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第一部分 第三章 第4讲 二次函数

发布时间:2013-12-28 09:02:06  

二次函数复习

1.通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式,并 体会二次函数的意义. 2.会用描点法画出二次函数的图象,能从图象上认识二次 函数的性质. 3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不

要求记忆和推导),并能解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

1.二次函数的概念

y=ax2+bx+c 定义:形如______________(a,b,c 是常数,a≠0)的函数.
2.二次函数的图象和性质
函数

y=ax2+bx+c(a≠0)

a>0
图象

a<0

性 质 对称轴

开口

向上 b x=-2a ________________

向下
b x=-2a

续表 函数 顶点 坐标

y=ax2+bx+c(a≠0)
2 ? b 4ac-b ? ? ? ?-2a, ________________ 4a ? ? ? 2 ? b 4ac-b ? ? ? -2a, 4a ? ? ? ?

b 当 x>-2a时,y 随 x 的 x<- b 当__________时,y 随 x 2a 性 的增大而增大 增大而增大 质 增减性 b b 当 x<-2a时,y 随 x 的 x>-2a 当__________时,y 随 x 的增大而减小 增大而减小
最值 有最________值,即 小 4ac-b2 ymin= 4a ______________

有最大值,即 ymax= 4ac-b2 4a

3.系数 a,b,c 的几何意义 (1)开口方向:____的符号决定抛物线的开口方向. a

(2)当________同号时,对称轴在 y 轴左边;当 a,b 异号时, a,b
右 对称轴在 y 轴______边. (3)____的符号确定抛物线与 y 轴的交点在正半轴或负半轴 c 或原点.

4.二次函数的解析式 已知条件 抛物线上的三点 顶点或对称轴、最大 解析式的选择 一般式 顶点式 表达式

y=ax2+bx+c(a≠0) ______________________ y=a(x-h)2+k(a≠0) ______________________

(小)值
抛物线与 x 轴的两个 交点 交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) ______________________

5.y=ax2 和 y=a(x-h)2+k 的图象关系




y=a(x-h)2+k 的图象. 6.二次函数与一元二次方程的关系 ax2 +bx+c=0(a≠0) 抛物线 y=ax2+bx+c Δ=b2-4ac 的根的个数 (a≠0)与 x 轴的交点的个数 Δ>0 ________ 两个 两个不相等的实数根 ________________ 两个相等的实数根 一个 Δ=0 Δ<0 ________ 不存在 0

1.抛物线 y=-(x+2)2-3 的顶点坐标是( D )
A.(2,-3) B.(-2,3) D.(-2,-3)

C.(2,3)

2.(2011 年广东肇庆)二次函数 y=x2+2x-5 有( D ) A.最大值-5 C.最大值-6 B.最小值-5 D.最小值-6

3.下列二次函数中,图象以直线 x=2 为对称轴,且经过 点(0,1)的是( C ) A.y=(x-2)2+1 C.y=(x-2)2-3 B.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-3

4.一个 y 关于 x 的函数同时满足两个条件:①图象过点

(2,1);②当 x>0时,y随x的增大而减小.这个函数的解析式为

y=-x2+5 ________________(写出一个即可).
5.将抛物线 y=x2+1 向下平移 2 个单位,则此时抛物

线的

y=x2-1 解析式是__________________.

考点 1

二次函数的图象和性质

1.(2011 年广东广州)下列函数中,当 x>0 时,y 值随 x 值 增大而减小的是( D )
A.y=x
2

B.y=x-1

3 C.y=4x

1 D.y=x

2.(2012 年广东深圳)二次函数 y=x2 -2x+6 的最小值是 ________. 5

3.(2012 年广东广州)将二次函数 y=x2 的图象向下平移 1 个单位,则平移后的二次函数的解析式为( A )
A.y=x2-1 B.y=x2+1 C.y=(x-1)2 D.y=(x+1)2

考点 2

确定二次函数的关系式

例 1:(2010 年浙江金华)已知二次函数 y=ax2+bx-3 的图 象经过点 A(2,-3),B(-1,0). (1)求二次函数的解析式; (2)填空:要使该二次函数的图象与 x 轴只有一个交点,应 把图象沿 y 轴向上平移________个单位.

?4a+2b-3=-3, ? 解:(1)由已知,有? ?a-b-3=0, ? ?a=1, ? 得? ?b=-2. ?

?4a+2b=0, ? 即? ?a-b=3, ?



∴所求的二次函数的解析式为 y=x2-2x-3. (2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故应沿 y 轴向上平移 4 个 单位.

4.(2010 年广东中山)已知二次函数 y=-x2+bx+c 的图象 如图 3-4-1,它与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),与 y 轴的交 点坐标为(0,3). (1)求出 b,c 的值,并写出此时二次函数的解 析式;

(2)根据图象,写出函数值 y 为正数时,自变
量 x 的取值范围. 图 3-4-1

?-1-b+c=0, ? 解:(1)根据题意,得? ?c=3. ?

?b=2, ? 解得? ?c=3. ?

所以抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. (2)令 y=-x2+2x+3=0,解得 x1=-1,x2=3. 根据图象可得当函数值 y 为正数时, 自变量 x 的取值范围是 -1<x<3.

考点 3

二次函数与一元二次方程、不等式的关系

5. (2012 年广东梅州)(1)已知一元二次方程 x2+px+q=0(p2 -4q≥0)的两根为 x1,x2,求证:x1+x2=-p,x1·2=q; x (2)已知抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A, 两点, B 且过点(-1, -1),设线段 AB 的长为 d,当 p 为何值时,d2 取得最小值,并 求出最小值.
(1)证明:∵a=1,b=p,c=q,p2-4q≥0, b c ∴x1+x2=-a=-p,x1·2=a=q. x

(2)解:把(-1,-1)代入 y=x2+px+q,得 p-q=2,即 q =p-2. 设抛物线 y=x2+px+q 与 x 轴交于 A, 两点的坐标分别为 B (x1,0),(x2,0). ∵d=?x1-x2?, ? ? ∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 (p-2)2+4. ∴当 p=2 时,d 2 的最小值是 4. x1·2=p2-4q=p2-4p+8= x
? ?

6.(2012 年广东珠海)如图 3-4-2,二次函数 y=(x-2)2 +m 的图象与 y 轴交于点 C,点 B 是点 C 关于该二次函数图象 的对称轴对称的点.已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次

函数图象上点 A(1,0)及点 B.

图 3-4-2
(1)求二次函数与一

次函数的解析式; (2)根据图象,写出满足 kx+b≥(x-2)2+m 的 x 的取值范围.

解:(1)由题意,得(1-2)2+m=0, 解得 m=-1. ∴二次函数的解析式为 y=(x-2)2-1. 当 x=0 时,y=(0-2)2-1=3, ∴C(0,3). ∵点 B 与 C 关于直线 x=2 对称, ∴B(4,3).
?0=k+b, ? 于是有? ?3=4k+b, ? ?k=1, ? 解得? ?b=-1. ?

∴一次函数的解析式为 y=x-1. (2)x 的取值范围是 1≤x≤4.

7.(2010 年广东广州)已知抛物线 y=-x2+2x+2. (1)该抛物线的对称轴是________________ , 顶点坐标

________;
(2)选取适当的数据填入下表,并在图 3-4-3 的直角坐标 系内描点画出该抛物线的图象;

x… y…

… …

图 3-4-3 (3)若该抛物线上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足 x1 >x2>1,试比较 y1 与 y2 的大小.

解:(1)x=1 (1,3) (2)如图 D7. x … y … -1

0
2

1
3

2
2

3



-1

-1 …

图 D7
(3)因为 x1,x2 在对称轴 x=1 右侧,y 随 x 的增大而减小, 又 x1>x2,所以 y1<y2.

规律方法:图象上的点的位置的高低体现了函数值的大小,

函数值与自变量的取值实际上就是方程的解与不等式的解集.
考点 4 二次函数的应用

例 2:某商场购进一种单价为 40 元的篮球,如果以单价 50

元出售,那么每月可售出 500 个,根据销售经验,售价每提高 1
元,销售量相应减少 10 个.

(1)假设销售单价提高 x 元,那么销售每个篮球所获得的利
润是__________元;这种篮球每月的销售量是__________个(用

含 x 的代数式表示);

(2)8 000 元是否为每月销售这种篮球的最大利润?如果是,

请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并求出此时篮球的
售价应定为多少元. 解:(1)10+x 500-10x

(2)设月销售利润为 y 元. 根据题意,得 y=(10+x)(500-10x).
整理,得 y=-10(x-20)2+9 000. 当 x=20 时,y 有最大值为 9 000,20+50=70(元).

答:8 000 元不是最大利润,最大利润是 9 000 元,此时篮
球售价应定为 70 元.

8.(2012 年四川巴中)某商品的进价为每件 50 元,售价为 每件 60 元,每个月可卖出 200 件;如果每件商品的售价上涨 1 元,则每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元),设每件商品 的售价上涨 x 元(x 为正整数),每个月的销售利润为 y 元.

(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时,每个月可获得最大利润?

最大利润是多少?

解:(1)根据题意,得 y=(60-50+x)(200-10x),整理,得

y=-10x2+100x+2 000(0<x≤12);
(2)由(1),得 y=-10x2+100x+2 000=-10(x-5)2+2 250.
故当 x=5 时,最大月利润 y 为 2 250 元.

3 2 9. (2011 年广东肇庆)已知抛物线 y=x +mx-4m (m>0)与

x
2

轴交于 A,B 两点. (1)求证:抛物线的对称轴在 y 轴的左侧; 1 1 2 (2)若OB-OA=3(O 是坐标原点),求抛物线的解析式;

(3)设抛物线与 y 轴交于点 C,若△ABC 是直角三角形,求 △ABC 的面积.

b m (1)证明:∵m>0,∴x=-2a=- 2 <0, ∴抛物线的对称轴在 y 轴的左侧. (2)解:设抛物线与 x 轴的交点坐标为 A(x1,0),B(x2,0), 3 2 则 x1+x2=-m<0,x1·2=-4m <0 , x ∴x1 与 x2 异号. 1 1 2 又OB-OA=3>0, ∴OA>OB.

由(1),知:抛物线的对称轴在 y 轴的左侧. ∴x1<0,x2>0.∴OA=|x1|=-x1,OB=x2, 1 1 2 1 1 1 1 2 代入OB-OA=3,得x - = + = , -x1 x2 x1 3 2 x1+x2 2 -m 2 即 x · =3,从而 3 =3,解得 m=2. 1 x2 -4m2 ∴抛物线的解析式是 y=x2+2x-3.

3 2 (3)解法一:当 x=0 时,y=-4m , ∴抛物线与 y 轴的交点坐标为 ∵△ABC 是直角三角形, 且只能有 AC⊥BC,又 OC⊥AB, ∴∠CAB=90° -∠ABC,∠BCO=90° -∠ABC. ∴∠CAB=∠BCO. ∴Rt△AOC∽Rt△COB. OC AO ∴OB=OC,即 OC2=OA· OB.
? 3 2? C?0,-4m ?. ? ?

? 3 2?2 ∴?-4m ? =-x1·2, x ? ?

9 4 3 2 2 即16m =4m ,解得 m=3 3. ?2 3 2 3?2 此时-4m =-4?3 3? =-1, ? ? ∴点 C 的坐标为(0,-1).∴OC=1. 又(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1·2 x ? 3 2? 2 ?- =(-m) -4· 4m ?=4m2, ? ? 4 m>0,∴|x2-x1|=2m,即 AB=2m=3 3.

1 1 4 ∴△ABC 的面积=2· OC=2×3 AB· 2 =3 3. 3 2 解法二:当 x=0 时,y=-4m , ? 3 2? ∴点 C?0,-4m ?. ? ?

3×1

∵△ABC 是直角三角形,∴AB2=AC2+BC2. ? 3 2?2 ? 3 2?2 2 2 2 ∴(x1-x2) =x1+?-4m ? +x2+?-4m ? . ? ? ? ?

? 3 2? 9 4 9 4 ∴-2x1·2=8m .∴-2?-4m ?=8m . x ? ? 2 解得 m=3 3. 1 ∴S△ABC=2×|AB|· |OC| ? 3 2? 1 ? =2|x1-x2|·-4m ? ? ? 1 3 2 2 =2×2m×4m =3 3.


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