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全等三角形判定(1)

发布时间:2013-09-17 21:06:35  

§12.2 三角形全等的判(一)
A E

B

F

C

1、 什么叫全等三角形?
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF,找出其中相等的边与角
A D

B

C

E

F

①AB=DE ④ ∠A= ∠D

② BC=EF
⑤ ∠B=∠E

③ CA=FD

⑥ ∠C= ∠F

A

D

B

①AB=DE

② BC=EF

C

E

③ CA=FD

F

④ ∠A= ∠D

⑤ ∠B=∠E

⑥ ∠C= ∠F

思考:
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗? 2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?

1.只给一个条件
1.只给一条边时; 3㎝ 2.只给一个角时;
45? 45?

3㎝

结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.

2.如果满足两个条件,你能说出 有哪几种可能的情况?
①两边;

②一边一角;
③两角。

①如果三角形的两边分别为4cm,6cm 时

4cm

4cm

6cm

6cm

结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.

②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:

30? 4cm

30? 4cm

结论:一条边一个角对应相等的两个
三角形不一定全等.

③如果三角形的两个内角分别是30°,45°时

30?

45?

30?

45?

结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
根据三角形的内角和为180度,则第三角一定确定, 所以当三内角对应相等时,两个三角形不一定全等

两个条件 一个条件 ①两角; ①一角; ②两边; ②一边; ③一边一角。 结论:只给出一个或两个 条件时,都不能保证所画 的三角形一定全等。

探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件,你能说出有 哪几种可能的情况?
①三角; ②三边; ③两边一角;

④两角一边。

⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°, 60° ,90° 它们一定全等吗?

这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等

⑵三条边 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、 4cm、6cm 。它们一定全等吗? 3cm
6cm 4cm 6cm 3cm 4cm 6cm 3cm 4cm

先任意画出一个△ABC,再画出一个△A’B’C’ ,使

A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’ C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪 下,放到△ABC上,他们全等吗? 画法:
1.画线段 B’C’ =BC; 2.分别以 B’ , C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两 弧交于点A’; 3. 连接线段 A’B’ , A’C’ .

上述结论反映了什么规律?

边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS” 注: 这个定理说明,只要三角形的 三边的长度确定了,这个三角形的形 状和大小就完全确定了,这也是三角 形具有稳定性的原理。

A

D

如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢

B

C

E

F

在△ABC与△DEF中 AB=DE

AC=DF
BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SSS)

叫判 做断 证两 明个 三三 角角 形形 全全 等等 。的 推 理 过 程 ,

?

例1 如图, △ABC

是一个钢架,AB=AC,AD是连接A 与BC中点D的支架,求证: △ABD≌△ACD 求证:∠B=∠C, 证明:∵D是BC的中点
A C D

∴BD=CD

B

在△ABD与△ACD中 AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边) ∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠B=∠C,

证明的书写步骤:
①准备条件:证全等时要用的条件要先 证好; ②三角形全等书写三步骤:
写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论

练习: 已知:如图,AB=AD,BC=DC, 求证:△ABC≌ △ADC

证明:在△ABC和△ADC中 AB=AD ( 已知 ) B BC=DC (已知 ) AC = AC (公共边 ) ∴ △ABC ≌ △ADC(SSS)

A

D

C

1、填空题: (1)如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等? 试说明理由。 A D 解: △ABC≌△DCB 理由如下: AB = CD
=
Ⅴ Ⅴ

=

B

C

AC = BD

△ABC ≌ △DCB A
= ×

(SSS ( E
× =



BC = CB
(2)如图,D、F是线段BC上的两点, AB=CE,AF=DE,要使△ABF≌△ECD ,

还需要条件BF=CD 或 BD=FC

B

D

F

C

已知:如图1 ,AC=FE,AD=FB,BC=DE 求证:△ABC≌△FDE , 求证:∠C=∠E 求证:AC∥EF;DE∥BC 证明:∵ AD=FB ∴AB=FD(等式性质) 在△ABC和△FDE 中 AC=FE(已知) BC=DE(已知) AB=FD(已证) ∴△ABC≌△FDE(SSS)
A
D =


E ?

?

c
= B F


图1

(2)∵ △ABC≌△FDE(已证) ∴ ∠C=∠E (全等三角形的对应角相等)

? 已知:如图,AB=AC,DB=DC, ? 请说明∠B =∠C成立的理由
解:连接AD 在△ABD和△ACD中, AB=AC (已知) DB=DC (已知) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (SSS)
B

A

D C

∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等)

? 已知: 如图, 四边形ABCD中, AD=CB,AB=CD ? 求证: ∠A= ∠C。
D
4 2

C

A

1 3

B

分析:要证两角或两线段相等,常先证这两角或两线段 所在的两三角形全等,从而需构造全等三角形。

构造公共边是常添的辅助线

已知:AC=AD,BC=BD, 求证:AB是∠DAC的平分线. 证明:在△ABC和△ABD中 ∵ AC=AD( 已知 ) BC=BD( 已知 ) A ) 1 2

C B

AB=AB( 公共边

∴△ABC≌△ABD( SSS ) D ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) ∴AB是∠DAC的平分线 (角平分线定义)

小结:
1.边边边公理:有三边对应相等的两个三角形 全等 简写成“边边边”(SSS) 2.边边边公理发现过程中用到的数学方法(包 括画图、猜想、分析、归纳等.)
3.边边边公理在应用中用到的数学方法:

证明线段(或角)相等 转 化 证明线段(或角)所 在的两个三角形全等.
两个三角形全等的注意点:

1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 3. 有时需添辅助线(如:造公共边)


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