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华师版 6 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

发布时间:2013-12-28 11:55:38  

二次函数
Y=ax2+bx+c的图像和性质

学习目标: 1、掌握用描点法画出函数y=ax2 +bx +c的图象。 2、掌握用图象或通过配方确定抛物线的 开口方向、对称轴和顶点坐标。 3、经历探索二次函数y=ax2+bx+c的 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及 性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+ c的性质。

1 说出二次函数 y ? ?4( x ? 2) ? 1 图象的 开口方向,对称轴,顶点坐标,增减 性 2 它是由y=-4x2怎样平移得到的
2

1 的开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性 2 不画图象,直接说出 y ? ?2x2 ? 4x ?1

1 2 不画图象,直接说出 y ? 2 x ? 2 x ? 3

的开口方向,对称轴,顶点坐标,增减性
由二次函数y=a(x-h)2+k得其顶点坐标是(h, k)

我们把y=a(x-h)2+k叫做二次函数的顶点式。

函数y=ax2+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.

y ? ax2 ? bx ? c ? 2 b ? ? a? x ? x ? ? c a ? ?

? 2 b ? b ?2 ? b ?2 ? ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ? c ? a ? 2a ? ? 2a ? ? ? ? 2 ?? b ? b2 ? ? a ?? x ? ? ? 2 ? ? c 2a ? 4a ? ?? ? ?
2

b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值

y=ax2+bx+c(a>0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ?

直线x ? ?

b 2a

直线x ? ?

b 2a

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

当x ? ?

b 4ac ? b 时, 最小值为 2a 4a

2

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与a,b,c 符号的关系:
当a﹤0时,图像开口向下,图像顶点在y轴 b 左侧时- ﹤0得b ﹤0, 图像顶点在y轴右 2a
b 侧时- ﹥0得b ﹥0 2a

当a﹥0时,图像开口向上,图像顶点在y轴左侧 b 时- ﹤0得b ﹥0, 图像顶点在y轴右侧时- b ﹥0得b ﹤0,
2a
2a

归纳;a与b的符号是左同右异。 当x=0时,由y=ax2+bx+c得,y=c,当c﹥0时图像与y轴的正 半轴相交,当当c﹤0时图像与y轴的负半轴相交。

函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与a,b,c 符号的关系: 当a<0时,开口向下,当a>0时开口向上。
b与 a同号时,图像顶点坐标在y轴左边,b与 a异 号时图像顶点坐标在y轴右边(即左同右异)或由 b 顶点坐标与x=- — 来判定 b的符号。 2a c>0时图像交y轴的正半轴,c<0时图像交y轴的负 半轴,c=0时图像经过原点。

练习:
1、 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
开口向上 开口向下 ①开口

方向:当a>0时,______,当a<0时,_____; 4ac-b2 ②顶点坐标是( , ___ ); 4a -b 直线X= 2a ③对称轴是_____————; -b 2a ___

④函数的最大值或最小值:
-b 4ac-b2 小 2a 4a 当a>0,x=___时,y有最___值,为y=____; -b 4ac-b2 2a 大 当a<0,x=____时,y有最__值,为y=____。 4a

2.如图是二次函数y=ax2+bx+ c的图象,判断以下各式的值是 正值还是负值: (1)a;(2)b; 2-4ac; (3)c;(4)b (5)a+b+c; (6)4a+2b+c; (7)a-b+c; .

3.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( B ) A.b=2 B.b= - 6 , c= 6

C.b= - 8

D.b= - 8 ,

c= 18

4.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限,

则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
y y y

(

C
y

)

o

-3

x

o -3

x

o -3

x

o -3

x

A

B

C

D

5.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 (C )
y
o x o

y
x o

y
x o

y
x

A

B

C

D

6、求二次函数y=2x2+4x-6的对称轴及最值
7、抛物线y=ax2-4x-6顶点的横坐标为-2, 求a的值

8、已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,求m的值。
9、已知抛物线y=x2-(a+2)x+4顶点坐标在坐标轴上,求a的值。
4×1×4-[-(a+2)]2

解: (1)当顶点在x轴上时——————=0
所以 a1=-6
? a ? 2) ( ? ?0 2
4

a2=2
b ?0 2a

(2)当顶点在y轴上时, ? ∴

∴ a3=-2 (3) 因为常数项是4,所以顶点不在原点。 综上所述a的值是:a1=-6 a2=2 a3=-2.

-3 1.当K=_____时,y=(k–3)x

k2- 7

是二次函数。

向上 2.二次函数y=x2 +2x-4的图象开口方向是______, 直线X=-1 (-1,-5) 顶点坐标是______,对称轴是_____,

小 =-1 -5 当x_____时,y有最____值,是______。

y 3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,则 a﹤0, b ﹤0, a,b,c,满足———————— c ﹥0. 4、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则 o y (3) x

c 四 点M (b, )在第——象限 a

5、已知二次函数y=ax2+bx+c,且a﹤0,a-b+c﹥0, 则一定有( A )A b2-4ac ﹥0, B b2-4ac =0, C b2-4ac ﹤0 , D b2-4ac ≤0 o x

(4) 分析:因为a ﹤0 ,所以开口向下,当x=-1时,y=a-b+c ﹥0,所以 图像与x轴有两个交点,所以一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不 等的实数根,所以△= b2-4ac ﹥0,故选A.

y 6、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,则 a﹤0,b﹥0,c﹥0 a,b,c的取值范围是—————————————

o (6)

x

例1. 某商场购进一批单价为16元的日用品,经实
验发现若按每件20元的价格销售时,每月能卖360
件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假

设每月销售件数为y(件)是价格x(元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式.

(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,
问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大

利润?每月的最大利润是多少?

解:

(1)设y=kx+b 把x=20时,y=360;x=25时,y=210分别

代入上式 得: 解得: 360=20k+b 210=25k+b k=-30,b=960

所以y与x之间的函数关系式为y=-30x+960(X≥16,且x为整数) (2)设每月利润为P元, 则P=y(x-16)=(-30x+960)(x-16) =-30x2 +1440x-15360 ∴当x=1440 2x(-30) =24(元)时

P为最大值:(-30×24+960)(24-16)=1920(元) 答:当销售价格为每件24元时,每月利润最大,最大利润为1920元。

达标测试:

1、求下列抛物线的开口方向,顶点坐标,对称轴, 增减性,最值 2 2 (1) y ? x ? 2 x ? 2 (2) y ? 2 x ? 8 x (3) y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 8
2、如何平移抛物线 y ? ?2 x ? 4 x ? 5 得到
2

y ? ?2x

2

3、某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100 元出售,一天可售出约100件,该店想通过降低售价、 增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发 现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件。 1 请表示出商品降价x元与利润y元之间的关系? 2 将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最 大?最大利润是多少?

P17、 1、 2、 3。

作业:
P22、 2、 3、
《学习指导》P130(1)(11)(12)(13)。 P132、 (11)(13)(15)

如图所示,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路 1 线可用二次函数y=- 2 x2+4x的图像表示,斜坡可以 用一次函数y=
1 2 x表示

y A o x

(1)求小球到达最高点的坐标;

(4,8)

(2)若小球的落点是A,求点A的坐标。(7,3.5)
《基础训练》p141、12、16.

数学就是这样一种学问;她 要求我们扎扎实实地学习,勤勤 恳恳地探索。她提醒你有无形的 灵魂,她赋予她所发现的真理以 生命;她唤起心神,澄清智能; 她给我们的内心思想添辉,她涤 尽我们有生以来的蒙昧与无知。
谨以此语献给广大的数学爱好者!


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