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一次函数(正比例函数)的应用

发布时间:2013-09-21 22:05:15  

一次函数(正比例函数)的应用

一、选择题

1. (2012湖北黄石3分)有一根长40mm的金属棒,欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小 段,剩余部分作废料处理,若使废料最少,则正整数x,y应分别为【 】

A. x?1,y?3 B. x?3,y?2 C. x?4,y?1 D. x?2,y?3

【答案】B。

【考点】网格问题,一次函数的应用。

740【分析】根据金属棒的长度是40mm,则可以得到7x+9y≤40,即y??x+。 99

740 如图,在网格中作y=?x+?x>0,y>0?。 99

则当线段AB上有整数点时,是废料为0,该点即为所求。但从

图中可见,线段AB上没有整数点,故在△ABC区域内离线段AB最近的

整数点即为所求,图中可见,点(3,2)离线段AB最近。

∴使废料最少的正整数x,y分别为x=3,y=2。

故选B。 740别解:∵y??x+且x为正整数,∴x的值可以是: 1或2或3或4。 99

当y的值最大时,废料最少,

∴当x=1时,y?33 ,则y最大4,此时,所剩的废料是:40-1×7-3×9=6mm ; 9

26当x=2时,y? ,则y最大2,此时,所剩的废料是:40-2×7-2×9=8mm; 9

19当x=3时,y? ,则y最大2,此时,所剩的废料是:40-3×7-2×9=1mm; 9

12当x=4时,y?,则y最大1,此时,所剩的废料是:40-4×7-1×9=3mm。 9

∴使废料最少的正整数x,y分别为x=3,y=2。 2. (2012辽宁阜新3分)如图,一次函数y=kx+b的图象与y

轴交于点(0,1),则关于x的不等式kx+b>1的解集是【 】

A.x>0 B.x<0 C.x>1 D. x<1

【答案】B。

【考点】一次函数与一元一次不等式。

【分析】直接根据函数的图象与y轴的交点为(0,1)进行解答即可:

由一次函数的图象可知,此函数是减函数,

∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1),

∴当x<0时,关于x的不等式kx+b>1。故选B。

3. (2012山东济南3分)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为【 】

A.x=2 B.y=2 C.x=-1 D.y=-1

【答案】C。

【考点】一次函数与一元一次方程的关系。

【分析】直接根据函数图象与x轴的交点进行解答即可:

∵一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为(-1,0),

∴当y=kx+b=0时,x=-1。故选C。

4. (2012山东潍坊3分)若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限,则b的取值范围是【 】.

A. -4<b<8 B.-4<b<0 C.b<-4或b>8 D.-4≤6≤8

【答案】A。

【考点】两条直线相交问题,解二元一次方程组,平面直角坐标系中各象限点的特征,解一元一次不等式组。

【分析】联立y=-2x-4和y=4x+b,求解得交点坐标,x和y的值都用b来表示,再根据交点坐标在第三象限表明x、y都小于0,即可求得b的取值范围:

b?4? x?? ??y??2x?4 ?6由?解得?。 y?4x?bb?8??y? ?3?

?b?4 ?<0 ?b>?4 ? ?6∵交点在第三象限,∴?,解得?。 b<8 b?8??<0 ??3

∴-4<b<8。故选A。

5. (2012河南省3分)如图,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于A(m,3),则不等式2x<ax+4的解集为【 】

A.x<3 B.x<3 2 C.x>3 2 D.x>3

【答案】A。

【考点】一次函数与一元一次不等式,直线上点的坐标与方程的关系。

6. (2012内蒙古呼和浩特3分)下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x﹣2y=2的解是【 】

A.

【答案】C。 B. C. D.

【考点】直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】∵x﹣2y=2,即y=1x﹣1,∴当x=0,y=﹣1;当y=0,x=2。 2

∴一次函数y=

故选C。

二、填空题 1x﹣1,与y轴交于点(0,﹣1),与x轴交于点(2,0),即可得出C符合要求。2

1. (2012江苏南通3分)无论a取什么实数,点P(a-1,2a-3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的点, 则(2m-n+3)2的值等于 ▲ .

【答案】16。

【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。

【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上,

∴令a=0,则P1(-1,-3);再令a=1,则P2(0,-1)。

设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),

?k?2??k?b??3∴ ? ,解得? 。 b??1 b??1??

∴直线l的解析式为:y=2x-1。

∵Q(m,n)是直线l上的点,∴2m-1=n,即2m-n=1。

∴(2m-n+3)2=(1+3)2=16。

2. (2012江苏常州2分)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0),⊙P是以点P为圆心,2为半径的圆。若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1,0)且与⊙P相切,则k+b的值为 ▲ 。

【考点】一次函数综合题,直线与圆相切的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,一次函数的性质。

【分析】如图,设一次函数y=kx+b与y轴交于点C,与⊙P相切于点P。

则OA=1,OC=∣b∣,OP=3,BP=2,AP=4。

∴AB??

由△AOC∽△ABP,得bOCAO,即?

?

2BPAB

OCb

∴k= =?AO1解得b?

由图和一次函数的性质可知,k,b同号,

∴或k+b=

3. (2012江苏淮安3分)如图,射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象,图中s、t分别表示行驶距离和时间,则这两人骑自行车的速度相差 ▲ km/h。

【答案】4。

【考点】一次函数的图象和应用。

【分析】要求这两人骑自行车的速度相差,只要由图象求出两人5 h行驶的距离即可:

甲5 h行驶的距离为100 km,故速度为100÷5=20 km/h;

乙5 h行驶的距离为100 km-20km =80 km,故速度为80÷5=16 km/h。

∴这两人骑自行车的速度相差20-16=4 km/h。

4. (2012湖北恩施4分)如图,直线y?kx?b经过A(3,1)和B(6,0)两点,则不等式组

10<kx+b<x的解集为.

3

【答案】3<x<6。

【考点】一次函数与一元一次不等式,不等式组的图象解法。

11【分析】如图,作y=x的图象, 知y=x经过A(3,1)。 33

1 则不等式组0<kx+b<x的解集即直线y?kx?b在3

1x轴上方和直线y=x下方时x的范围。 3

∴3<x<6。

5. (2012湖北黄冈3分)某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶, 快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与货车相遇.

知货车的速度为60千米/时,两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示,现有以下4个结论:

①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时;

②甲、乙两地之间的距离为120千米;

3③图中点B的坐标为(3,75); 4

④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时.

以上4个结论中正确的是 ▲ (填序号

)

【答案】①③④。

【考点】一次函数的应用。

【分析】①设快递车从甲地到乙地的速度为v1千米/时,

由已知,货车的速度为60千米/时,

由图象知,货车行驶时间3小时时,两车相距120千米,得

?v1?60??3=120,解得v1=100。

∴快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时。故结论①正确。

② 由图象知,快递车行驶3小时到达乙地,∴甲、乙两地之间的距离为3×100=300(千米)。

故结论②错误。

③ ∵快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟,即3小时, 4

33 ∴点B的横坐标为3+=3。 44

33 又∵小时货车行驶了?60=45(千米), 44

∴此时两车相距120-45=75(千米),即点B的纵坐标为75。

3∴图中点B的坐标为(3,75)。故结论③正确。 4

④ 设快递车从乙地返回时的速度为v2千米/时,

3??1 由③和图象可得,?v2+60???4?3?=75,解得v2=90。 4??4

∴快递车从乙地返回时的速度为90千米/时。故结论④正确。

综上所述,结论①③④正确。

6. (2012辽宁朝阳3分)如图所示的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系,则通话8分钟应付电话费 ▲ 元。

【答案】7.4。

【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据图形写出点B、C的坐标,然后利用待定系数法求出射线BC的解析式,再把t=8代入解析式进行计算即可得解:

由图象可得,点B(3,2.4),C(5,4.4),

设射线BC的解析式为y=kt+b(t≥3),

?3k?b?2.4?k?1则?,解得?。∴射线BC的解析式为y=t-0.6(t≥3)。 5k?b?4.4b??0.6??

当t=8时,y=8-0.6=7.4(元)。

∴通话8分钟应付电话费7.4元。

7. (2012山东威海3分)如图,直线l1,l2交于点A。观察图象,点A的坐标可以看作方程组 ▲ 的解

.

?y=2x?1【答案】?。 y=?x+2?

【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】观察图象,知l1经过点A(1,1)和点(0,-1),l2经过点A(1,1)和点(0,2)。 设l1的解析式为y=kx+b,将(1,1)和点(0,-1)代入得

?k+b=1?k=2 ?,解得?。∴l1的解析式为y=2x?1。 b=?1b=?1??

设l2的解析式为y=mx+n,将(1,1)和点(0,2)代入得

?k+b=1?k=?1,解得。∴l2的解析式为y=?x+2。 ??b=2b=2??

?y=2x?1∴点A的坐标可以看作方程组?的解。 y=?x+2?

三、解答题

1. (2012上海市10分)某工厂生产一种产品,当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示.

(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,求该产品的生产数量.

(注:总成本=每吨的成本×生产数量)

【答案】解:(1)利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b,

1??10k+b=10?k=?将(10,10)(50,6)代入解析式得:?,解得:?10。 50k+b=6???b=11

∴y关于x的函数解析式为y=?1x+11(10≤x≤50)。 10

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时,

x(?1x+11)=280,解得:x1=40,x2=70(不合题意舍去)。 10

∴该产品的生产数量为40吨。

【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组和一元二次方程。

【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可,根据当生产数量至少为10吨,但不超过50吨时,得出x的定义域。

(2)根据总成本=每吨的成本×生产数量,利用(1)中所求得出即可。

2. (2012陕西省8分)科学研究发现,空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系.经测量,在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米.

(1)求出y与x的函数表达式;

(2)已知某山的海拔高度为1200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?

【答案】解:(1)设y?kx+b,则由在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米,得

4?b?299??k??,解得?125。 ?2000?k?b235? ??b?299

∴y与x的函数表达式为y??

(2)当x=1200时,y??4x?299。 1254。 ?1200?299?260.6(克/立方米)125

∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米。

【考点】一次函数的应用,,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)利用在海拔高度为0米的地方,空气含氧量约为299克/立方米;在海拔高度为2000米的地方,空气含氧量约为235克/立方米,代入待定的解析式求出即可。

(2)根据某山的海拔高度为1200米,代入(1)中解析式,求出即可。

3. (2012宁夏区10分)某超市销售一种新鲜“酸奶”, 此“酸奶”以每瓶3元购进,5元售出.这种“酸奶”的保质期不超过一天,对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理.

(1)该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售.若设售出酸奶的瓶数为x(瓶),销售酸奶的利润为y(元),写出这一天销售酸奶的利润y(元)与售出的瓶数x(瓶)之间的函数关系式。为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本,当天至少应售出多少瓶?

(2)小明在社会调查活动中,了解到近10天当中,该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下:

每天售出瓶数

17 18 19 20

频数 1 2 2 5

根据上表,求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数;

(3)小明根据(2)中,10天酸奶的销售情况统计,计算得出在近10天当中,其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多.你认为小明的说法有道理吗?试通过计算说明

.

4. (2012广东广州12分)某城市居民用水实行阶梯收费,每户每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费.如果超过20吨,未超过的部分按每吨1.9元收费,超过的部分按每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应收水费为y元.

(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨,y与x间的函数关系式.

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