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中考数学专题训练(一):操作与探究

发布时间:2013-09-21 22:39:24  

操作与探究

1、(13年北京5分22)阅读下面材料:

小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a?2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积。

小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)

请回答:

(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无

缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为

__________;

(2)求正方形MNPQ的面积。

参考小明思考问题的方法,解决问题:

如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S?RPQ?

解析:

3,则AD的长为__________。 3

1

考点:操作与探究(旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形)

2、(2013成都市)如图,A,B,C,为⊙O上相邻的三个n等分点,弧AB?BC,点E在弧BC上,EF为⊙O的直径,将⊙O沿EF折叠,使点A与A'重合,连接EB',EC,EA'.设EB'?b,EC?c,EA'?p.先探究b,c,p三者的数量关系:发现当n?3时, p?b?c.请继续探究b,c,p三者的数量关系:

当n?4时,p?_______;当n?12时,p?_______.

(参考数据:sin15o?cos75o?

cos15o?sin75o?

答案:2b?c;2?16?2或b?c b?c 222

解析:

2

3、(2013山西,21,8分)(本题8分)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,点E是AC的中点。

(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法)。

①作∠DAC的平分线AM。②连接BE并延长交AM于点F。

【解析】解:①作图正确,并有痕迹。

3

②连接BE并延长交AM于点F

(2)猜想与证明:试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系,并说明理由。

【解析】解:AF∥BC且AF=BC

理由如下:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C

由作图可知:∠DAC=2∠FAC

∴∠C=∠FAC.∴AF∥BC.

∵E是AC的中点, ∴AE=CE, ∵∠AEF=∠CEB ∴△AEF≌△CEB ∴AF=BC.

4、(13年山东青岛、23)在前面的学习中,我们通过对同一面积的不同表达和比较,根据图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式

这种利用面积关系解决问题的方法,使抽象的数量关系因集合直观而形象化。

第23题图① 第23题图②

【研究速算】

提出问题:47×43,56×54,79×71,……是一些十位数字相同,且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式,是否可以找到一种速算方法?

几何建模:

用矩形的面积表示两个正数的乘积,以47×43为例: (1)画长为47,宽为43的矩形,如图③,将这个47×43的

矩形从右边切下长40,宽3的一条,拼接到原矩形的上面。

(2)分析:原矩形面积可以有两种不同的表达方式,47×43

的矩形面积或(40+7+3)×40的矩形与右上角3×7的矩形

面积之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+

3×7=2021

用文字表述47×43的速算方法是:十位数字4加1的和与4

4 第23题图③

再乘以100,加上个位数字3与7的积,构成运算结果

归纳提炼:

两个十位数字相同,并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是(用文字表述) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 【研究方程】

提出问题:怎么图解一元二次方程x?2x?35?0(x?0)?

几何建模:

(1)变形:x(x?2)?35

(2)画四个长为x?2,宽为x的矩形,构造图④

2

(3)分析:图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式,

(x宽x的矩形之和,加上中间边长为2的小正方形面积

即: (x?x?2)2?4x(x?2)?22

∵ x(x?2)?35

∴ (x?x?2)2?4?35?22

∴ (2x?2)?144

∵ x?0

∴ x?5

归纳提炼:求关于x的一元二次方程x(x?b)?c(x?0,b?0.c?0)的解

要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标注相关线段的长)

【研究不等关系】

提出问题:怎么运用矩形面积表示(y?2)(y?3)与2y?5的大小关系(其中y?0)? 几何建模:

(1)画长y?3,宽y?2的矩形,按图⑤方式分割

(2)变形:2y?5?(y?2)?(y?3)

(3)分析:图⑤中大矩形的面积可以表示为

5

2第23题图④

(y?2)(y?3);阴影部分面积可以表示为(y?3)?1,

画点部分的面积可表示为y?2,由图形的部分与整体

的关系可知:(y?2)(y?3)>(y?2)?(y?3),即

(y?2)(y?3)>2y?5

归纳提炼:

当a?2,b?2时,表示ab与a?b的大小关系

根据题意,设a?2?m,b?2?n(m?0,n?0),要求参照上述研究方法,画出示意图,并写出几何建模步骤(用钢笔或圆珠笔画图,并标注相关线段的长)

解析:

5、(2013年江西省)某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:

●操作发现:

6

在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三

角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是

①AF=AG=1AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB. 2

●数学思考:

在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如..

图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;

●类比探索:

在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.

答:.

【答案】 解: ●操作发现:①②③④

●数学思考:

答:MD=ME,MD⊥ME,

1、MD=ME;

如图2,分别取AB,AC的中点F,G,连接DF,MF,MG,EG,

∵M是BC的中点,

∴MF∥AC,MF=1AC. 2

1AC, 2又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线, ∴EG⊥AC且EG=

∴MF=EG.

同理可证DF=MG.

∵MF∥AC,

∴∠MFA+∠BAC=180°.

同理可得∠MGA+∠BAC=180°,

∴∠MFA=∠MGA.

又∵EG⊥AC,∴∠EGA=90°.

同理可得∠DFA=90°,

∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA,

即∠DFM=∠MEG,又MF=EG,DF=MG,

∴△DFM≌△MGE(SAS),

7

∴MD=ME.

2、MD⊥ME;

证法一:∵MG∥AB,

∴∠MFA+∠FMG=180°,

又∵△DFM≌△MGE,∴∠MEG=∠MDF.

∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°,

其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°,

∴∠DME=90°.

即MD⊥ME;

证法二:如图2,MD与AB交于点H,

∵AB∥MG,

∴∠DHA=∠DMG,

又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH,

即∠DHA=∠FDM+90°,

∵∠DMG=∠DME+∠GME,

∴∠DME=90°

即MD⊥ME;

●类比探究

答:等腰直角三解形

【考点解剖】 本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识,能力要求很高.

【解题思路】 (1) 由图形的对称性易知①、②、③都正确,④∠DAB=∠DMB=45°也正确;(2)直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系,一般由全等证线段相等,受图1△DFM≌△MGE的启发,应想到取中点构造全等来证MD=ME,证MD⊥ME就是要证∠DME=90°,由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF, △DFM中四个角相加为180°,∠FMG可看成三个角的和,通过变形计算可得∠DME=90°. (3)只要结论,不要过程,在(2)的基础易知为等腰直角三解形.

【解答过程】 略.

【方法规律】 由特殊到一般,形变但本质不变(仍然全等)

【关键词】 课题学习 全等 开放探究

6、(2013山西,25,13分)(本题13分)数学活动——求重叠部分的面积。

问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:

如图,将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G。 求重叠部分(△DCG)的面积。

(1)独立思考:请解答老师提出的问题。

【解析】解:∵∠ACB=90°D是AB的中点,

8

F(25题(1))

∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCBAD

又∵△ABC≌△FDE,∴∠FDE=∠B

∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90°∴DG⊥AC

又∵DC=DA,∴G是AC的中点,

1111AC=×8=4,DG=BC=×6=3 2222

11∴SDCG=×CG·DG=×4×3=6 22∴CG=(2)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?请写出解答过程。

【解析】解法一:

E

F

A

∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1∵∠C=90°,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90°, ∠A+∠2=90°,

∴∠B=∠2,∴∠1=∠2

∴GH=GD

∵∠A+∠2=90°,∠1+∠3=90°

∴∠A=∠3,∴AG=GD,∴AG=GH

∴点G是AH的中点,

在Rt△ABC中,AB= 10

∵D是AB的中点,∴AD=C21D(25题(2)) 3 1AB=5 2

在△ADH与△ACB中,∵∠A =∠A,∠ADH=∠ACB=90°,

ADDH5DH15

∴△ADH∽△ACB, ∴AC=CB,8=6,∴DH=4, 11511175∴S△DGH=S△ADH=××DH·AD=××5= 4422216

9

E

F

A

解法二:同解法一,G是AH的中点,

(25题(2))

C2

1D

3

连接BH,∵DE⊥AB,D是AB的中点,∴AH=BH,设AH=x则CH=8-x 在Rt△BCH中,CH2+BC2=BH2,即(8-x)2+36=x2,解得x= ∴S△ABH=AH·BC=

12575

××6= 244

∴S△DGH=

17575111

S△ADH=× S△ABH=×=.

4416222

F

M

21

DN

(25题(2))

A

解法三:同解法一,∠1=∠2 连接CD,由(1)知,∠B=∠DCB=∠1,∠1=∠2=∠B=∠DCB,△DGH∽△BDC, 作DM⊥AC于点M,CN⊥AB

于点N,∵D是

AB的中点,∠ACB=90°

11∴CD=AD=BD,∴点M是AC的中点,∴DM=2BC=2×6=3

11

BC=AB·CN, ==10,AC·22

AC创BC8624

∴CN===.

AB105

在Rt△ABC中,S?DM?

∵△DGH∽△BDC, ∴?DGH???,

S?BCDC?CN?

∴S?DGH

2

?DM??DM?1???S=?BCDC????BD?CN ?CN??CN?2

22

10

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