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《圆》阶段练习

发布时间:2013-12-27 16:56:33  

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《圆》阶段练习 (时间:60分钟 分值:100分)

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一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.(2013· 滨州)如图,在⊙O 中圆心角∠BOC= 78° ,则圆周角∠BAC 的大小为( C A.156° B.78° C.39° D.12° )

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2.(2013· 丽水)一条水管的截面如图所示,已知排 水管的半径 OB=10,水面宽 AB=16,则截面圆心 O 到水面的距离 OC 是( A.4 B.5 C.6 D.8 C )

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3.已知圆锥的底面半径为 3 cm,母线长为 5 cm, 则圆锥的侧面积是( D A.20 cm2 C.15 cm2 ) B.20π cm2 D.15π cm2

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4.(2013· 长春)如图,△ABC 内接于⊙O,∠ABC =71° ,∠CAB=53° ,点 D 在 AC 上,则∠ADB 的大 小为( A. C )

45°

B. 53° C. 56° D. 71°

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解析: ∵∠ABC=71° ∠CAB=53° ∴∠C=180° , , -71° -53° =56° .∵∠ADB 和∠C 都是 AB 所对的圆 周角,∴∠ADB=∠C=56° .故选 C.

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5.(2013· 海南)如图,在⊙O 中,弦 BC=1,点 A 是圆上一点, 且∠BAC=30° 则⊙O 的半径是( , A.1 B.2 C. D. 3 5 A )

解析:连接 OB,OC,∵∠BAC=30° ,∴∠BOC =60° ,∴OB=BC=1.故选 A.

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6.(2013· 雅安)如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是 ⊙O 上的点, ∠CDB=30° ,过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E,则 sin E 的值为( A )

1 A. 2

3 B. 2

2 C. 2

3 D. 3

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解析:如图,连接 OC,∵CE 为⊙O 的切线, ∴△OCE 为直角三角形.∵∠CDB=30° ,∴∠COB 1 =60° ,∴∠E=30° ,∴sin E=sin 30° .故选 A. = 2

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7.(2013· 宁夏)如图,以等腰直角△ABC 两锐角顶 点 A,B 为圆心作等圆,⊙A 与⊙B 恰好外切,若 AC=2, 那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为 ( B ) 1 A. π 4 2 C. π 2 1 B. π 2 D. 2π

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解析:∵AC=2,∴由勾股定理,可得 AB=2 2, ∴扇形的半径为 2.又知∠A+∠B=90° ,∴图中两个 90π×? 2? 1 扇形的面积之和为 = π.故选 B. 360 2
2

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8.(2013· 盘锦)如图,△ABC 中,AB=6,AC=8, BC=10,D,E 分别是 AC,AB 的中点,则以 DE 为 直径的圆与 BC 的位置关系是( A )

A.相交 C.相离

B.相切 D.无法确定

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解析:∵AB=6,AC=8,BC=10,AB2+AC2= 62+82=100=102=BC2, ∴△ABC 是直角三角形, ∠A 1 =90° .∵D,E 分别是 AC,AB 的中点,∴DE= BC 2 =5,DE∥BC.过点 A 作 AF⊥BC,垂足是 F,交 DE 6×8 于点 G,由面积公式可得 AF= =4.8,∴AG=FG 10 =2.4.以 DE 为直径作圆,则半径为 2.5,2.5>2.4,∴以 DE 为直径的圆与 BC 相交.故选 A.

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9 . (2013· 丹江 )在 半径为 13 的 ⊙O 中 , 弦 牡 AB∥CD,弦 AB 和 CD 的距离为 7,若 AB=24,则 CD 的长为( A.10 C.10 或 4 3

0 D ) B.4 30 D.10 或 2 165

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解析:如图,画出下面两个图形,过点 O 作 OF⊥AB 于点 F,并延长交 CD 于点 E,连接 OA, OC.∵OA=13,AB=24,由垂径定理,可得 AF= 12.由勾股定理,可得 OF=5.图①中,OE=OF+FE =5+7=12,在 Rt△OCE 中,由勾股定理,可得 CE=5,∴CD=10.

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图②中,OE=FE-OF=2,在 Rt△OCE 中,CE= 132-22= 165,∴CD=2 165.∴CD 的长是 10 或 2 165.故选 D.

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10.如图,⊙P 内含于⊙O,⊙O 的弦 AB 切⊙P 于点 C,且 AB∥OP.若阴影部分的面积为 9π,则弦 AB 的长为( C )

A.3

B.4

C.6

D.9

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解析:连接 PC,则 PC⊥AB,过点 O 作 OE⊥AB 于 点 E , 则 四 边 形 OECP 是 矩 形 , ∴OE = PC , 又∵S =S⊙O -S⊙P=π· 2 -π· 2 =π(OA2 -OE2) OA PC 阴影
2

=π· =9π,∴AE=3,∴AB=2AE=6.故选 C. AE

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11.(2013· 常德)连接一个几何图形上任意两点间 的线段中,最长的线段称为这个几何图形的直径,根 据此定义,下图(扇形、菱形、直角梯形、红十字图标) 中“直径” 最小的是( C )

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解析:如图①,连接 BC,则 BC 为这个几何 图形的直径,

图①

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过点 O 作 OM⊥BC 于点 M,∵OB=OC,∴∠BOM 1 = ∠BOC = 60°, ∴∠OBM = 30° 又 ∵OB = 2 , . 2 OM⊥BC,∴BM=OB· 30° 3,∴由垂径定理, cos = 得 BC=2BM=2 3;

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如图②,连接 AC,BD,设 AC,BD 相交于点 O, 则 BD 为这个图形的直径,∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD, 平分∠ABC.∵∠ABC=60° ∴∠ABO BD , =30° ,∴BO=AB· 30° 3,∴BD=2BO=2 3; cos =

图②

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如图③,连接 BD,则 BD 为这个图形的直径,由 勾股定理,得 BD= 22+22=2 2; 如图④, 连接 BD, 则 BD 为这个图形的直径,由勾股定理,得 BD= 1 +3 = 10.∵2 3> 10>2 2, ∴“直径”最小的 是 C 项.故选 C.
2 2

图③

图④

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12.如图,一根 5 m 长的绳子,一端拴在围墙墙 角的柱子上,另一端拴着一只小羊 A(羊只能在草地上 活动),那么小羊 A 在草地上的最大活动区域的面积是 ( D ) 17 A. π m2 12 25 C. π m2 4 17 B. π m2 6 77 D. π m2 12

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解析:如图,小羊在草地上的最大活动区域为扇形 EOB 和扇形 BCD, 所以最大活动区域的面积=S 扇形 EOB +S
扇形

1 1 25 1 2 2 π+ π= BCD = π×5 + π×(5 - 4) = 4 6 4 6

77 π(m2).故选 D. 12

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二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.(2013· 沈阳)如图,点 A,B,C,D 都在⊙O 上,∠ABC=90° ,AD=3,CD=2,则⊙O 的直径的 长是 13 .

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解析:连接 AC,∵∠ABC=90° ,∴AC 是⊙O 的 直径,∴∠D=90° .∵AD=3,CD=2,∴AC= 32+2

2 = 13.

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14. (2013· 盐城)如图, 将⊙O 沿弦 AB 折叠, AB 使 经过圆心 O,则∠OAB= 30°.

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解析:解法一:如图①,作 OD⊥AB,并延长交 ⊙O 于点 E,

图① 1 由题意知,OD=DE= OE,而 OE=OA,∴OD 2 1 OD 1 = OA,∴sin∠OAB= = ,∴∠OAB=30° . 2 OA 2

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解法二:如图②,设 AB 上点 E 经翻折后与圆心 O 重合,连接 OB,OE,AE,BE,∵OA=OB=AE =BE,∴四边形 OAEB 是菱形,又∵OA=OE, 1 1 ∴△OAE 是等边三角形, ∴∠OAB= ∠OAE= ×60° 2 2 =30° .

图②

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15.(2013· 哈尔滨)如图, 直线 AB 与⊙O 相切于点 A,AC,CD 是⊙O 的两条弦,且 CD∥AB,若⊙O 的 5 半径为 ,CD=4,则弦 AC 的长为 2 5 . 2

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解析:如图,连接 OC,连接 OA,并延长 AO 交 CD 于点 E,由切线的性质,可得 OA⊥AB,再由平行 线的性质, 可得 OE⊥CD, ∴CE=DE=2.在 Rt△OCE 中,OE= 52 3 2 ? ? -2 = ,∴AE=4.在 Rt△ACE 中, 2 2

AC= 42+22=2 5.

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16.如图,圆柱形玻璃杯,高为 12 cm,底面周长 为 18 cm,在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜, 此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相 对的点 A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15 cm.

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解析:如图,展开圆柱的侧面作 A 点关于 OD 的轴对称点 A′,连接 A′C 交 OD 于 B 点,则 BA= BA′,此时 A′C 即为所求的最短距离.过点 C 作 CC′⊥AA′于点 C′,

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1 则 CC′= × 18=9(cm),A′C′=4+4+4=12(cm),则最 2 短距离 A′C= 9 +12 =15(cm).
2 2

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三、解答题(共 36 分) 17.(12 分)(2013· 天津)已知直线 l 与⊙O,AB 是 ⊙O 的直径,AD⊥l 于点 D. (1)如图①,当直线 l 与⊙O 相切于点 C 时,若 ∠DAC=30° ,求∠BAC 的大小;

图①

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(2)如图②,当直线 l 与⊙O 相交于点 E,F 时,若 ∠DAE=18° ,求∠BAF 的大小.

图②

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解:(1)如图①,连接 OC, ∵直线 l 与⊙O 相切于点 C, ∴OC⊥l,∴∠OCD=90° . ∵AD⊥l,∴∠ADC=90° . ∴AD∥OC,∴∠ACO=∠DAC. ∴∠BAC=∠DAC=30° .
图①

在⊙O 中,由 OA=OC,得∠BAC=∠ACO,

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(2)如图②,连接 BF, ∵∠AEF 为 Rt△ADE 的一个外角, ∠DAE=18° , ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90° +18° =108° .

图②

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∵在⊙O 中,四边形 ABFE 是圆内接四边形, ∴∠AEF+∠B=180° ∴∠B=180° , -108° =72° . ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AFB=90° . ∴∠BAF=90° -∠B=18° .

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18.(12 分)(2013· 珠海)如图, ⊙O 经过菱形的三个 顶点 A,C,D,且与 AB 相切于点 A.

(1)求证:BC 为⊙O 的切线; (2)求∠B 的度数.

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解:(1)证

明:如图,连接 AO,CO,

∵AB 是⊙O 的切线, ∴OA⊥AB, ∴∠BAO=90° .

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∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC. 又∵AO=CO,BO=BO, ∴△BAO≌△BCO(SSS). ∴∠BCO=∠BAO=90° , 即 OC⊥BC. ∵点 C 在⊙O 上, ∴BC 为⊙O 的切线.

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(2)如图,连接 BD,由菱形和圆的对称性知,BD 过圆心 O,即 B,O,D 三点共线. ∵四边形 ABCD 是菱形,

∴AB=AD,∴∠ABO=∠ADO. ∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO, ∴∠AOB=2∠ADO=2∠ABO.

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∵∠ABO+∠AOB=90° , ∴∠ABO+2∠ABO=90° . ∴∠ABO=30° . ∴∠ABC=2∠ABO=2×30° =60° .

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19.(12 分)如图,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D,过点 D 作 AC 的 垂线交 AC 的延长线于点 E,连接 BC 交 AD 于点 F.

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(1)猜想 ED 与⊙O 的位置关系,并证明你的猜想; (2)若 AB=6,AD=5,求 AF 的长. 解:(1)ED 与⊙O 相切. 证明:如图,连接 OD, ∵OA=OD,∴∠1=∠2. ∵AD 平分∠CAB,∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3.∴OD∥AE.

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∵AE⊥DE,∴OD⊥DE. ∵点 D 在⊙O 上,∴DE 是⊙O 的切线.

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(2)如图,连接 BD,∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90° ,则 BD =AB -AD =11. ∵∠4=∠3,∠3=∠2,∴∠2=∠4. ∵∠ADB=∠BDF=90° ,∴△DFB∽△DBA, BD FD 2 ∴ = ,∴BD =AD· FD. AD BD BD 11 ∴FD= = . AD 5 11 14 则 AF=AD-FD=5- = . 5 5
2 2 2 2


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