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辅导三 二次函数解析式的求法及应用

发布时间:2013-12-28 09:01:58  

辅导三 二次函数解析式的求法及应用

【主要考点】

在二次函数的问题中,经常会遇到求二次函数解析式的问题。二次函数解析式有三种表示形式

b4ac?b2

1.一般式: y=ax+bx+c(a≠0),这种形式易得a,b,c的值,顶点坐标是(-),

4a2a

2

对称轴是直线x= -

b

.任何求抛物线解析式的问题,都可以使用一般式. 2a

跟踪练习: 2

⑴若y=ax+bx+c,则由表中信息可知与的函数关系式是 A. y=x2-4x-3 B. y=x2-3x+4 C. y=x2-3x+3 D. y=x2-4x+8

⑵二次函数y=ax2-x+ a2______.

图3

2

⑶抛物线y??x?bx?c的图象如图3所示,则此抛物线的解析式为 2.顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0),这种形式易得顶点坐标和对称轴,顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x= h.一般的,在已知抛物线的顶点坐标求其解析式时,选用顶点式比较方便。

跟踪练习:

⑴已知关于的二次函数图象顶点(1,-1),且图象过点(0,-3),则这个二次函数解析式为 。

⑵图2(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m.如图2(2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ) A.y??2x B.y?2x C.y??x2

2

2

2

1

D.y?

12x 2

图2(1) 图2(2)

⑶有一个抛物线形拱桥,其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图(3),求抛物线的解析式是_______________。

1

⑷已知抛物线y=2x2+bx+c的顶点是(2,-3),则b=_____,c=____.

3.交点式: y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 这种形式易得抛物线与x轴的交点的坐标,抛物线与x轴的两个交点的坐标分别是(x1,0),(x2,0). 在已知抛物线与x轴的两个交点的坐标求其解析式时,选用交点式比较方便。

跟踪练习: 11⑴已知二次函数的图象经过原点及点(?,?),且图象与x轴的另一交点到原点的24

距离为1,则该二次函数的解析式为 ;

⑵抛物线y=a(x-2)(x-3)与x轴的交点的坐标分别是 ;

例题分析

例1 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程.图中二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).

根据图象提供的信息,解答下列问题:

⑴由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数表达式; ⑵求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;

⑶求第8个月公司所获利润是多少万元?

2

例2 如图2,抛物线的顶点为P(1,0),一条直线与抛物线相交于A(2,1),B(?1 ,m)两点.2⑴求抛物线和直线AB的解析式;

⑵若M为线段AB上的动点,过M作MN∥y轴,交抛物线于点N,连接NP、AP,试探究四边形MNPA能否为梯形,若能,求出此点M的坐标;若不能,请说明理由.

图2

,0?和B?3,0?两点,例3.如图二次函数y?x?bx?c的图象经过A??1且交y轴于点C2

(1)试确定b、c的值;(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点,试确定△MCD的形状.

3题图

3

例4、已知抛物线y = ax2-x + c经过点Q(-2,3),且它的顶点P的横坐标为-1.设抛2

物线与x轴相交于A、B两点,如图. (1)求抛物线的解析式; (2)求A、B两点的坐标; (3)设PB于y轴与交于C点,求△ABC的面积.

例5.已知:如图所示,关于x的抛物线y?ax?x?c(a?0)与x轴交于点A(?2,0)、点2

B(6,0),与y轴交于点C.

(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;

(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;

(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.

(第5题图) 4

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