都是0,方

程中出现的两个分式都没有意义,因此,x=5虽然是整式x?5?10式的解但不是原分式方程 11

110的解,应当舍去.所以原分式方程无解. ?2x?5x?25

2.在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验.

3.那么,可能产生“增根”的原因在哪里呢?

4.验根的方法

将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的不值为0.则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,即为增根.

5.例1解方程23? x?3x

x3 ?1?x?1(x?1)(x?2)6.例2解方程

7.练习。课本P152练习。

可先放手让学生自主探索,合作学习并进行总结。深入理解。学生尝试解题,并思考产生增根的原因。总结解分式方程的步骤,并真正理解增根。

三、小结

1.解分式方程的步骤。

2.验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去.

四、作业

课本P154习题15.3第1题(4)、(6)、(8)。

15.3分式方程(3)

教学目标

1.进一步熟练地解分式方程,会列分式方程实际问题。

2.通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识。

教学重点 让学生学习审明题意设未知数,列分式方程。

教学难点 在不同的实际问题中,设未知数列分式方程。

教学过程

一、复习并问题导入

1.复习练习,解下列方程:

12

(1)242x?15 ; (2)2. ?2?2x?14x?16x?6x?x

2.列方程解应用题的一般步骤?

二、实践与探索

1.列分式方程解应用题

例3 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的1,这时增3加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成。哪个队的施工速度快? 读题、审题、设元、找相等关系列方程。

2.概 括

列分式方程解应用题的一般步骤:

(1)审清题意;

(2)设未知数(要有单位);

(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程;

(4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意;

(5)写出答案(要有单位)。

3.练习:求解本章导图中的问题. 对照题目理解。

4.例4 某次列车平均提速v km/h。用相同的时间,列车前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度为多少?

5.练习:课本P154练习。

三、小结

1.列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么?

2.你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗?

四、作业

课本P154习题15.3第3、4、5题。

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