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用待定系数法求二次函数的解析式1

发布时间:2013-12-28 11:55:41  

二次函数的图像与性质

说一说
说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

y=3x2
y= -2x2+3 y= - 4(x+3)2
1 (x-2)2+1 y= 2

y=x2+2x+1

温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式?
? 一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) ? 顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)

特殊形式 ? 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

想一想
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?

分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.

猜一 猜
思考: 如果要求二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0) 中的a、b、c,至少需要几个点的坐标?

一般式: y=ax2+bx+c

例 题





例1 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?

顶点式: y=a(x-h)2+k

解: 设所求的二次函数为

y=ax2+bx+c

由条件得: 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c 得: a=1 b= -2 c= -3 故所求的抛物线解析式为 y=x2-2x-3

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

一般式: y=ax2+bx+c

例 题





例1 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?

顶点式: y=a(x-h)2+k

解: 设所求的二次函数为

y=a(x+1)(x-3)

由条件得: 点C( 0,-3)在抛物线上 所以:a(0+1)(0-3)=-3 得: a=1 故所求的抛物线解析式为 y= (x+1)(x-3)

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

即:y=x2-2x-3

一般式: y=ax2+bx+c

例 题





例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点
的距离为4,求此二次函数的解析式. 解: 设函数关系式 y=a(x-3)2-2
顶点式: y=a(x-h)2+k

∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3

∴过点(5,0)或(1,0)
把(1,0)代入得, 4a=2 1 a= 2 1 ∴y= (x-3)2-2 2

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

练一练
1、已知二次函数的图像过点(0, 0),(1,-3),(2,-7)
1 2 5 y?? x ? x 三点,则该二次函数关系式为______________。 2 2

2、若二次函数的图像有最高点为(1,-6),且经过点 y ? ?2( x ? 1) 2 ? 6 (2,-8),则此二次函数的关系式______________

3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) y ? 2( x ? 1)( x ? 且过点(3,4),则此二次函数的关系式为___________2)

知 识 应 用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?

分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.

知 识 应 用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.现把它 的图形放在坐标系里(如图所示),求抛 物线的解析式.

解 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

法 根据题意可知:抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 一: 可得方程组

1 8 ,b ? ,c ? 0 25 5 1 2 8 ∴ 所求抛物线解析式为 y ? ? x ? x 解得a ? ?
25 5

知 识 应 用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个 桥拱的最大高度为16m,跨度为40m. 现把它的图形放在坐标系里(如图所示), 求抛物线的解析式. 解 设抛物线为y=a(x-20)2+16
法 二 根据题意可知 ∵ 点(0,0)在抛物线上,

∴ 所求抛物线解析式为

知 识 应 用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个 桥拱的最大高度为16m,跨度为40m. 现把它的图形放在坐标系里(如图所示), 求抛物线的解析式. 解: 设抛物线为y=ax(x-40 )
根据题意可知 ∵ 点(20,16)在抛物线上,

y 16

-20

20

x

方 法 小 结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原 一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于a、b、c的方程组 三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中

动手做一做
已知当x=-1时,抛物线最高点的纵坐标为4, 且与x轴两交点之间的距离为6,求此函数解析式
解: 根据题意得顶点为(-1,4) 由条件得与x轴交点坐标 (2,0);(-4,0) 设二次函数解析式:y=a(x+1)2+4 有0=a(2+1)2+4,得a= ? y x o

9 4 9 故所求的抛物线解析式为 y= ? (x+1)2+4 4

回 顾与反思
? y ? 已知图象上三点或三对的对应值,

通常选择一般式
已知图象的顶点坐标(对称轴和最值) 通常选择顶点式

o x

?

已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2, 通常选择交点式

确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式,

我思考,我进步
已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12) 试问是否存在一个二次函数,使它的图像同时 经过 这四个点?如果存在,请求出关系式; 如果不存在,请说明理由.

做一做
1、若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且
经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线解析式?

2、已知二次函数的图像过点A(-1,0)、B(3,0),

与y轴交于点C,且BC=2 3 ,求二次函数关系式?


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