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2-3二次函数的性质

发布时间:2013-12-28 12:59:17  

二次函数:

y=ax2 +bx + c (a ? 0)

二次函数的图象:一条抛物线

a 抛物线的形状,大小,开口方向完全由_____来决定. y=0.5x2
当a的绝对值相等时,其形状 完全相同,当a的绝对值越大, 则开口越小,反之成立.
y= - 0.5x2 y= - x2

0

根据左边已画好的函数图象填空:
y

抛物线y= -2x2的顶点坐标是 (0,0) , 对称轴是 直线x=0 ,
x 在 Y轴左

0

< 侧,即x_____0时, > 侧,即x_____0时,

y随着x的增大而增大; 在 Y轴右

y随着x的增大而减小.

y= -2x2

当x= 0

? 当x____0时,y<0

0 时,函数y最大值是____.

根据左边已画好的函数图象填空:
y

y= 2x2

抛物线y= 2x2的顶点坐标是 (0,0) , 对称轴是直线x=0,

在 Y轴左
在 Y轴右 当x=

< 侧,即x_____0时, > 侧,即x_____0时,

y随着x的增大而减少;
x

0

y随着x的增大而增大.

0

0 时,函数y最小值是____.

当x____0时,y>0 ?

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值 根据图形填表: 抛物线 顶点坐标 对称轴

y=ax2+bx+c(a>0) ? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直 线x ? ? 2a
由a,b和c的符号确定

y=ax2+bx+c(a<0)
? b 4ac ? b 2 ? ?? ? 2a , 4a ? ? ? ? b 直线x ? ? 2a

位置 开口方向
增减性 最值

由a,b和c的符号确定

向上
b 当x ? ? 时 2a ,y随着x的增大而减小. b 当x ? ? 时 , y随着x的增大而增大. 2a 当x ? ?

向下
b 时 2a b 当x ? ? 时 2a

,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最小值为 2a 4a

b 4ac ? b 2 当x ? ? 时, 最大值为 2a 4a

二次函数与一元二次方程 ?二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2 x y=x2-2x+1 y=x2-2x+2

?(1).每个图象与x轴有几个交点? ?(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? ?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ? ①有两个交点, ? ②有一个交点, ? ③没有交点. ? 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.

抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方 程的知识来说明呢? Y
△<0 △=0

△>0

O

X

?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点

一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根

一元二次方程ax2+bx+c=0

根的判别式Δ=b2-4ac b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0

举例:

求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、 B的坐标。 ∴它们的纵坐标为0,

解:∵A、B在x轴上,

∴令y=0,则x2-3x+2=0
解得:x1=1,x2=2;

∴A(1,0) , B(2,0) 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系?

结论1:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线 y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。 因此,抛物线与一元二次方程是有密切 联系的。 即:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2, 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 x 点坐标分别是A( x1,0), B( 2,0 ) y

x1 O A

x2 x B

1 2 15 已知函数 y ? ? 2 x ? 7 x ? 2

⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点, 以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称 点。然后画出函数图像的草图; (2)自变量x在什么范围内时, y随着x的增大而 增大?何时y随着x的增大而减少;并求出函数 的最大值或最小值。 (-7,32) y

(-14,7.5) (-15,0)
0

.

(0,7.5) (1,0)
x

y

y

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

x
y=ax2+bx+c (0,c). o x1 o (0,c) .
b (? , c) a
2

1

x

2

.

b (? , c) a

x

. x

x

y=ax2+bx+c

b 4ac ? b 2 (? , ) 2a 4a

例2

已知函数y= x2 -2x -3

,

(1)写出函数图象的顶点、图象与坐 标轴的交点,以及图象与 y 轴的 交点关于图象对称轴的对称点。 然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形 的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些 值时, ① y=0; ② y<0; ③ y>0.

请完成课本练习: p42. 1,2

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图所示, 则a、b、c的符号为__________.
y

o

x

2、已知二次函数的图像如图所示,下列结 论: ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是( D )A 1个 B 2 y 个 C 3个 D 4个
-1 1

0

x

1、你能正确地说出二次函数的性 质吗? 2、你能用“五点法”快速地画 出二次函数的图象吗?你能利用 函数图象回答有关性质吗?

1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小. 2,若函数y=4x2,的图像与平行x轴的直线 y=1.5交于两点,求这两点间的距离.

3,如图直线l经过点A(4,0) 和B(0,4)两点,它与二次 函数y=ax2的图像在第一 象限内相交于P点,若 △AOP的面积为4.5,求 二次函数的解析式.

y

B
P O A x

4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.

5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果 它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶 点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到 x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交

于 点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB, 试说明平移方法.

练习二:一运动员推铅球,铅球经过的 路线为如图所示的抛物线。 (1)求铅球所经过的路线的函数解析式 和自变量取值范围。 (2)铅球的落地点离运动员有多远? y(m)

(4,3) (0,1.5) o x(m)

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 函数y=ax2+bx+c的顶点式 2a ? 4a ?
?一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们可以利用配方 法推导出它的对称轴和顶点坐标. ?例.求次函数y=ax2 +bx+c的对称轴和顶点坐标.

2

?1.配方: 这个结 果通常 称为顶 点坐标 式.

? 2 b ? b ? ? b ? 2 c ? 整理:前三项化 ? a? x ? x? ? ? ? ? ? ? ? 为平方形式,后 ? a ? 2a ? ? 2a ? a ? 两项合并同类 ? ? 2 项 2? ?? b ? 4ac ? b ? a ?? x ? ? ? ? 2 2a ? 4a ? 化简:去掉中括号 ?? ? ? 2
b ? 4ac ? b 2 ? ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

y ? ax2 ? bx ? c c? ? 2 b ? a? x ? x ? ? a 2 c? ?

提取二次项系数 配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方

顶点坐标公式

b ? 4ac ? b 2 ? y ? a? x ? ? ? . 2a ? 4a ?

2

二次函数 y=ax2 +bx+c的图象是一 条抛物线.

b 它的对称轴是直线 x ? ? . : 2a
? b 4ac ? b 2 ? ? ?. 它的顶点是 ? , ? 2a ? 4a ? ?

请用两种方法将二次函数

y=x2-4x+6化为y=a(x-h)2+k的 形式.

练习一:一座拱桥的示意图如图,当水面宽12m 时,桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物 线,要求该抛物线的函数解析式,你认为首先要 做的工作是什么?如果以水平方向为x轴,取以下 三个不同的点为坐标原点: (1)点A,(2)点B,(3)抛物线的顶点C 得的函数解析式相同吗?请试一试。哪种取法求 得的函数解析式最简单? C 4m A

12m

B


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