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15.2.1分式的乘除

发布时间:2013-12-28 14:56:05  

15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除

1.掌握分式的乘除运算法则,能应用分式的乘除法法则

进行运算 . 2.掌握分式的乘方的运算法则,能进行分式的乘、除及
乘方的混合运算 .

问题1

一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为

m b,当容器内的水占容积的 时,水高多少? n
V 长方体容器的高为 ab

,

V m 水高为 · . ab n

问题2

大拖拉机m天耕地a公顷,小拖拉机n天耕地 b公顷,

大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍? 大拖拉机的工作效率是
a 公顷/天,小拖拉机的工作效 m

b 率是 公顷/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工 n a b 作效率的( m ? n )倍.

一、分式的乘除法则
2 4 2? 4 5 2 5? 2 () ? =    ( ) ? = 1 2 3 5  3 ? 5 7 9 7?9

a c ? ?? b d

分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分 子,分母的积作为积的分母. 用符号语言表达: ? ?

a c b d

a ?c b?d

        2 4 2 5 2?5 (3) ? = ? =    3 5 3 4 3? 4

a c ? ?? b d
分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母 颠倒位置后,与被除式相乘. 用符号语言表达:a ? c ? a ?d ? a ?d .

b d b c b?c

【例题】

4x y 【例1】 计算: (1) ? 3. 3y 2x

ab3 ?5a 2 b 2 (2) 2 ? . 2c 4cd

4x y 4 xy 2 ? 3= 3 ? 2. 【解析】 (1) 3 y 2 x 6 x y 3x
ab3 ?5a 2b 2 ab3 4cd 2bd (2) 2 ? ? 2? =? . 2 2 2c 4cd 2c ?5a b 5ac

【跟踪训练】
1.计算:

a ? 4a ? 4 a ? 1 ? 2 . 2 a ? 2a ? 1 a ? 4
2
2

(a ? 2) a ?1 解:原式 ? ? 2 (a ? 1) (a ? 2)(a ? 2) (a ? 2) 2 (a ? 1) ? 2 (a ? 1) (a ? 2)(a ? 2) a?2 ? . (a ? 1)(a ? 2)

1 1 ? 2 2.计算: 2 49 ? m m ? 7 m

1 解:原式 ? ? 2 ? ( m 2 ? 7 m) m ? 49 m( m ? 7) ?? (m ? 7)( m ? 7) m ?? m?7

【例题】
【例2】“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m的正方形 去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰 收2号”小麦的试验田是边长为(a-1) m的正方形,两 块试验田的小麦都收获了500kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高?

(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2 ,单位 面积产量是
500 a2 ?1

kg/m2;“丰收2号”小麦的试验田面积是
(a ? 1)

(a-1)2 m2,单位面积产量是 500 2 kg/m2. ∵0<(a-1)2< a 2-1, ∴
500 a2 ?1

?

500 , ∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高. 2 (a ? 1)

500 500 500 a 2 ? 1 a ? 1 (2) ? 2 ? ? ? , 2 2 (a ? 1) a ? 1 (a ? 1) 500 a ? 1
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小 麦的单位面积产量的 a ? 1 倍.
a ?1

【跟踪训练】
取一条长度为1个单位的线段AB,如



第一步,把线段AB三等分,以中间
的一段为边作等边三角形,然后去掉这 一段,就得到由4条长度相等的线段组 成的折线,总长度为
1 4 ? 4= . 3 3 第二步,把上述折线中每一条线段重复第一步的做法,便得到

由长度相等的线段组成的折线,总长度为

1 1 1 4 ? ? 42 ? ( ) 2 ? 42 ? ( ) 2 . 3 3 3 3

按照上述方法一步一步地继续进 行下去,在图中画出了第一步至第五 步所得到的折线的形状. 你觉得第五步得到的折线漂亮吗?

1.你能推算出第五步得到的折线的总长度吗?

4 5 4 4 4 4 4 45 1 024 ( ) ? ? ? ? ? ? 5 ? . 3 3 3 3 3 3 3 243
2.对于任意一个正整数n,第n步得到的折线的总长度是多少?

4 n 4 4 4 4 ? 4 ?? ? 4 4 n ( ) ? ? ?? ? ? n. 3 3 3 3 3 ? 3 ?? ? 3 3
对于任意一个正整数n,有

f n f ( ) = n . g g
分式乘方要把分子、分母分别乘方.

n

分 式 的 乘 方 法 则

【例题】
例3 计算:
x 4 (1) ( 2 ) . y

? 2?

?4x 2 y 3 ( ) . 3w

x 4 x4 x4 解: ?1? ( 2 ) ? 2 4 ? 8 ; y (y ) y

? 2?

?4x y 3 ? ?4x y ? ?64x 6 y3 ( ) ? ? . 3 3 3w 27w ? 3w ?
2 2 3

例4 计算: 1 ( ( ? 6x )

3

y ) ? 2xy) ? ( ;
4 3
2 4 2 2

? 2?


?5x
?

4

y ? x y ? 3x y
2
3

? ? ? ?4 x y ?
2

2

.

?1?

?? 6 x

3

y 4 ? ?? 2 xy ?

? 6 x3 y 4 ? ?? 2 xy?3

?2 ?
?
4 2

?5 x

? 6 x 3 y 4 3y 3 ? ? y; 3 3 ? ? 8x y 4 4

4

y ? x y ? 3x y ? ? 4 x y
2 2 4 2 2 2
2 2 2

? ?

?

2

5x y ? x y ? 3x y
2 4 2

? ?4x y ?

?

x 2 y 2 ? 5x 2 ? y 2 ? 3? 16 x 4 y 2

5x 2 ? y 2 ? 3 ? . 2 16x

?x3 2 y 3 ?z 4 例5 计算:( 2 ) ? ( ) ?( ) . 2 y ?x xy
?x3 2 y ?z 解: ( 2 ) ?( 2 )3 ? ( ) 4 y ?x xy

(? x 3 )2 y3 (xy) 4 ? ? ? 2 2 2 3 (y ) ( ? x ) ( ? z) 4
x 6 ? y3 ? x 4 y 4 ? 4 y ? (? x 6 ) ? z 4

x 4 y3 = . 4 -z

【跟踪训练】
计算:

? xy 2 4 (1) ( ) 3z

x2 3 y 4 ( ? 2 ? ( 3 )? 3 ) ?y x
x6 y 4 ? 9 ? 12 ?y x
1 ?? 5 6 y x

? ? xy ? ?
? 3z ?
4 8
4

2 4

x y ? 4 4 3 z

x 4 y8 ? 81z 4

1 1 3? ( ? xy 3 )3 ? ( xy 4 ) 2 ? 3 6
?? 1 3 9 1 2 8 x y ? x y 27 36

??

1 3 9 36 x y ? 2 8 27 x y
2

?4 ?

?18 x

? 12 x 2 y ? 30 x 4 ? ? ?? 9 x 2 ?
2 2 4

4 xy ?? 3

1 ? (18 x ? 12 x y ? 30 x ) ? ( ) 2 ?9 x
? 18 x 2 ? ? ( 1 1 1 ) ? 12 x 2 y ? ? 2 ) ? 30 x 4 ? ? 2 ) ( ( 9x2 9x 9x

10 2 4 4 y 10 x 2 ?? x ? y?2 ? ?2 ? ? 3 3 3 3

ab 2 ? 3ax 等于( 1.计算 ? 2cd 4cd


3a 2 b 2 x D. ? 2 2 8c d

2b 2 A. 3x

B. 3 b 2 x 2

2b 2 C. ? 3x

ab 2 ?3ax ab 2 4cd 2b 2 【解析】选C. ? ?? ? ?? 2cd 4cd 2cd 3ax 3x

2.(苏州·中考)化简
1 A. a

a ?1 a ?1 ? 2 的结果是( a a



B.a

C.a-1

1

D. a ?1

a -1 a 2 ? ?a 【解析】选B.原式 ? a a -1

(a ? b) 2 ? (b ? a) 2 =__________________. 3.计算: ab
(a ? b) 2 (a ? b) 2 1 1 2 【解析】 ? (b ? a) ? ? ? 2 ab ab (a ? b) ab
答案: 1

ab

2x 2 3 4.计算:?1? 3x 2 y ? ( ) ?y

8x6 y3 3y4 ? 3 x 2 y ? (? 3 ) ? 3 x 2 y ? (? )?? 6 y 8x 8x4

? 2?

x 3 ? y2 2 x2y 2 ( ) ?( ) ?( ) ?y x z

x3 y 4 z 2 ? ( ? 3 )? 2 ? 4 2 y x x y
z2 ?? 3 . x y

1 1 x ? )? 2 , 5.(鄂州·中考)先化简 ( x -1 x ? 1 2x - 2

然后从-1,1,2中选取一个数作为x的值代入求值.
x+1-x+1 2(x 2 -1) 4 【解析】(1)原式= ? = . 2 x -1 x x

因为分母x-1≠0,x+1≠0,

所以x≠1且x≠-1,
所以取x=2, 所以 4 = 4 =2.
x 2

6.一条船往返于水路相距100 km的A,B两地之间,已知水流
的速度是每小时2 km,船在静水中的速度是每小时x km (x>2),那么船在往返一次过程中,顺流航行的时间与逆流

航行的时间比是______.
【解析】顺流速度为(x+2)km/h,逆流速度为

(x-2)km/h,由题意得 100 ? 100 = 100 ?x-2 = x-2 .
x+2 x-2 x+2 100 x+2

答案: x-2
x+2

通过本课时的学习,需要我们

1.理解并掌握分式乘除法的法则,会进行分式乘除运算.
2.理解并掌握分式乘方的运算法则,熟练地进行分式乘方 的运算. 3.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 4.能解决一些与分式乘除法有关的实际问题.

一个人在科学探索的道路上,走过弯路, 犯过错误,并不是坏事,更不是什么耻辱, 要在实践中勇于承认和改正错误。 —— 爱因斯坦


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