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中考数学分类解析平面几何的综合

发布时间:2013-09-21 22:39:24  

平面几何的综合

一、选择题

1. (2012湖北鄂州3分)如图,四边形OABC为菱形,点A、B在以O为圆心的弧上,若OA=2,∠1=∠2,则扇形ODE的面积为【 】

A.4? 3 B.? 5

3C.2? D.3?

【答案】A。

【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积的计算。

【分析】如图,连接OB.

∵OA=OB=OC=AB=BC,∴∠AOB+∠BOC=120°。

又∵∠1=∠2,∴∠DOE=120°。

又∵OA=2,

120???22 4∴扇形ODE的面积为 ??。故选A。 3603

2. (2012湖南岳阳3分)如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连接OD、OC,对于下列结论:①OD=DE?CD; ②AD+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD?OA;⑤∠DOC=90°,其中正确的是【 】

2

A.①②⑤ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤

【答案】A。

【考点】切线的性质,切线长定理,相似三角形的判定与性质。1052629

第 1 页 共 49 页

【分析】如图,连接OE,

∵AD与圆O相切,DC与圆O相切,BC与圆O相切,

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°,

∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC。

∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。

在Rt△ADO和Rt△EDO中,OD=OD,DA=DE,∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL)

∴∠AOD=∠EOD。

同理Rt△CEO≌Rt△CBO,∴∠EOC=∠BOC。

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°,

∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°。结论⑤正确。

∴∠DOC=∠DEO=90°。

又∠EDO=∠ODC,∴△EDO∽△ODC。 ODDE2,即OD=DC?DE。结论①正确。 ?DCOD

11而S梯形ABCD??AB(?AD?BC)??AB?CD=CD?OA,结论④错误。 22∴

由OD不一定等于OC,结论③错误。

∴正确的选项有①②⑤。故选A。

3. (2012四川乐山3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中点,点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合),且保持AE=CF,连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,有下列结论:

①△DFE是等腰直角三角形;

②四边形CEDF不可能为正方形;

③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化;

④点C到线段EF的最大距离为

其中正确结论的个数是【 】

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

【答案】B。

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【考点】全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理,勾股定理。

【分析】①连接CD(如图1)。

∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB。

∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS)。

∴ED=DF,∠CDF=∠EDA。

∵∠ADE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。

∴△DFE是等腰直角三角形。

故此结论正确。

②当E、F分别为AC、BC中点时,∵由三角形中位线定理,DE平行且等于

∴四边形CEDF是平行四边形。

又∵E、F分别为AC、BC中点,AC=BC,∴四边形CEDF是菱形。

又∵∠C=90°,∴四边形CEDF是正方形。

故此结论错误。

③如图2,分别过点D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于点M,N,

由②,知四边形CMDN是正方形,∴DM=DN。

由①,知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF。

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)。

∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。

∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。

故此结论错误。

④由①,△DEF

EF。

当DF与BC垂直,即DF最小时, EF取最小值

。此时点C到线段EF的最

故此结论正确。

故正确的有2个:①④。故选B。

4. (2012四川广元3分) 如图,A,B是⊙O上两点,若四边形ACBO是菱形,⊙O的半径

为r,则点A

与点B之间的距离为【 】

1BC。 2

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C. r D. 2r

【答案】B。

【考点】菱形的性质,垂径定理,等边三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】如图,连接AB,与OC交于点D,

∵四边形ACBO为菱形,∴OA=OB=AC=BC,OC⊥AB。

又∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都为等边三角形,AD=BD。

在Rt△AOD中,OA=r

。故选B。

5. (2012辽宁锦州3分)下列说法正确的是【 】

A.同位角相等 B.梯形对角线相等

C.等腰三角形两腰上的高相等 D.对角线相等且垂直的四边形是正方形

【答案】C。

【考点】同位角、梯形、等腰三角形的性质,正方形的判定。

【分析】根据同位角、梯形、等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断:

A.两直线平行,被第三条直线所截,同位角才相等,说法错误;

B.等腰梯形的对角线才相等,说法错误;

C.根据等腰三角形等边对等角的性质,两腰上的高与底边构成的两直角三角形全等(用AAS),从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论 ,说法正确;

D.对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形,还要对角线互相平分,说法错误。 故选C。

二、填空题

1. (2012宁夏区3分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相较于O,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,则DE的长度是 ▲ .

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。 【考点】矩形的性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=

∴OC=OD,∴∠ODC=∠OCD。

∵∠EDC:∠EDA=1:2,∠EDC+∠EDA=90°,∴∠EDC=30°,∠EDA=60°。

∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°。∴∠DCE=90°-∠EDC=60°。∴∠ODC=∠OCD=60°。

∴∠COD=60°。∴DE= OD ? sin 60°=5

11AC=5,OB=OD= BD=5。 22。 2. (2012浙江、舟山嘉兴5分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG丄CD,分别交GD、CA于点E、F,与过点A且垂直于的直线相交于点G,连接DF.给出以下四个结论: ①AGFG;②点F是GE

的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是 ?3ABFB

▲ .

【答案】①③。

【考点】相似三角形的判定和性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质。

【分析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∴AB⊥BC。 又∵AG⊥AB,∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴

∵BA=BC,∴AGFG。 ?CBFBAGFG。故①正确。 ?ABFB

11BD1AB=CB。∴tan?BCD??。 22BC2∵∠ABC=90°,BG⊥CD,∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。 ∵AB=CB,点D是AB的中点,∴BD=

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又∵BG丄CD,∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中,tan?DBE?

∵AG1?。 AB2AGFG1,∴FG=FB。故②错误。 ?2CBFB

1∵△AFG∽△CFB,∴AF:CF=AG:BC=1:2。∴AF=AC。

3

AB

。故③正确。 设BD= a,则AB=BC=2 a,△BDF中BD边上的高=2。 3

1121∴S△ABC=?2a?2a=2a2, S△BDF=?a?a=a2 2233

∴S△ABC=6S△BDF,故④错误。

因此,正确的结论为①③。

3. (2012浙江丽水、金华4分)如图,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,AD

AB=6.在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF=120°.

(1)当点E是AB的中点时,线段DF的长度是 ▲ ;

(2)若射线EF经过点C,则AE的长是 ▲ .

【答案】6;2或5。

【考点】直角梯形的性质,勾股定理,解直角三角形。

【分析】(1)如图1,过E点作EG⊥DF,∴EG=AD

∵E是AB的中点,AB=6,∴DG=AE=3。

∴∠DEG=60°(由三角函数定义可得)。

∵∠DEF=120°,∴∠FEG=60°。

,解得,GF=3。

∵EG⊥DF,∠DEG=∠FEG,∴EG是DF的中垂线。∴DF=2 GF=6。

(2)如图2,过点B作BH⊥DC,延长AB至点M,过点C作CF⊥AB于F,则BH=AD

∵∠ABC=120°,AB∥CD,∴∠BCH=60°。

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∴CH=BH

tan600,BC

=BH

cos600。

设AE=x,则BE=6-x,

在Rt△ADE中,DE

?

在Rt△EFM中,EF

?

∵AB∥CD,∴∠EFD=∠BEC。

∵∠DEF=∠B=120°,∴△EDF∽△BCE。

∴BCBE=DEEF

,解得x=2或5。

4. (2012浙江宁波3分)如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于

E,F,连接EF,则线段EF

长度的最小值为 ▲ .

【考点】垂线段的性质,垂径定理,圆周角定理,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。

【分析】由垂线段的性质可知,当AD为△ABC的边BC上的高时,直径AD最短,

此时线段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°,当半径OE最短时,EF最短。如

图,连接OE,OF,过O点作OH⊥

EF,垂足为H。

∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,,

∴AD=BD=2,即此时圆的直径为2。

1∠EOF=∠BAC=60°, 2

∴在

Rt△EOH

。 由圆周角定理可知∠EOH=

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由垂径定理可知

5. (2012湖北十堰3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm,以AC为直径的半圆O交AB于点D,点E是AB的中点,CE交半圆O于点F,则图中阴影部分的面积为 ▲ cm.

2

【答案】3?。 【考点】含30度角直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线的性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,扇形面积的计算。

【分析】连接OD,OF。

∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=12cm, 1AB=6cm,∠BAC=60°。 2

1∵E是AB的中点,∴CE=AB=AE。∴△ACE是等边三角形。 2∴AC=

∴∠ECA=60°。

又∵OA=OD,∴△AOD是等边三角形。∴∠DOA=60°。∴∠COD=120°。

??CF?,AD=CF。 同理,∠COF=60°。∴∠DOA=∠COE=60°。∴AD

?与弦CF围成的弓形的面积相等。 ?与弦AD围成的弓形的面积等于CF∴AD

∴S阴影部分?S扇形OCD?S?OCD。

∵AC是直径,∴∠CDA=90°。

又∵∠BAC=60°,AC =6cm

,∴CD?AC?sin?BAC?6?sin600。

又∵△OCD中CD边上的高=OC?cos?COF=3?cos602?

∴S?OCD?3,

213. ??

224

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120???32又∵S扇形

OCD= =3?,∴S阴影部分?S扇形OCD?S?OCD=3?360?的6. (2012四川宜宾3分)如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是AD

中点,弦CE⊥AB于点F,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CF、BC于点P、Q,连接AC.给出下列结论:

①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③点P是△ACQ的外心;④AP?AD=CQ?CB.

其中正确的是 ▲ (写出所有正确结论的序号).

【答案】②③④。

【考点】切线的性质,圆周角定理,三角形的外接圆与外心,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。

【分析】①如图,连接BD,

?的中点,∴∠ABC =∠CBD,即∠ABD=2∠ABC。 ∵点C是AD

又∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°。

∴∠BAD+∠ABD=90,即∠BAD+2∠ABC =90。

∴当∠ABC =30时,∠BAD=∠ABC;当∠ABC ≠30时,∠BAD≠∠ABC。

∴∠BAD与∠ABC不一定相等。所以结论①错误。

②∵GD为圆O的切线,∴∠GDP=∠ABD。

又∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°。

∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。

又∵∠PAF=∠BAD, ∴∠ABD=∠APF。

又∵∠APF=∠GPD,∴∠GDP=∠GPD。∴GP=GD。所以结论②正确。

∵直径AB⊥CE, 0000

?的中点,即AE??AC?。 ∴A为CE

??CD?。∴AE??CD?。∴∠CAP=∠ACP。∴AP=CP。

?的中点,∴AC又∵点C是AD

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又∵AB为圆O的直径,∴∠ACQ=90°。∴∠PCQ=∠PQC。∴PC=PQ。

∴AP=PQ,即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点。

∴P为Rt△ACQ的外心。所以结论③正确。

④如图,连接CD,

??CD?,∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA,∴△ACQ∽△BCA。 ∵AC

∴ACCB2,即AC=CQ?CB。 =CQAC

??AC?,∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC,∴△ACP∽△ADC。 ∵AE

∴ACAP2,即AC=AP?AD。 =ADAC

∴AP?AD=CQ?CB。所以结论④正确。

则正确的选项序号有②③④。

7. (2012山东日照4分)如图1,正方形OCDE的边长为1,阴影部分的面积记作S1;如图2,最大圆半径r=1,阴影部分的面积记作S2,则S1 ▲ S2(用“>”、“<”或“=”填空)

.

【答案】<。

【考点】轴对称的性质,正方形和圆的性质,勾股定理,实数的大小比较,

【分析】结合图形发现:图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积,图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一,则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较S1与S2的大小即可:

∵正方形OCDE的边长为1,∴根据勾股定理得

1)?1?1。 ∴AC=AO-

-1

。∴S1?S矩形ACDF?

12∵大圆面积=πr=π∴S2??。

4

11<?,∴S1<S2。 4

三、解答题

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