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14.2.1__平方差公式

发布时间:2013-12-28 14:56:02  

14.2 乘法公式 14.2.1 平方差公式

多项式与多项式是如何相乘的?

(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x + 3)( x+5)
2 +5x =x

+3X +15 =x2 +8x +15

(1) (x+1)(x-1);

(2) (a+2)(a-2); = a2-4 (4) (2x+1)(2x-1). =4 x2-1

? x ?1
2

(3) (3-x)(3+x) ;

? 9 ? x2
又发现什么规律?

观察上述算式,你能发现什么规律?运算出结果后,你

等号的左边:两个数的和与差的积, 等号的右边:是这两个数的平方差.

平方差公式: (a+b)(a?b)= a2?b2
两数和与这两数差的积,

等于 这两数的平方差.
公式变形: 1、(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、(b + a )( -b + a ) = a2 - b2

验证 请从这个正方形纸板上,剪下一
个边长为b的小正方形,如图1,拼成 如图2的长方形,你能根据图中的面 积说明平方差公式吗?
图1

(a+b)(a-b)=a2-b2
图2

?

灰太狼开了租地公司,一天他把一边长 为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村 ,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长,您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?

原来
5米

现在
(a+5)米

a米

2 a
5米

(a-5)

(a+5)(a-5)

相等吗?

【例题】
【例1】运用平方差公式计算: (1)

只有符合(a+b) (a- b)的

形式才能用平方差公式

(3x+2 )( 3x-2 ) .(2) (b+2a)(2a-b).

【解析】 (1) (3x+2)(3x-2) (2)(b+2a)(2a-b) =(3x)2-22 =9x2-4. =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2

=4a2-b2.

【例2】计算 (1) 102×98. 【解析】 (1) 102×98 (2)原式 (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).

=(100+2)(100-2)
=1002-22 =10 000-4 =9 996.

=(y2-22)-(y2+5y-y-5)
= y2-22-y2-5y+y+5 =-4y+1.

【跟踪训练】
1.下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是 ( (2)(5)(6) ) (1)(x+1)(1+x); (3)(-a+b)(a-b); (5)(-a-b)(a-b); (2)(a+b)(b-a); (4)(x2-y)(x+y2); (6)(c2-d2)(d2+c2).

2.利用平方差公式计算:

(1)(?x ? 2y)(?2y ? x).
= 4y2-x2.

(2)(2x ? 5)(5 ? 2x).
= 25-4x2.

【解析】 原式=(-2y-x)(-2y+x) 【解析】原式=(5+2x)(5-2x)

(3)(x ? 6) 2 ? (x ? 6) 2 .
【解析】原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6) =12×2x=24x.

平方差公式的逆用
a2-b2 = (a+b)(a-b)

(4)(0.5 ? x)(x ? 0.5)(x 2 ? 0.25).
【解析】原式=(0.5-x)(0.5+x)(x2 +0.25) =( 0.25-x2)( 0.25+x2)

=0.062 5-x4.
(5)100.5×99.5. 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5) =10 000-0.25 =9 999.75.

1.(眉山·中考)下列运算中正确的是(
A. a ? 2 a ? 5 a 2 3 C. a 2 ? a 3 ? 2 a 6 2



2 2 (2 B. a ? b )(2 a ? b ) ? 4 a ? b

D. a ? b ) 2 ? 4 a 2 ? b 2 (2

【解析】选B. 在A中3a+2

a=5a;C中 2a 2 ?a 3

? 2a 2?3 ? 2a 5 ;
) D.0

D中 ( 2 a ? b ) 2 ? 4 a 2 ? 4 ab ? b 2 . 2.(威海·中考)已知a-b=1,则a2-b2-2b的值为( A.4 B.3 C.1

【解析】选C.a2-b2-2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.

3.(湖州·中考)将图甲中阴影部分的小长方形变换到 图乙位置,你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是

___________.

【解析】图甲的面积=(a+b)(a-b),图乙的面积=a(ab)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2. 答案:(a+b)(a-b)=a2-b2

4.计算 99×101×10001.
【解析】原式=(100-1)(100+1)×10001 =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =99 999 999.

5.化简:(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16).

【解析】原式=(x2-y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
=(x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)

=(x8-y8)(x8+y8)(x16+y16)
=(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32.

拓展提升
计算 20042 - 2003×2005; 解: 20042 - 2003×2005 = 20042 - (2004-1)(2004+1) = 20042- (20042-12 ) = 20042- 20042+12 =1

能力挑战

中级

祝你成功!

1.已知x2-y2=8,x-y=4,求x+y的值。
2.有两个正方形的周长之和为36cm,面 积之差为72cm2,你能求出这两个正方形的边 长吗?

能力挑战

高级

观察并计算下列各组算式
4×6 =24 5×5 =25 7×9 =63

加油 哦!!

11×13 =143
12×12 =144

8×8 =64

?从以上的过程中你发现了什么规律? ?请用字母表示这一规律,你能说明它 的正确性吗?

能力挑战

(N ? 68) ? 6724,
2

求(N ? 58)(N ? 78)的值 解:原式 ? (N ? 68 ? 10)( N ? 68 ? 10) 2 2 ? ( N ? 68) ? (10)
高级

? ( N ? 68) ? 6724
2

?原式 ? 6724 ? 100 ? 6624

通过本课时的学习,需要我们掌握:
平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个 数的平方差. 平方差公式的逆用: a2-b2 = (a+b)(a-b)

我的成功只依赖两条:一条是毫不动摇地

坚持到底;一条是用手把脑子里想出的图
形一丝不差地制造出来.

——蒙日


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