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初三二次函数的应用

发布时间:2013-12-27 11:38:44  

一、利润问题

(一)知识点

二次函数的一般式y?ax2?bx?c(a?0)化成顶点式

b24ac?b2

,如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶y?a(x?)?2a4a

点处取得最大值(或最小值).

4ac?b2b即当a?0时,函数有最小值,并且当x??,y最小值?; 4a2a

4ac?b2b当a?0时,函数有最大值,并且当x??,y最大值?. 4a2a

如果自变量的取值范围是x1?x?x2,如果顶点在自变量的取值范围

4ac?b2b,如果顶点不在此范围内,则需x1?x?x2内,则当x??,y最值?4a2a

考虑函数在自变量的取值范围内的增减性;如果在此范围内y随x的增大而增大,则当x?x2时,

2y最大?ax2?bx2?c,当x?x1时,y最小?ax12?bx1?c;

如果在此范围内y随x的增大而减小,则当x?x1时,y最大?ax12?bx1?c,

2?bx2?c. 当x?x2时,y最小?ax2

(二)例题讲解

[例1]:某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?

[练习]:1.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?

2.某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?

[例2]: 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:

若日销售量y是销售价x的一次函数.

⑴求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;

⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?

[练习]1.市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品,如果以30?元/千克销售,那么每天可售出400千克.由销售经验知,每天销售

量y(千克)?与销售单价x(元)

(x?30)存在如下图所示的一次函数关系式.

⑴试求出y与x的函数关系式;

⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P

元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?

⑶根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480元,?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元,请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(?直接写出答案).

2.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕,?某果品批发公司为指导今年的樱桃销

(1接各点并观察所得的图形,判断y与x之间的函数关系,并求出y与x之间的函数关系式;

(2)若樱桃进价为13元/千克,试求销售利润P(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式,并求出当x取何值时,P的值最大?

3.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天.如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是,放养一天需支出各种费用为400元,且平均每天还有10 kg蟹死去,假定死蟹均于当天全部销售出,售价都是每千克20元.

(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数关系式;

(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000 kg蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式.

(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润(利润额)?

二、面积问题

[例1]:在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q两点同时出发,分别到达B、C两点后就停止移动.

(1)运动第t秒时,△PBQ的面积y(cm2)是多少?

(2)此时五边形APQCD的面积是S(cm2),写出S与t的函数关系式,并指出自变量的取值范围.

(3)t为何值时s最小,最小值时多少?

[例2]:小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门(木质).花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大?

[例3]:已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图),其中AF=2,BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM有最大面积.

[例4]:某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元,若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.

(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状,并说明理由;

(2)E、F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

[练习]1、兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,房子的价格y(元/平方米)随楼层数x(楼)的变化而变化(x=1,2,3,4,5,6,7,8);已知点(x,y)都在一个二次函数的图像上,(如图所示),则6楼房子的价格为 元/平方米.

2.如图所示,在一个直角△MBN的内部作一个长方形ABCD,其中AB和BC分别在两直角边上,设AB=x m,长方形的面积为y m2,要使长方形的面积最大,其边长x应为( )

245

A.m B.6 m C.15 m D.m 42

3.将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当x取下面哪个数值时,长方体的体积最大( )

A.7 B.6 C.5 D.4

4.某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD,花园的一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围成.若设花园的宽为x(m) ,花园的面积为y(m2).

(1)求y与x之间的函数关系,并写出自变量的取值范围;

(2)根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势;并结合题意判断当x取何值时,花园的面积最大,最大面积是多少?

三、抛球问题

1[例1].小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y??x2?3.5的一部分,如5

图所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是 .

[例2].在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0(m/s)竖直向上抛出,?

1在不计空气阻力的情况下,其上升高度(sm)与抛出时间(ts)满足:S=V0t-gt2

2

(其中g是常数,通常取10m/s2),若V0=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距离地面__ _m.

[例3].如图,一小孩将一只皮球从A处抛出去,它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分,如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m,球路的最高点B(8,9),则这个二次函数的表达式为______,小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) .

[例4].如图,铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是:

125y??x2?x?,则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) 1233

A.6 m B.12 m C.8 m

D.10m

(图4) (图5) (图6)

[例5].某幢建筑物,从10 m高的窗口A,用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直,如图6,如果抛物线的最高点M离墙1 m,

40离地面m,则水流落地点B离墙的距离OB是( ) 3

A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

1 [例6].小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y??x2?3.5的一部分,5

如图7所示,若命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是( )

A.4.6m B.4.5m C.4m D.3.5m

[例7]如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为多少米?

四、拱桥问题

例1、有座抛物线形拱桥(如图),正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m,为了保证过往船只顺利航行,桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时,就会影响过往船只航行。

例2、某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?

例3、平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地视为抛物线,如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳甩到最高处时,刚好通过他们的头顶,已知学生丙的身高是1.5米,请你算一算学生丁的身高。

[练习]1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其

12函数的解析式为y=?x,当水位线在AB位置时,水面宽 AB = 30米,这时25

水面离桥顶的高度h是( )

A、5米 B、6米; C、8米; D、9米

2、、一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当

水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).

3、一个涵洞成抛物线形,它的截面如图,现测得,当水面宽AB=1.6 m 时,涵洞顶点与水面的距离为2.4 m.这时,离开水面1.5 m处,涵洞 宽ED是多少?是否会超过1 m?

4、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4m,顶部C离地面高度为4.4m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.

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