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广东省九年级上学期期末精选试题(广州教研室)

发布时间:2013-12-28 09:02:02  

一. 动点问题与函数图象

1.(燕山8).如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P沿折线

BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(曲线OM为抛物线的一部分).则下列结论错误的是( B ) ..

A.AD=BE=5㎝ B.cos∠ABE=

C.当0<t≤5时,y?

A

P

BED3 52922秒时,△ABE∽△QBP

t D.当t?54 QC 图⑴ 2(石景山8) .如图,矩形ABCD中,BC=4,AB=3,E为边AD上一点,DE=1,动点

P、Q同时从点C出发,点P

沿CB运动到点B时停止,点Q沿折线CD—DE—

EB运

动到点B时停止,它们运动的速度都是1cm/秒.设P、Q同时出发t秒时,△CPQ

的面积为y cm2.则y与t的函数关系图象大致是 8.如图,矩形ABCD中,BC=4,

AB=3,E为边AD上一点,DE=1

,动点P、Q同时从点C出发,点P沿CB运动到点B

时停止,点Q沿折线CD—DE—EB运动到点B时停止,它们运动的速度都是1cm/

秒.设P、Q同时出发t秒时,△CPQ的面积为y cm2.则

y与t的函数关系图象大

致是 B

A B C D 3(门头沟8). 如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1

个单位长度的速度沿AB

向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长

度的速度沿BC→CD

方向运动,当P运动到B点时,P、Q两点同时停止运动.设P

点运动的时间为t秒,△APQ的面积为S,则表示S与t之间的函数关系的图象大

致是 A

A. B. C. D. BADC

4(顺义8).如图,等腰Rt?ABC(?ACB?90?)的直角边与正方形

且AC与DE在同一直线上,开始时点C与点D重DEFG的边长均为2,

合,让?ABC沿这条直线向右平移,直到点A与点E重合为止.设CD的长为x,?ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是( A )

5(延庆8).已知:如图,矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,点E在AD上,且AE=1,点P是线段AB上一动点.折叠纸片,使点P与点E重合,展开纸片得折痕MN,过点P作PQ⊥AB,交MN所在的直线于点Q. 设x=AP, y=PQ, 则y关于x的函数图象大致为 D

A B C D 6(朝阳8).如图,在平行四边形ABCD中,AB=4cm,AD=2cm,

∠A=60°,动点E自A点出发沿折线AD—DC以1cm/s的速度运动,设点E的运动时间为x(s),0<x<6, 点B与射线BE与射线AD交点的距离为y(cm),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 D

A B D C 7(

房山8). 如图,MN是⊙O的直径,弦BC

MN

于点

E,

BC?6. 点A、D分别为线段EF、BC上的动点. 连接AB、AD,设BD?x,AB?AD?y,下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象是 C

2

2B(第8题图

A. B. C. D.

8(丰台9).如图,A点在半径为2的⊙O上,过线段OA上的一点P作直线l,与过A点的切线交于点B,且∠APB=60°,设

A

B C

二.找规律

1(东城12).如图所示,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,点P在射线EF上,BP交CE于D,点Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=y,

11

CE时,y与x之间的函数式是; 当CQ=CE(n为2n

不小于2的常数)时, y与x之间的函数关系式是y= –x+6(n–1).

PE=x.当CQ=

2(通州16).图中各圆的三个数之间都有相同的规律,据此规律,第n个圆中,

m =9n?1(用含n的代数式表示).

2

1

28

2

4

35

36

80

第16题图

????

n2nm

3(丰台15).如图,菱形ABCD中,AB=2 ,∠C=60°,我们把菱形ABCD的对称中心O称作菱形的中心.菱 形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚,每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作,则经过1次这样的操作 菱形中心O;经过3n(n为正整数)次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长l

?.(结果都保留π) 3(燕山12).如图,在△ABC中,∠ACB=90o,∠B=30o,AC=1,AC在直线l上.将△ABC在直线l上

顺时针滚动一周,滚动过程中,三个顶点B,C,A依次落在P1,P2,P3处,此时AP3

按此规律继续旋转,直到得点P2012,则AP2012=

4(房山12).如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到三角形①、②、③、④、…,则三角形⑩的直角

顶点的坐标为(36,0).

三. 函数图象相关问题

1.(西城 12).已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于(1,0)和(x1,0),其中?2?x1??1,与y轴交于正半轴上一点.下列结论:①b?0;②ac?

号是 ②④.

2.(东城8).(0,2),B(2,0),点C在y?x的图象上,若△ABC的面积为2,则这样的C点有 D

A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个

3.(石景山12).已知,在x轴上有两点A(a,0),B(b, 0)(其中b<a<0),分别过点A,点B作x轴的垂线,

交抛物线y?3x于点C,点D.直线OC交直线BD于点E,直线OD交直线AC于点F.若将点E,点F的纵坐标分别记为yE,yF,则yEyF(用―>‖、 ―<‖ 或―=‖连接)

4(海淀 12).小聪用描点法画出了函数y?2212b;③a?b;④?a?c??2a.其中所有正确结论的序4F,如图所示.结合旋转

的知识,他尝试着将图象F绕原点逆时针旋转90?得到图象F1,再将图象F1

绕原点逆时针旋转90?得到图象F2,如此继续下去,得到图象Fn.在尝试的

过程中,他发现点P(?4,?2)在图象F2确的即可);若点P(a,b)在图象F127上,则

a示) .

四. 弧长、面积、线段长的计算

用含b的代数式表

1(海淀8). 如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点,CF?AE于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( B )

A.

B

C

D

D

E 2(门头沟12).如图,△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB和∠E都是直角,点C在AD边上,BC

ABC绕点A 按顺时针方向旋转 n

度后恰好与△ADE重合,则n的值是 45 ,点C

线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的面积是1?.

4B

第10题图3(通州10). 如图,⊙O的半径为3厘米,B为⊙O外一点,OB交⊙O于点A,AB=OA.动点P从点A出发,以π厘米/秒的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止.当点P运动的时间为( D )秒时,BP与⊙O相切. A.1 B.5 C.0.5或5.5 D. 1或5

4(怀柔12).如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若

动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)

(0≤t<3),连结EF,当t值为秒时,△BEF是直角三角形.

5(大兴 12).现有直径为2的半圆O和一块等腰直角三角板 O B

(1)将三角板如图1放置,锐角顶点P在圆上,斜边经过点B,一条直角边交圆于点Q,则BQ的长为

(2)将三角板如图2放置,锐角顶点P在圆上,斜边经过点B,一条直角边的延长线交圆于Q,则BQ的

长为

.

图1

6. (朝阳12). 如图,抛物线y=-42x通过平移得到抛物线m,抛物线m经过点B9

(6,0

)和O(0,0),它的顶点为A,以O为圆心,OA为半径作圆,在第四象

限内与抛物线

y=-

五. 图形操作问题

1(海淀23). 小明利用等距平行线解决了二等分线段的问题. 作法:

(1)在e上任取一点C,以点C为圆心,AB长为半径画弧交c于点D,交d于点E;

(2)以点A为圆心,CE长为半径画弧交AB于点M;

∴点M为线段AB的二等分点. 4225??12 x交于点C,连接AC,则图中阴影部分的面积为92

图1

解决下列问题:(尺规作图,保留作图痕迹)

(1)仿照小明的作法,在图2中作出线段AB的三等分点;

图2

(2)点P是∠AOB内部一点,过点P作PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,请找出一个满足下列条件的点

P. (可以利用图1中的等距平行线)

①在图3中作出点P,使得PM?PN; ②在图4中作出点P,使得PM?

2PN.

图3 图4

23. 解:(1)

……………………2分

(注:直接等分不给分,在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.)

(2)① ②

……………………4分 ……………………7分 2(平谷22). 数学课上,老师要求小明同学作△A’B’C’∽△ABC,且(1) 作B'C'?

B'C'1

?.小明的作法是: BC2

1

BC; 2

(2) 过点B'作B'D∥AB,过点C'作C'E∥AC,它们相交于点A';

?A'B'C'就是满足条件的三角形(如图1).

解答下列问题:

①若△ABC的周长为10,根据小明的作法,?A'B'C'的周长为-------------;

②已知四边形ABCD,请你在图2的右侧作一个四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,且满足

A'B'1

?(不写画法,保留作图痕迹). AB2

解.(1)5………………….2分 (2)画图.…………..5分

3(怀柔22). 操作与实践:

(1)在图①中,以线段m为一边画菱形,要求菱形的顶点均在格点上.(画出所有符合条件的菱形)(4分)

(2)在图②中,平移a、b、c中的两条线段,使它们与线段n构成以n为一边的等腰直角三角形.(画一个即可)(1分)

解:

注:(1)小题画对6个4分,5个3分,4个2分,2个1分

4(燕山22).如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AOB的顶点都在格点上,点A、B的坐标分别为(-4,4)、 (-6,2).请按要求完成下列各题:

⑴ 把△AOB向上平移4个单位后得到对应的△A1OB1,则点A1、B1的坐标分别是 ;

⑵ 将△AOB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2OB2,在旋转过程中线段AO所扫过的面积为 ; ⑶ 点P1,P2,P3,P4,P5是△AOB边上的5个格点,画一个三角形,使它的三个顶点为P1,P2,P3,P4,P5中的3个格点并且与△AOB相似.

解:22.⑴ A1(-4,8)、B1(-6,6) .

⑵ 如图:

12

线段AO所扫过的面积为???(42)=

4

⑶ 如图.

5(西城21).平面直角坐标系xOy中,原点O是正三角形ABC外

接圆的圆心,点A在y轴的正半轴上,△ABC的边长为6.以原点O为旋转中心将△ABC沿逆时针方向旋转?角,得到△A?B?C?,点A?、B?、C?分别为点A、B、C的对应点. (1)当?=60°时,

①请在图1中画出△A?B?C?;

②若AB分别与A?C?、A?B?交于点D、E,则DE的长为_______;

(2)如图2,当A?C?⊥AB时,A?B?分别与AB、BC交于点F、G,则点A?的坐标为_______,

△FBG的周长为_______,△ABC与△A?B?C?重叠部分的面积为_______.

21.解:(1)①如图7所示. ……………………………………1分

②DE的长为 2 ; ………………………………2分 (2)点A?的坐标为(,△FBG的周长为 6 , △ABC与△A?B?C?重叠部分的面积为27?.

…………………………………5分

6(石景山)20.已知:△ABC中,AB?2,AC?4,BC?62.

(1)如图1,点M为AC的中点,在线段BC上取点N,使△CMN与△ABC相似,求线段MN的长;

(2)如图2,,是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格,设顶点在这些小正方形顶点的三

角形为格点三角形,试直接写出在所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数,并在图2中画出其中的一个(不需证明).

图1

20.解:

(1)如图:

①当N为BC中点,MN//AB

此时△CMN∽△CAB, 图2 CMMN1有?? CAAB2

∵AB?2

∴MN?; ………2分

②当△CMN1∽△CBA时,有?CMN1??B

CMMN1∴, ?BCAB

又?BC?62

25∴MN? .………4分 3

2∴MN的长为或 3

(2)8个,如图(答案不唯一). ………5分

N11

1

7(大兴) 22. 操作:如图①,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

图①

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:

探究一:如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,

∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F. 试探究线段AB与AF、

CF之间的等量关系,并证明你的结论; M O P N

探究二:如图③,DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且

BE:EC=1:2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若AB=5,CF=1,求DF的长度。

22. 解:

(1)画图:……………1分

2)结论:

AB=AF+CF . 证明:分别延长AE、DF交于点M,

∵E为BC的中点,

∴BE=CE .

∵AB∥CD,

∴∠BAE=∠M .

在△ABE与△MCE

中,

∠BAE=∠M

∠AEB=∠MEC

BE=CE,

∴△ABE≌△MCE .

∴AB=MC .

又∵∠BAE=∠EAF,

∴∠M=∠EAF .

∴MF=AF .

又∵MC=MF+CF,

∴AB=AF+CF . …………………………3分

(3)分别延长DE、CF交于点G,…………4分

∵AB∥CF,

∴∠B=∠C,∠BAE=∠G .

∴△ABE∽△GCE .

∴AB

GC?BE

EC .

又∵BE

EC?1

2,

∴AB1

GC?2.

∵AB=5,

∴GC=10 .

∵FC=1,

∴GF=9 .

∵AB∥CF,

∴∠BAE=∠G . 又∵∠BAE=∠EDF, ∴∠G=∠EDF . ∴GF=DF .

∴DF=9 . …………………5分

8(通州21).如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接等边三角形ABC.黄皓、李明两位同学的作法分别是: 黄皓:1. 作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点,

2. 连结AB,AC,△ABC即为所求的三角形.

李明:1. 以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点, 2. 连结AB,BC,CA,△ABC即为所求的三角形.

第21题图

已知两位同学的作法均正确,请选择其中一种作法补全图形,并证明△ABC是等边三角形.

21. 解:我选择黄皓的作法.

如图画图正确. ……………… 2分; 证明:连结OB、OC.

∵AD为⊙O的直径,BC是半径OD的垂直平分线,

??CD?, AB??AC,BD ∴?

11

OD?OC, ……………… 3分; 22

∴AB?AC. ……………… 4分;

OE? 在Rt△OEC中, ∴ cos?EOC?

o

第21题图

OE1

?, OC2

o

∴?EOC?60, ……………… 5分; ∴?BOC?120. ∴?BAC?60.

∴△ABC是等边三角形. ……………… 6分. 我选择李明的作法.

如图画图正确. ……………… 2分; 证明:连结DB、DC.

由作图可知: DB=DO=DC, 在⊙O中, ∴OB=OD=OC,

∴△OBD和△OCD都是等边三角形, ……… 3分;

∴?ODB??ODC?60 , ……… 4分;

o

o

第21题图

AC??AC, ∵?AB??AB,?

∴?ODB??ACB?60,

o

?ABC??ODC?60o, ……………… 5分;

∴△ABC是等边三角形. ……………… 6分.

六.阅读理解问题

1.(西城 22).阅读下面的材料:

小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数y?x2?6x?7的最大值.他画图研究后发现,x?1和x?5时的函数值相等,于是他认为需要对m进行分类讨论.

他的解答过程如下:

∵二次函数y?x2?6x?7的对称轴为直线x?3∴由对称性可知,x?1和x?5∴若1≤m<5,则x?1时,y的最大值为2; 若m≥5,则x?m时,y的最大值为m2?6m请你参考小明的思路,解答下列问题:

(1)当?2≤x≤4时,二次函数y?2x?4x?1(2)若p≤x≤2,求二次函数y?2x?4x?1(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y?2x?4x?1 22.解:(1)当?2?x?4时,二次函数y?2x?4x?1的最大值为; …… .. 1分 (2)∵二次函数y?2x?4x?1的对称轴为直线x??1, ∴由对称性可知,当x??4和x?2时函数值相等.

∴若p??4,则当x?p时,y的最大值为2p?4p?1. ................. 2分 若?4?p?2,则当x?2时,y的最大值为17. .............................. 3分 (3)t的值为 1或?5 . ....................................................................................... 5分

阅卷说明:只写或只写?5得1分;有错解得0分. 2(昌平22). 阅读下面材料:

小伟遇到这样一个问题:如图1,在正三角形ABC内有一点P,且PA=3 ,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.

小伟是这样思考的:如图2,利用旋转和全等的知识构造△AP?C,连接PP?,得到两个特殊的三角形,从而将问题解决.

2

2

2

2

2

2

请你回答:图1中∠APB的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法,解决下列问题:

(1)如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA

=PB=1,PD

则∠APB的度数等于 ,正方形的边长为 ;

(2)如图4,在正六边形ABCDEF内有一点P,且PA=2,PB=1,PF

则∠APB的度数等于 ,正六边形的边长为 .

22.解:150? . …… 1分 (1)135°

. …… 3分 (2)120°

…… 5分

七. 圆中的计算与证明

1 (朝阳21).如图,DE是⊙O的直径,CE与⊙O相切,E为切点.连接CD

∴EC=12

∴BF=6 ……………………………….5分

2(通州18).如图,在△ABC中,点O在AB上,以O为圆心的圆经过A,C两点,交AB于点D, 已知2∠A +∠B =90?.

(1)求证:BC是⊙O的切线;

(2)若OA=6,BC=8,求BD的长.

(1)证明:连结OC. ………… 1分; ??CD?, ∵CD

∴?COD?2?A,

∵2?A??B?90,

∴?COD??B?90. ……………… 2分;

在△OCB中,

∴?OCB?90,

∴BC是⊙O的切线 . ……………… 3分;

(2)解: 在⊙O中,

∴OC=OA=OD=6, ……………… 4分;

∵?OCB?90,

∴OB?OC?BC.

∴OB?10. ……………… 5分;

∴BD?OB?OD?10?6?4. ……………… 6分.

3(燕山23).如图,AB是⊙O的直径,直线AD与⊙O相切于点A,

点C在⊙O上,∠DAC=∠ACD,直线DC与AB的延长

线交于点E.AF⊥ED于点F,交⊙O于点G.

⑴ 求证:DE是⊙O的切线;

⑵ 已知⊙O的半径是6cm,EC=8cm, 求GF的长.

23.⑴ 证明:联结OC.

∵AD是⊙O的切线,∴∠OAD=90°,

∴∠OAC+∠DAC=90°.

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.

∵∠DAC=∠ACD,

∴∠OCA+∠ACD=90°,即∠OCD=90°,

∴AD是⊙O的切线. 222oooo

第23题图

⑵ 联结BG,

∵OC=6cm,EC=8cm, ∴在Rt△CEO中,OE=OC+EC=10 cm.

∴AE=OE+OA=16 cm.

∵AF⊥ED,

∴∠AFE=∠OCE=90°,∠E=∠E.

∴Rt△AEF∽Rt△OEC.

AFAE=, OCOE

AE?OC16?6∴AF===9.6 cm. OE10∴

∵AB是⊙O的直径,∴∠AGB=90°,

∴BG∥EF,

AGAB=, AFAE

AB?AF12?9.6∴AG===7.2 cm, AE16∴

∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4cm.

4(平谷23). 如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.

(1)求证:BD是⊙O的切线.

(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面2积为8,cos∠BFA=,求△ACF的面积. 3

23.(1)证明:连接BO……………….1分

∵ AB=AD=AO,

∴ △ODB是直角三角形.

∴ ∠OBD=90° ………………………………………………………..2分

∴ BD是⊙O的切线.……………………….…………………………...3分

(2)解:∵ ∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,

∴ △ACF∽△BEF . ……………4分

∵ AC是⊙O的直径,

∴ ∠ABC=90°.…………………5分

在Rt△BFA中,∵ cos∠BFA=2C图 8

BF2?, AF3S4?BF?∴?BEF???? .………………………........................6分 S?ACF?AF?9

又∵ S?BEF=8,

∴ S?ACF=18 .

…………………………………………………7分

5(顺义22).如图,△ABC是等腰三角形,AB?AC,以AC为直径的?O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F. (1)求证:DE是?O的切线;

(2)若?O的半径为2,BE?1,求cosA的值. 22.(1)证明:连接AD、OD. ∵AC是直径,

∴AD⊥BC.--------------------------------------------1分 ∵AB?AC, ∴D是BC的中点. 又∵O是AC的中点,

∴OD∥AB.---------------------------------------------2分 ∵DE⊥AB,

∴OD⊥DE.

∴DE是?O的切线.-----------------------------------3分 (2)由(1)知OD∥AE,

B

FOOD

, ----------------------------------------4分 ?

FAAEFC?OCOD∴, ?

FC?ACAB?BEFC?22∴. ?FC?44?1

解得FC?2. ∴AF?6

AEAB?BE4?11

???.----------5分 AFAF62

6(顺义24).(7分)如图,?O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,?ACB的平分线交AB于E,交?O

CE

于D.求弦AD,CD的长及的值.

DE

24. 解:连结BD ?

?AB是直径,??ACB?90.

∴cosA?

在Rt△

ABC中,BC?

??8(cm).--------------------1

?CD平分?ACB,

?,AD?BD.-----------------------------------------------2分 ??AD?

BD

在Rt△ABD中,

AD?BD?

方法一

.----------------------------------3分 AB?cm)

过A作AM?CD于M

在Rt△ACM中,AM?CM?AC?cos45??6?

?分 2

在Rt△ADM中

,DM??分

∴CD?CM?DM?cm) -----------------------------------------------6分 ∵?EAD??ACD?45? ,?ADE??CDA

∴?ADE∽?CDA ∴ADDE

?CDAD

AD2??∴DE?

CD∴CE?CD?DE?∴

方法二 CE24 ------------------------------------------------7分 ?DE25

过E作EF?AC于F,EG?BC于G,F,G是垂足,则四边形CFEG是正方形. 设EF?EG?x,由三角形的面积公式,得

即111AC?x?BC?x?AC?BC, 222

B 11124.

?6?x??8?x??6?8,解得x?2227

. -------------------------------------------------------4分 ?CE??

由△ADE∽△CBE,得DEAEADDE,即 ??

??BECEBCBE解得AE?303040,BE?AB?AE?10?,

?777

∴DE?. ------------------------------------------------------------------5分

7

∴CD?CE?DE?.------------------6分 ??cm)77

CE24 -------------------------------------------7分 ?DE25

与AB的延长线交于点P,∠COB=2∠PCB. 7(西城 20).如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线

(1)求证:PC是⊙O的切线;

(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,

若MN · MC=8,求⊙O的直径

.

(1)证明:∵OA=OC,

∴∠A=∠ACO .

∴∠COB=2∠ACO .

又∵∠COB=2∠PCB,

∴∠ACO =∠PCB . ......................................................................................... 1分

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACO +∠OCB=90° .

∴∠PCB +∠OCB=90°, 即OC⊥CP.

∵OC是⊙O的半径,

∴PC是⊙O的切线. ………………………2分 (2)解:连接MA、MB.(如图6)

∵点M是弧AB的中点,

∴∠ACM=∠BAM.

∵∠AMC=∠AMN, ∴△AMC∽△NMA . …………………………3分

AMMC. ?NMMA

∴AM2?MC?MN.

∵MC?MN=8,

∴图6

∴AM? ....................................................................................................... 4分

∵AB是⊙O的直径,点M是弧AB的中点,

∴∠AMB=90°,AM=

BM=

∴AB??4. .............................................................................. 5分 8(海淀22).如图,AB为⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,E为BC中点. 求证:(1)DE为⊙O的切线;

(2)延长ED交BA的延长线于F,若DF=4,AF=2,求BC的长.

22.(1)如图,连接OD,BD. ………………1分

∵在⊙O 中,OD?OB,

∴∠1=∠2.

∵AB是⊙O的直径,

∴?ADB??CDB?90?.

∵E为BC中点, ∴ED?1BC?EB. 2

∴∠3=∠4.

∵BC切⊙O于点B,

∴?EBA?90?.

∴?1??3??2??4?90?,

即?ODE?90?.

∴OD⊥DE.

∵点D在⊙O上,

∴DE是⊙O的切线. ……………2分

(2)∵OD⊥DE,

∴?FDO?90?.

设OA?OD?r.

∵OF?FD?OD, DF=4,AF=2,

∴(r?2)2?42?r2.

解得r?3. ……………………………………3分

∴OA?OD?3,FB?8.

∵?F??F,?FDO??FBE?90?,

∴△FDO∽△FBE. ……………………………………4分 222

FDOD. ?FBBE

∴BE?6. ∴

∵E为BC中点,

∴BC?2BE?12.……………………………………5分

9(东城20). 如图,PB切⊙O于B点,直线PO交⊙O于点E,F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,

交⊙O于点A,延长AO交⊙O于点C,连结BC,AF.

(1)求证:直线PA为⊙O的切线;

(2)若BC=6,AD∶FD=1∶2,求⊙O的半径的长.

20.解:(1)证明:如图,连接OB .

∵ PB是⊙O的切线,

∴ ∠PBO=90°.

∵ OA=OB,BA⊥PO于D,

∴ AD=BD,∠POA=∠POB.

又∵ PO=PO,

∴ △PAO≌△PBO.

∴ ∠PAO=∠PBO=90°.

∴ 直线PA为⊙O的切线. ………………..2分

(2)∵ OA=OC,AD=BD,BC=6,

∴ OD=1BC=3. 2

设AD=x.

∵AD∶FD=1∶2,

∴ FD=2x,OA=OF=2x-3.

在Rt△AOD中,由勾股定理 ,得(2x-3)2=x2+32.

解之得,x1=4,x2=0(不合题意,舍去).

∴ AD=4,OA=2x-3=5.

即⊙O的半径的长5. ………………..5分

10(石景山23).如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB?AC?10,BC?12,P是劣弧BC的中点,过点

P作⊙O的切线交AB延长线于点D. (1)求证:DP//BC; (2)求DP的长.

(1)证明:

连结AP

?AB?AC ?弧AB=弧AC

D

又?P是劣弧BC的中点,

?弧BP=弧CP ………………1分 ?弧ABP=弧ACP, ?AP为⊙O的直径 又?DP为⊙O的切线,

?AP?DP ………………2分 作AM?BC,垂足为M ?M为BC中点, ?AM必过圆心O, 即:A,M,O,P四点共线

?DP//BC. ………………3分

1

(2)在Rt?AMB中,BM?BC=6,

23

?AM?8,tan?BAM?

4

222

在Rt?OMB中,设OB?r,则由勾股定理得r?(8?r)?6

2525

解得r?,AP? ………………5分

42

25375

在Rt?APD中,DP?AP?tan?DAP=??. ………………6分

248

D

11(大兴23).已知:如图,在半径为2的⊙O内,有互相垂直的两条弦AB,CD,它们相交于P点. (1)求证:PA·PB=PC·PD;

(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF?AD; (3)如果AB=8,CD=6,求O、P两点之间的距离. (1)证明:

∵∠A,∠C所对的圆弧相同,

∴∠A =∠C . ………………………………………1分 ∵AB?CD,

∴Rt△APD∽Rt△CPB . ∴

APPD

?. CPPB

∴PA·PB=PC·PD. ………………………………2分 (2)证明:

∵F为BC的中点,△CPB为直角三角形, ∴PF=FC,∠CPF =∠C . 又∵∠A =∠C,∠DPE =∠CPF,

∴∠A =∠DPE . ∵∠A +∠D=90°, ∴∠DPE +∠D=90°.

∴EF?AD . ………………………………………4分 (3)解:作OM?AB于M, ON?CD于N, ∴OMPN为矩形.

连接OB,OD,OP,由垂径定理,得AM=BM=4,CN=DN=3.

222222

由勾股定理,得O,O . M??4?

4N??3?11

∴O.……………7分

12(昌平) 21. 在矩形ABCD中,点O在对角线BD上,以OD为半径的⊙O与AD、BD分别交于点E、F,且∠ABE =∠DBC. (1)求证:BE与⊙O相切; (2)若sin?ABE?

13

,CD =2,求⊙O的半径.

21. (1)证明:连接OE. ………………………………………………………………………… 1分

∵四边形ABC D是矩形, ∴AD∥BC, ∠C=∠A = 90°. ∴∠3 =∠DBC,∠A BE +∠1 = 90°. ∵OD=OE,∠ABE =∠DBC, ∴∠2=∠3=∠ABE. ∴∠2 +∠1 = 90°. ∴∠BEO=90° . ∵点E在⊙O上,

∴BE与⊙O相切. ………………………………………………………………………… 2分

(2)解:∵∠ABE =∠DBC, ∴sin?DBC?sin?ABE? ∵DC =2 ,∠C = 90°,

∴DB= 6. ……………………………………………………………………………… 3分 ∵∠A = 90°, ∴BE=3AE.

13

∵AB = CD =2 ,

利用勾股定理,得AE?

2,AD?

∴DE?2.

连接EF.

∵DF是⊙O的直径,

∴∠DEF=∠A = 90°.

∴AB∥EF.

∴?DEF∽?DAB. …………………………………………………………………………… 4分 DEDF .

?ADBD

DF. ?6∴

∴DF?21. 4

21. …………………………………………………………………………5分 8

13(房山22).如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆与AB∴⊙O的半径为

边和BC边分别交于点D、点E,连接CD,且CD=CA,BD=6, tan∠ADC=2.

(1)求证:CD是半⊙O的切线;

(2)求半⊙O的直径;

(3)求AD的长.

22.(1)证明:联结OD ∵CD=CA,OB=OD

∴∠CAD=∠A,∠ODB=∠OBD

∵∠ACB=90°,∴∠A+∠OBD=90°

∴∠CDA+∠ODB=90°

∴∠CDO=90°

∴CD⊥OD ----------------------------1分

∵点D在半⊙O上,∴CD是半⊙O的切线 ---------------------------2分

(2)联结DE

∵BE是半⊙O的直径,

∴∠EDB=90° ----------------------3分

∵tan∠ADC=2,∠CAD=∠A

∴tanA=2,∴tan∠EBD=CBA1 2

1 2在△EDB中,∠EDB=90°,BD=65,tan∠EBD=

∴BE=15,即半⊙O的直径是15 ---------------------------4分

(3)在△ABC中,∠ACB=90°,tan∠ABC=设AC= x,则CD=x,BC=2 x

∵∠CBD+∠A=90°,∠ADC+∠CDE=90°

∠CDE=∠CBD ∴△CDE∽△CBD ∴ CD?CE?CB ∴CE=0.5x ∵∴△BDE∽△BCA ,DE:AC=BD:BC

∴3:x=6:(15+0.5x), ∴x=10 在△ABC中,∠ACB=90°AC=10,BC=20

2

1

2

∴AB=105, ∴AD=4 ------------------- 5分

14(丰台21).如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,过点A作AD⊥AB交⊙O于点D,交BC于点E,点F

在DA的延长线上,且∠ABF=∠C . (1)求证:BF是⊙O的切线;

4

(2)若AD=4,cos∠ABF=,求BC的长.

5

21.证明:(1)如图,联结BD

∵ AD⊥AB

∴ DB是⊙O的直径 ---1分

?1??2??D?90? ∵∠D=∠C,∠ABF=∠C

∴∠D=∠ABF ---2分 ∴?1??2??ABF?90? 即OB⊥BF

∴ BF是⊙O的切线 ---3分 (2)联结OA交BC于点G

∵AC=AB ∴弧AC=弧AB

∴∠D=∠2=∠ABF,OA⊥BC,BG=CG ∴cos?D?cos?2?cos?ABF?在Rt△ABD中,∠DAB=90°, ∴BD?

C

4

5

AD

?5, ∴AB?BD2?AD2?3 ------4分 cosD

在Rt△ABG中,∠AGB=90° ∴BG?AB?cos?2?∴BC?2BG?

12

------5分 5

24

------ 6分 5

15(怀柔20).如图①,AB为⊙O的直径,AD与⊙O相切于点A,DE与⊙O相切于点E,点C为DE延

长线上一点,且CE=CB.

(1)求证:BC为⊙O的切线; (2)如图②,连接AE,AE的延长线与BC的延长

线交于点G .若AB?2,AD?2,

求线段BC和EG的长.

20. 解:(1)连接OE,OC

∵CB=CE,OB=OE,OC=OC

∴△OBC≌△OEC

∴∠OBC=∠OEC………………1分

又∵与DE⊙O相切于点E

∴∠OEC=90。

。20题图① 20题图② ∴∠OBC=90

∴BC为⊙O的切线………………2分

(2)过点D作DF⊥BC于点F,

∵AD,DC,BG分别切⊙O于点A,E,B

∴DA=DE,CE=CB

设BC为x,则CF=x-2,DC=x+2

在Rt△DFC中,(x?2)2?(x?2)2?(25)2 解得:x?5 2

∵AD∥BG∴∠DAE=∠EGC

∵DA=DE∴∠DAE=∠AED

∵∠AED=∠CEG ∴∠ECG=∠CEG

∴CG=CE=CB=

∴BG=5 ∴AG?5…………………3分 2(2)2?52?45?35

∵∠DAE=∠EGC ,∠AED=∠CEG

∴△ADE∽△GCE…………………4分 ∴3?EG55ADAE2?,,解得EG? …………………5分 ?EG3CGEG2.5

八. 应用题

1(怀柔21).小赵投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,月内销售单价不变,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y??10x?500.

(1)设小赵每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?并求出最大利润.

(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元,那么如何制定销售单价才可以实现这一目标?

21. 解:(1)由题意,得:

w =(x-20)·y

=(x-20)·(?10x?500)…………………1分

??10x2?700x?10000

x??b?35.…………………2分 2a

此时w=2250…………………3分

(2)由题意,得:

?10x?700x?10000?2000

解这个方程得:x1 = 30,x2 = 40.

即小赵想要每月获得2000元的利润,销售单价应定为30元或40元. ………4分

∵a??10??,

∴抛物线开口向下.

∴当30≤x≤40时,w≥2000.…………………5分

答: (1)当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润,且最大利润为2250元.

(2)如果小赵想要每月获得的利润不低于2000元,那么他的销售单价应不低于30元而不高于

40元.

2(朝阳23). 如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22o时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是45o时,教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离(B、F、C在一条直线上).求教学楼AB的高度.

3 15 2 (参考数据:sin22o≈,cos22o≈tan22o8165

23. 解:过点E作EM⊥AB,

垂足为M. ………………………1分

设AB为x.

Rt△ABF中,∠AFB=45°,

∴BF=AB=x,

∴BC=BF+FC=x+13 ……………………….2分

在Rt△AEM中,∠AEM=22°,

AM=AB-BM=AB-CE=x-2,……………………….3分

∴tan22°= AM,……………………….4分 ME2

x-22 = ,……………………….5分 x+135

x=12.

即教学楼的高为12m. …………………………6分

3(石景山21).某种产品的年产量不超过1 000 t,该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图甲);该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段(如图乙),若生产的产品都能在当年销售完,问该产品年产量为多少吨时,所获得的毛利润最大.(毛利润=销售额-费用)

t)t)

21.解:设年产量(t)与费用(万元)之间函数解析式为y1?ax,由题意可得 2

1x2

,即:y1?. ………1分 1000?1000a,解得:a?10001000

设年销量(t)与销售单价(万元/t)之间的函数解析式为y2?kx?b, 2

由题意,可得

1??20?1000k?b,1?k?? 解得:?x?30 ………3分 100,即:y2???100?30?0?k?b.?b?30?

设毛利润为y万元,

1x2

由题意,可得y?(? (其中0?x?1000)………4分 x?30)x?1000100

112??x?30x, 1000

15000因为x??1000, 11

所以当0?x?1000时,y随x的增大而增大,

因而在x?1000时,图象达到最高点,故当年产量为1000吨时,所获得的毛利润最大. ……6分

4(西城18).如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.

(1)B处距离灯塔P有多远?

(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上,距离灯塔200海里的O处.已知圆形暗

礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B处是

否有触礁的危险,并说明理由.

18.解:(1)作PC⊥AB于C.(如图4)

?45° 在Rt△PAC中,∠PCA=90°,∠CPA=90°=45°.

? ………………2分 在Rt△PCB中,∠PCB=90°,∠PBC=30°.

∴PC?PA?cos45??100

∴PB?2PC?

答:B处距离灯塔P

有. …………………3分

(2)若海轮到达B处没有触礁的危险. ............................................................ 4

理由如下:

∵OB?OP?PB?200?

而150,

∴200??200?150.

∴OB?50. .................................................................................................. 5分 图4

∴B处在圆形暗礁区域外,没有触礁的危险.

5(东城22).―十八大‖报告一大亮点就是关注民生问题,交通问题已经成了全社会关注的热点.为了解新建 道路的通行能力,某研究表明,某种情况下,车流速度V (单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千 米)的函数,函数图象如图所示.

(1)求V关于x的函数表达式;

(2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数,计算公式为:车流

量P=车流速度V×车流密度x.若车流速度V低于80千米/时,求

当车流密度x为多少时,车流量P (单位:辆/时)达到最大,并求

出这一最大值.

22. 解:(1)当0?x?28时,V?80. ………………..1分

当28?x?188时,设V?kx?b,由图象可知,??80?28k?b, ?0?188k?b.

1?1?k??,解得:?2 ∴ 当28?x?188时,V??x?94. ………………..3分 2?b?94.?

(2)根据题意,得

112?1?P?Vx??-x+94?x?-x2?94x=-?x-94??4418. 22?2?答:当车流密度x为94辆/千米时,车流量P最大,为4418辆/时. …………..5分

6(昌平23). 如图,小明在一次高尔夫球训练中,从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大高度BD为12米时,球移动的水平距离PD为9米 .已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30o,AC⊥PC于点C, P、A

两点相距角坐标系解决下列问题.

(1)求水平距离PC的长;

(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;

(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A.

23.解:(1

)依题意得:?ACP?90?,

∵cos?APC??APC?30?,PA?

OC

OA, ……………………… 1分

∴PC?cos30??12 . …………… 2分

∴PC的长为12m .

(2)以P为原点,PC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,可知:

顶点B(9,12), 抛物线经过原点. …… 3分

∴设抛物线的解析式为y?a(x?9)?12. … 4分

2

∴0?a(0?9)2?12,求得a??4

27. 42∴y= -x-9)+12. ………… 5分 27

(3)由(1)知C (12 , 0) ,

易求得AC?.

(12. …………………… 6分 ∴

A

当x =12

时,y??4

27(12?9)2?12=32

3? ……… 7分

∴小明不能一杆把高尔夫球从P点直接打入球洞A .

7(丰台22).小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果,正在上初三的小明经过调查和计算,发现这

种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在着一次函数关系:y=-10x+500.

下面是他们的一次对话:

小明:―您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少?我就能帮你预测好多信息呢!‖

爸爸:―咱家这种水果的进价是每千克20元‖

聪明的你,也来解答一下小明想要解决的三个问题:

(1)若每月获得利润w(元)是销售单价x(元)的函数,求这个函数的解析式.

(2)当销售单价为多少元时,每月可获得最大利润?

(3)如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元,那么销售单价应该定为多少元?

22.解: (1)w?(x?20)(?10x?500)??10x?700x?10000 ------2分

(2)w ? ? 10 ( x ? 35 ) 2 ? 2250 ------3分 2

?x?35时,每月获得利润最大 ------4分

(3)当 w=2000时,?10x2?700x?10000=2000 ------5分

∴x?70x?1200?0 解得x1?30,x2?40

答:每月销售单价应定为30元或40元 . ------6分

8(延庆23). 某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租

出;当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;公司平均每日的各项

支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入一

平均每日各项支出)

(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为x的代数式表示);

(2)当每日租出多少辆时,租赁公司日收益最大?最大是多少元?

(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?

23.解:(1)∵某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出; 当每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆;

∴当全部未租出时,每辆租金为:400+20×50=1400元,

∴公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为:1400﹣50x; 2

故答案为:1400﹣50x;……………………………………………………2分

(2)根据题意得出:y=x(﹣50x+1400)﹣4800=﹣50x2+1400x﹣4800,

=﹣50(x﹣14)2+5000.…………………………3分

当x=14时,在范围内,y有最大值5000.

∴当日租出14辆时,租赁公司日收益最大,最大值为5000元.………4分 (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏,即:y=0.

即:50(x﹣14)2+5000=0, ………………………………………………5分 解得x1=24,xz=4,

∵x=24不合题意,舍去.……………………………………………………6分 ∴当日租出4辆时,租赁公司日收益不盈也不亏.…………………………7分 9(通州)20. 如图是黄金海岸的沙丘滑沙场景.已知滑沙斜坡AC的坡度是

tan??3,在与滑沙坡底C距离20米的D处,测得坡顶A的仰角为26.6°,4

且点D、C、B在同一直线上,求滑坡的高AB(结果取整数:参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50).

20. 解:由题意可知:DC?20米,?ADB?26.6°,?B?90.

在Rt△ABC中, ∵tan??oAB3?, ………

BC4

∴设AB?3x,BC?4x,

……… 2分; 在Rt△ABD中, ∴tan?ADB?

∴tan26.6?oAB, ……… 3分; DB第20题图3x?0.5, ……… 4分; 4x?20

解得:x?10, ……… 5分; ∴AB?3x?30.

答:滑坡的高AB为30米. ……… 6分.

九. 动点问题与最值

1. (西城8).如图,△ABC中,∠B=60°,∠ACB=75°,点D是BC边上一动点, 以AD为直径作⊙O,分别交AB、AC于E、F,若弦EF的最小值

为1,则AB的长为 B

A. 22 B.

26 C. 1.5 D. 3

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