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一次(正比例)函数和反比例函数的综合

发布时间:2013-09-21 22:05:15  

一次(正比例)函数和反比例函数的综合

一、选择题

1. (2012山西省2分)已知直线y=ax(a≠0)与双曲线y=

另一个交点坐标是【 】

A. (﹣2,6)

【答案】C。

【考点】反比例函数图象的对称性,关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】∵直线y=ax(a≠0)与双曲线y=B. (﹣6,﹣2) C. (﹣2,﹣6) D. (6,2) k,则它们的?k?0?的一个交点坐标为(2,6)xk?k?0?的图象均关于原点对称, x

∴它们的另一个交点坐标与(2,6)关于原点对称。

∵关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数,

∴它们的另一个交点坐标为:(﹣2,﹣6)。故选C。

2. (2012海南省3分)如图,正比例函数y=k1x与反比例函数y=

的坐标为(2,1),则点B的坐标是【 】

k2的图象相交于点A、B两点,若点Ax

A.(1,2) B.(-2,1) C.(-1,-2) D.(-2,-1)

【答案】D。

【考点】正比例函数与反比例函数的对称性,关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质,正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2的图x

象的两交点A、B关于原点对称;由A的坐标为(2,1),根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征,得点B的坐标是(-2,-1)。故选D。

3. (2012广东广州3分)如图,正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=

﹣2)两点,若y1<y2,则x的取值范围是【 】 k2的图象交于A(﹣1,2)、B(1,x

A.x<﹣1或x>1 B.x<﹣1或0<x<1 C.﹣1<x<0或0<x<1 D.﹣1<x<0或x>1

【答案】D。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围:

由图象可得,﹣1<x<0或x>1时,y1<y2。故选D。

4. (2012广东梅州3分)在同一直角坐标系下,直线y=x+1与双曲线y=

A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答:

∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限,双曲线y=

∴直线y=x+1与双曲线y=1的交点的个数为【 】 x1的图象经过一、三象限, x1有两个交点。故选C。 x

5. (2012江苏南京2分)若反比例函数y?

【 】

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 k与一次函数y?x?2的图像没有交点,则k的值可以是..x

【答案】A。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的判别式。

【分析】把两函数的解析式组成方程组,再转化为求一元二次方程解答问题,求出k的取值范围,找出符合条件的k的值即可: ∵反比例函数y?k与一次函数y=x+2的图象没有交点, x

k?y? ①k? ∴?无解,即=x?2无解,整理得x2+2x-k=0, xx??y?x?2②∴△=4+4k<0,解得k<-1。

四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件。故选A。

6. (2012江苏无锡3分)若双曲线y=

A. ﹣1

【答案】B。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系,将x=1代入直线y=2x+1,求出该点纵坐标:y=﹣2+1=﹣1,从而,将该交点坐标代入y=B. 1 k与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1,则k的值为【 】 xC. ﹣2 D. 2 k即可求出k的值:k=﹣1×(﹣1)=1。故选B。 x

1 的交点个数为【 】 x7. (2012广东河源3分)在同一坐标系中,直线y=x+1与双曲线y=

A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定

【答案】A。

【考点】直线与双曲线的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式。

1 1 【分析】根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,联立y=x+1和y=xx+1=x

x 2+x-1=0。

∵△=1+4=5>0,∴x 2+x-1=0有两不相等的实数根。

1 ∴直线y=x+1与双曲线y=x有两个交点。故选A。

8. (2012湖北黄石3分)已知反比例函数y?b(b为常数),当x?0时,y随x的增大而增大,则一 x

次函数y?x?b的图像不经过第几象限【 】

A.一 B. 二 C. 三 D. 四

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系,反比例函数的性质。

【分析】∵反比例函数y?b(b为常数),当x>0时,y随x的增大而增大,∴b<0。 x

∵一次函数y=x+b中k=1>0,b<0,∴此函数的图象经过一、三、四限。

∴此函数的图象不经过第二象限。故选B。

9. (2012湖北鄂州3分)直线y??x?1与反比例函数y?1

2k的图象(x<0)交于点A,与x轴相交于点 x

B,过点B作x轴垂线交双曲线于点C,若AB=AC,则k的值为【 】

A.-2 B.-4 C.-6 D.-

8

10. (2012湖南张家界3分)当a≠0时,函数y=ax+1与函数y?a在同一坐标系中的图象可能是【 】 x

A.

【答案】C。 B.C.D.

【考点】反比例函数和一次函数的图象性质。

【分析】∵当a>0时,y=ax+1过一.二.三象限,经过点(0,1),y?

y=ax+1过一.二.四象限,y?a过一.三象限;当a<0时,xa过二.四象限。 x

∴选项A的y=ax+1,a>0,经过点(0,1),但y?

选项B的y=ax+1,a<0,,y?a的a<0,不符合条件; xa的a<0,但y=ax+1不经过点(0,1),不符合条件; x

a 选项C的y=ax+1,a>0,经过点(0,1),y?的a>0,符合条件; x

a选项D的y=ax+1,a>0,,y?的a>0,但y=ax+1不经过点(0,1),不符合条件。 x

2的图象交于A、B两点,x故选C。 11. (2012湖南岳阳3分)如图,一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2?

过点作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,连接AO、BO,下列说法正确的是【 】

A.点A和点B关于原点对称 B.当x<1时,y1>y2

C.S?AOC?S?BOD D.当x>0时,y1、y2都随x的增大而增大

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】求出两函数式组成的方程组的解,即可得出A、B的坐标,即可判断:

A、联立y=x+1和y?2, x

22把y=x+1代入y?得:x?1?,解得:x1=﹣2,x2=1。 xx

代入y=x+1得:y1=﹣1,y2=2,

∴B(﹣2,﹣1),A(1,2)。

∴A、B关于原点不对称,故本说法错误。

B、由图象知,当0<x<1时,一次函数y1=x+1的图象在反比例函数y2?

y1<y2,故本说法错误。 2的图象下方,即 x

C、∵S?AOC??1?2?1,S?BOD???2???1,∴S?AOC?S?BOD,故本说法正确。

D、当x>0时,y1随x的增大而增大,y2随x的增大而减小,故本说法错误。

故选C。

1212

12. (2012四川达州3分)一次函数y1?kx?b(k?0)与反比例函数y2?

中的图象如图所示,若y1>y2,则x的取值范围是【 】

m(m?0),在同一直角坐标系x

A、-2<x<0或x>1 B、x<-2或0<x<1 C、x>1 D、-2<x<1

【答案】A。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2?m的交点坐标为(1,4),(-2,-2), x

由函数图象可知,当-2<x<0或x>1时,y1在y2的上方,

∴当y1>y2时,x的取值范围是-2<x<0或x>1。故选A。

13. (2012四川绵阳3分)在同一直角坐标系中,正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=有交点,则实数k的取值范围在数轴上表示为【 】。

4-2k的图象没x

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,在数轴上表示不等式的解集。

【分析】∵正比例函数y=2x的图象经过一、三象限,正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=象没有交点,

∴反比例函数图象位于二、四象限。∴4-2k<0,解得k>2。

k>2在数轴上表示为,。故选C。

4-2k的图x

A.0<x<2 B.x>2 C.x>2或-2<x<0 D.x<-2或0<x<2

【答案】D。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标,由函数图象即可得出结论:

∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称,∴A、B两点关于原点对称。

∵A(2,1),∴B(-2,-1)。

∵由函数图象可知,当0<x<2或x<-2时函数y1的图象在y2的上方,

∴使y1>y2的x的取值范围是x<-2或0<x<2。故选D。

15. 如图,反比例函数y=k?k?0?与一次函数y=kx+k?k?0?在同一平面直角 x

坐标系内的图象可能是【 】

【答案】D。

【考点】反比例函数与一次函数的图象特征。

【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特征,

若k>0,则反比例函数y=

三象限,没有符合条件的选项;

若k<0,则反比例函数y=

四象限,选项D符合条件。 k?k?0?的图象在一、三象限 ,一次函数y=kx+k?k?0?经过一、二、xk?k?0?的图象在二、四象限 ,一次函数y=kx+k?k?0?经过二、三、x

故选D。

16. (2012山东东营3分)如图,一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=4

x

的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE.有下列四个结论:

①△CEF与△DEF的面积相等;②△AOB∽△FOE;③△DCE≌△CDF;④AC=BD.

其中正确的结论是【 】

A.①② B. ①②③ C.①②③④ D. ②③④

【答案】C。

【考点】反比例函数和一次函数交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定,勾股定理,全等三角形的判定,平行四边形的判定和性质。

【分析】∵一次函数y=x+3的图象与x轴,y轴交于A,B两点,∴A(0,-3),B(3,0)。

联立y=x+3和y=4可得C(-4,-1),D(1,4),∴E(0,-1),F(1,0)。 x

∴OA=OB=3,OE=OF=1,即△ABO和△EFO都是等腰直角三角形。∴∠BAO=∠EFO=450。∴AB∥EF。

∴△CEF与△DEF是同底等高的三角形。∴△CEF与△DEF的面积相等。所以结论①正确。 又由AB∥EF,得△AOB∽△FOE。所以结论②正确。

由各点坐标,得CE=4,DF=4,

CE=DF,CF=DE。 又∵CD=DC,∴△DCE≌△CDF(SSS)。所以结论③正确。

由AF=CE=4和AF∥CE得,四边形ACEF是平行四边形。∴AC=FE。

由BE=DF=4和BE∥DF得,四边形DBEF是平行四边形。∴BD=EF。

∴AC=BD。所以结论④正确。因此,正确的结论是①②③④。故选C。

17. (2012青海省3分)如图,一次函数y=kx﹣3的图象与反比例函数y=

A点坐标为(2,1),则k,m的值为【 】

m的图象交A、B两点,其中x

A.k=1,m=2 B.k=2,m=1 C.k=2,m=2 D.k=1,m=1

【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,曲线上点的坐标与议程虹的关系。

【分析】把A(2,1)代入反比例函数的解析式得:m=xy=2;

把A的坐标代入一次函数的解析式得:1=2k﹣3,解得:k=2。故选C。

二、填空题

1. (2012江苏连云港3分)如图,直线y=k1x+b与双曲线y=

5,则不等式k1x<k2交于A、B两点,其横坐标分别为1和xk2+b的解集是 ▲ .

x

【答案】-5<x<-1或x>0。

【考点】不等式的图象解法,平移的性质,反比例函数与一次函数的交点问题,对称的性质。

k2k+b的解集即k1x-b<2的解集,根据不等式与xx

k直线和双曲线解析式的关系,可以理解为直线y=k1x-b在双曲线y=2下x【分析】不等式k1x<

方的自变量x的取值范围即可。

而直线y=k1x-b的图象可以由y=k1x+b向下平移2b个单位得到,如图所示。根据函数y=k2图象的对称性可得:直线y=k1x-b和y

=x

k1x+b与双曲线y=k2的交点坐标关于原点对称。 x

k图象交点A′、B′的横坐标为x

k2图象下方。 x由关于原点对称的坐标点性质,直线y=k1x-b图象与双曲线y=A、B两点横坐标的相反数,即为-1,-5。 ∴由图知,当-5<x<-1或x>0时,直线y=k1x-b图象在双曲线y=

∴不等式k1x<k2+b的解集是-5<x<-1或x>0。 x

k2的图象相交于点(1,2),则k1+k2= x2. (2012江苏徐州2分)正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=

【答案】4。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将(1,2)分别代入y=k1x和y=

则k1+k2=4。

3. (2012湖北十堰3分)如图,直线y=6x,y=

则k= ▲ .

k2=2,k2=2,,得k1 x2kx分别与双曲线y?在第一象限内交于点A,B,若S△OAB=8,3x

【答案】6。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数系数k的几何意义,曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】如图,过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,

设点A(x1,kk),B(x2,), x1x2

由k=6x1解得x1A

x

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