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勾股定理逆定理

发布时间:2013-12-27 14:57:30  

这怎么可能那?

X

教学目标

? 1.经历直角三角形判别条件的探索过

程,体会命题与逆命题、定理与逆定 理的互逆性。 ? 2能应用勾股定理的逆定理解决简单的 实际问题。 ? 3.体会数学来源于生活,应用与生活。

自主探究:

?古埃及人曾用下面的方法得到直角:

用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结, 4个结,5个结的长度为边长, 用木桩钉成一个三角形,其中 一个角便是直角。

按照这种做法真能得到一个 直角三角形吗?

5

3

4 请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?

3 + 4 = 5

2

2

2

探究2

动手画一画

下面的三组数分别是一个三角形 的三边长a,b,c: 5cm,12cm,13cm;(男同学)
6cm,8cm,10cm (女同学)。 2 2 2 吗? (1)这三组数都满足a ? b ? c
(2)画出图形,它们都是直角三角形吗?

勾股定理的逆命题

如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a

+

2 b

=

2 c

那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理

互逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么有 a2 + b2 = c2

勾股定理的逆命题 已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
A A′

b
C

c
a

b
B C′

在△ ABC和△ A’B’C’中 BC=a=B’C’

a

B′

CA=b=C’A’ AB=c=A’B’

证明: ∵ ∠ C’=900 ∴ A’B’2= a2+b2 ∵ a2+b2=c2

∴ △ ABC ≌△ A’B’C’(SSS) ∴ ∠ C= ∠ C’=90° 则 △ ABC是直角三角形 (直角三角形的定义)

∴ A’B’ 2=c2 ∵ 边长取正值
∴ A’B’ =c

逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足
2 a

勾股定理的逆命题

+

2 b

=

2 c

那么这个三角形是直角三角形。且边 C所对的角为直角。
勾股定理

定理 互逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a,b, 斜边为c,那么 a2 + b2 = c2

定理与逆定理

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个

定理称另一个定理的逆定理.
除了勾股定理及其逆定理;我们已经学习了一些互逆的 定理,如: 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.

驶向胜利 的彼岸

尝试应用1

说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?

(1)两条直线平行,内错角相等.
逆命题: 内错角相等,两条直线平行. 成立

(2)如果两个实数相等,那么它们的平方相等.
逆命题:如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等. 不成立

(3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.
逆命题:如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等. 不成立

(4)全等三角形的对应角相等.
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三

角形. 不成立

感悟: 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立

尝试应用2

例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:
(1) a=15 , b =8 , c=17 (2) a=13 , b =15 , c=14

分析:由勾股定理的逆定理,判断三角形是 不是直角三角形,只要看两条较小边的平方 和是否等于最大边的平方。 解:∵152+82=225+64=289 172=289 ∴ 152+82=172 ∴这个三角形是直角三角形

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角 形?如果是那么哪一个角是直角?(a,b,c分 别为∠ A ,∠ B, ∠ C的对边 )

(1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a:b: c=3:4:5

是 ∠_____ ;0 A=90 ____
不是 ____ _____ ; 是 ∠ _____0 ; B=90 ____ ∠_____ 0; C=90 是 _____

像3,4,5,能够成为直角三角形三条边长的三个正 整数,称为勾股数.

成果展示 1

1.一个零件的形状如左图所示,按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个 零件各边尺寸如右图所示,这个 零件符合要求吗?
C D 13 C

D
4 5 12 B

A

A 3 B

成果展示2

2、 已知a,b,c为△ABC的三边,且 满足 |b-6|+ a - 10 +(c - 8)2 =0 试判断△ABC的形 状.

补偿提高 1

1. 三角形三边长a、b、c满足条件

(a ? b) ? c ? 2ab, 则此三角形是(
2 2

B

)

A、锐角三角形 C、钝角三角形

B、直角三角形 D、等边三角形

补偿提高 2 中考连接: 已知:如图,四边形ABCD

中,∠B=900,AB=3,BC=4, CD = 12 , AD = 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
C B D A

S四边形ABCD=36

补偿提高 3

? 3.在△ABC中,BC=6,AC=3,AB= ? 试求BC边上高。

3, 3

A

C B D

……

勾股定理的逆命题

如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边 的平方和,那么这个三角形是直角三角形。 已知:在△ABC中,AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2

求证: △ ABC是直角三角形 证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a,
A

C’A’=b
A’

c b

b

B

a

C

B’

a

C’


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