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2013全等三角形总复习课件人教版

发布时间:2013-12-27 12:42:58  

知识点
1.全等三角形的性质:

对应边、对应角、对应线段相等,周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定: SAS、ASA、AAS、SSS、HL

知识点
3.三角形全等的证题思路:
?找夹角 ? SAS ? ① 已知两边?找另一边 ? SSS ?找直角 ? HL ? 边为角的对边 ? 找任一角 ? AAS ? ? ?找夹角的另一边 ? SAS ② 已知一边一角 ? ?边为角的邻边?找边的对角 ? AAS ? ?

?找夹边 ? ASA ③已知两角? ? 找任一边 ? AAS

? ?找夹角的另一角 ? ASA

二.角的平分线: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知) ∴ QD=QE(角的平分线上的点到角的两
边的距离相等)

1.角平分线的性质:

2.角平分线的判定:

到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE(已知). ∴点Q在∠AOB的平分线上.(到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上)

2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明:过点P作PD⊥AB于D, PE⊥BC于E,PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D,PE⊥BC于E
B A ND P M F C

E ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距

离相等). 同理,PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

3.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相

证明: 过点F作FG⊥AE于G, FH⊥AD于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上, FG⊥AE, FM⊥BC ∴FG=FM(角平分线上的点到这个角
的 两边距离相等). 又∵点F在∠CBD的平分线上,

交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.

G M

H

FH⊥AD, FM⊥BC ∴FM=FH (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). ∴FG=FH(等量代换) ∴点F在∠DAE的平分线上

例题选析
?例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B =∠C,那么补充下列一具条件后,仍无法判 定△ABE≌△ACD的是( ) B

A.AD=AE
C.BE=CD

B. ∠AEB=∠ADC
D.AB=AC

?例2:已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC, 垂足分别为D、E,BE、CD相交于O点, ∠1=∠2,图中全等的三角形共有( ) D A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

例3. 已知: AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD. 求证:BC=AD.

D A

C
B

?例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'

?例5:如图,在△ABC 中,AD⊥

BC,CE⊥ AB,垂足分别为D、E,
AD、CE交于点H,请你添加一个适 当的条件: BE=EH △AEH≌△CEB。 ,使

? 例6:求证:三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD 已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证: ? ( A

B ? AC ) 2 证明: 延长AD到E,使DE=AD,连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD=CD 又 ∵ DE=AD ?ADC ? ?EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中,AE < AB+BE=AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 AD ? ( AB ? AC ) ∴ 2

B

D

C

E

课堂练习
1.已知BD=CD,∠ABD=∠ACD,DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F, 求证:DE=DF
证明:∵∠ABD=∠ACD(已知) ∴∠EBD=∠FCD( 等角的补角相等) 又∵DE⊥AE,DF⊥AF(已知) ∴∠E=∠F=900(垂直的定义 ) 在△DEB和△DFC中 ∵ ?E ? ?F (已证) ? ? ? ?EBD=?FCD(已证) ? BD=CD(已知) ? ∴△DEB≌△DFC(AAS) ∴DE=DF( 全等三角形的对应边相等)

2.点A、F、E、C在同一直线上,AF=CE, BE = DF,BE∥DF,求证:AB∥CD。
? AF ? CE 证明: ? AE ? CF
又? BE ∥ DF ? ?1 ? ?2
BE ? DF

又?

? ?AEB ≌ ?CFD ? ?A ? ?C ? AB ∥CD

3、如图:在△ABC中,∠C =900,AD 平分∠ BAC,DE⊥AB交AB于E, BC=30,BD:CD=3:2,则 DE= 12 。 c
D

A

E

B

4.已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条 直线上求证:BE=AD E 证明: ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A

在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA

变式:以上条件不变,将
△ABC绕点C旋转一定角度 (大于零度而小于六十度), 以上的结论海成立吗?

DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD

5:如图,已知E在AB上,∠1=∠2, ∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?
C 3 A E 4 D 1 2 B

解:AC=AD

理由:在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4

EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD

6:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形?请任选一对给予证明。 E F C B

答:
D

△ABC≌△DEF

证明: ∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF (SAS)

A

7.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA, CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法: 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段,然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 (割)

A

B

2、把一个三角形移到另一位置, 使两线段补成一条线段,再证明 它与长线段相等。(补)

P27

P27

P27

练习
7:如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出两 个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。 (只写出一种情况)①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知: EG∥AF

求证: A

E B G D C F



拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=

EF.

求证:BC∥EF
F E D

A B C

10.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上 ,连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点 F,给出下列5个关系式::①AD∥BC,② ,DE=EC③∠1=∠2,④∠3=∠4,⑤ AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知, 另外两个作为结论,构成正确的命题。请 用序号写出两个正确的命题:(书写形式 A :如果……那么……)(1) D 1 2 ;(2) ;
E 3 B 4 (第18题) C F

11.如图,在R△ABC中,∠ACB=450, ∠BAC=900,AB=AC,点D是AB的中点 ,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF 的延长线于E,求证:BC垂直且平分 DE.

12.已知:如图:在△ABC中,BE、CF 分别是AC、AB两边上的高,在BE上 截取BD=AC,在CF的延长线上截取 CG=AB,连结AD、AG。 ? 求证:△ ADG 为等腰直角三角形。
A G F D H C E

B

13.已知:如图21,AD平分 ∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于 F,DB=DC, 求证:EB=FC

总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题: (1):要正确区分“对应边”与“对边”,“对应 角”与 “对角”的不同含义; (2):表示两个三角形全等时,表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上; (3):要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4):时刻注意图形中的隐含条件,如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”


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